Квантовая механика.Коллапс волновой функции.

[g______d]

Prikol в сообщении #892127 писал(а):

Вам "вполне интегрируемые" в смысле "по Лиувиллю"?

Ну я не знаю, как это называется в бесконечномерном случае; смысл тот же – существование глобальных переменных действие-угол. В смысле, например, параграфа III.7 книги Тахтаджяна и Фаддеева или параграфа I.6 книги Захарова, Манакова, Новикова и Питаевского.

[Prikol]

g______d в сообщении #892129 писал(а):

Prikol в сообщении #892127 писал(а):

Вам "вполне интегрируемые" в смысле "по Лиувиллю"?

Ну я не знаю, как это называется в бесконечномерном случае; смысл тот же – существование глобальных переменных действие-угол. В смысле, например, параграфа III.7 книги Тахтаджяна и Фаддеева или параграфа I.6 книги Захарова, Манакова, Новикова и Питаевского.

Именно в этом смысле!

Хотя все давно и сильно изменилось... Переменные действие-угол в те давние времена казались чем-то совершенно замечательным, сейчас это так, некоторый факт... Две книги Фаддеева и Захарова были конечно потрясающими для своего времени! Впрочем, основы заложили Захаров и Шабат, а потом уже пошли обобщения и углубления. Уже в середине 80-х Лезнов и Савельев довели это почти до конвейера - на входе примерно что вам нужно, а на выходе просто масса готовых полностью интегрируемых систем. Ну а сейчас это огромный мэйнстрим с множеством направлений, школ и т.д. Вопчим, как вы выразились "презирать" все эти точно решаемые модели будет возможно несколько неадекватно. Но им конечно виднее.

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #892099 писал(а):

Для начала не соглашусь :) Вспомним ещё раз фейнмановское описание "корпускулярно-волнового дуализма"

Не соглашайтесь.

У вас есть две прекрасные возможности: слушать, что умные люди говорят, и иметь своё мнение. Эти две возможности несовместимы. Я думал, вы хотите первого, а теперь вы хотите второго. Тогда мы просто разойдёмся, так же, как и встретились.

Вот только если вы прочитаете не одну популярную книжку, а кучу серьёзных учебников, тогда начнётся какая-то совместимость. Вы можете иметь мнение, и оно не будет казаться глупостью умным людям. Но это относится не ко всем вопросам, а только к тем, по которым вы прочитали учебники.

В общем, выбирайте.

chislo_avogadro в сообщении #892099 писал(а):

Положа руку на сердце - даст эта книга что-то большее, чем та, что я цитирую, в отношении этой темы? :)

Нет, она даст большее, в отношении более простой и азбучной темы. Которую вы не знаете. А не разбираясь в этой азбучной теме, вы ничего не поймёте и в этой теме.

[g______d]

Prikol в сообщении #892142 писал(а):

Ну а сейчас это огромный мэйнстрим с множеством направлений, школ и т.д. Вопчим, как вы выразились "презирать" все эти точно решаемые модели будет возможно несколько неадекватно.

Что этим много народу занимается – не спорю. И кавычки я специально поставил. У меня сложилось (дилетантское) впечатление, что эта наука почти полностью сводится к алгебре. Та же знаменитая теорема про решение КдФ с помощью МОЗР с помощью некой алгебры сводится к задаче Римана, а сама разрешимость задачи Римана (теорема Гохберга-Крейна, кажется) – некоторый "чёрный ящик". Ну и какая-то экспоненциально возрастающая сложность чисто алгебраических вычислений при генерации более сложных интегрируемых уравнений; может быть, какие-то алгебраисты могли бы навести порядок.

Мой комментарий в основном относился к тому, что неправильно говорить, что там, где заканчиваются точные решения, начинаются численные методы (если Вы не говорили этого, то и ладно). Между этими областями работают очень много людей; подозреваю, что больше, чем в области интегрируемых систем.

Может быть, не очень хорошее сравнение, но: Вы можете изучать интегрируемость элементарных функций, а можете изучать теорию функций, интеграл Лебега, функциональный анализ и т. д. В первой области есть содержательные результаты (теорема Лиувилля, дифференциальная теория Галуа и т. д.), но в анализе и приложениях общие свойства интеграла (не численные методы вычисления, а какие-то, например, строгие оценки) часто бывают интереснее. Случайное уравнение (пусть даже с достаточно регулярными коэффициентами) с вероятностью 1 не интегрируемо, а методы, разработанные для интегрируемых уравнений, плохо выдерживают малые изменения параметров, при которых интегрируемость разваливается; в отличие (тоже, наверное, не всегда) от методов работы с общими уравнениями.

Разумеется, точные решения мы в этот момент обычно теряем (но какие-то точные утверждения про решения можем сформулировать), но точная формула для решения не всегда и нужна; бывает достаточно, например, асимптотики (с обоснованием!) или утверждений про спектральные свойства оператора, или, например, просто про геометрию распространения особенностей.

----------------------------

С другой стороны, в теории квантовых систем (в основном дискретных) точно решаемые модели, насколько мне известно, очень популярны, всякие цепочки Тоды и т. д.

[Oleg Zubelevich]

+1 по всем пунктам. всетаки, наитболее содержательные задачи связаны с неинтегрируемыми системаи, с хаосом. А интегрируемые системы в этом смысле интересны тем, что одним из способов изучать хаос является возмущение интегрируемых систем. Это если говорить одинамике, а не о теоремах существования для УРЧП

[Prikol]

g______d в сообщении #892175 писал(а):

Prikol в сообщении #892142 писал(а):

Ну а сейчас это огромный мэйнстрим с множеством направлений, школ и т.д. Вопчим, как вы выразились "презирать" все эти точно решаемые модели будет возможно несколько неадекватно.

У меня сложилось (дилетантское) впечатление, что эта наука почти полностью сводится к алгебре.
Ну и какая-то экспоненциально возрастающая сложность чисто алгебраических вычислений при генерации более сложных интегрируемых уравнений; может быть, какие-то алгебраисты могли бы навести порядок.

На первом шаге - нахождение представления нулевой кривизны - это действительно алгебра, хотя наличие в этой алгебре операторов интегро-дифференцирования придает ей специфику.

Порядок периодически наводят, раскладывая все результаты аккуратно по полочкам например классификации Дынкина-Кокстера для алгебр конечного роста. Но потом опять появляются нарушители и говорят, что полочек не хватает. Иногда прибегают кватернионщики и октонионщики и говорят, что у них кватернионные собственные значения и пора теорию ФКП выбрасывать, а Clifford Calculus вбрасывать.

g______d в [url=http://dxdy.ruе/post892175.html#p892175]сообщении #892175[/url] писал(а):

Та же знаменитая теорема про решение КдФ с помощью МОЗР с помощью некой алгебры сводится к задаче Римана, а сама разрешимость задачи Римана (теорема Гохберга-Крейна, кажется) – некоторый "чёрный ящик

На втором шаге - нахождения решения - это действительно задача Римана, но нередко из за многолистности с таким спектром, что на фоне конечнозонных частей есть отдельные полюса и туда же еще непрерывный спектр наползает.

g______d в сообщении #892175 писал(а):

С другой стороны, в теории квантовых систем (в основном дискретных) точно решаемые модели, насколько мне известно, очень популярны, всякие цепочки Тоды и т. д.

Из цепочек Тоды давно развилась отдельная наука со всевозможными комбинациями дискретности и непрерывности и залезающая даже в клеточные автоматы.

g______d в сообщении #892175 писал(а):

Мой комментарий в основном относился к тому, что неправильно говорить, что там, где заканчиваются точные решения, начинаются численные методы (если Вы не говорили этого, то и ладно). Между этими областями работают очень много людей; подозреваю, что больше, чем в области интегрируемых систем.

Я понимаю, но когда я листаю недавно изданные книжки по УЧП и вспоминаю что я видел в старых книжках, то какого-то прорыва не вижу.

g______d в сообщении #892175 писал(а):

Случайное уравнение (пусть даже с достаточно регулярными коэффициентами) с вероятностью 1 не интегрируемо,

Я тоже долго так думал. Но потом стало получаться так, что уравнения возникающие из физики, т.е. не случайные, стали у меня решаться довольно часто. Есть подозрение, что за такими НЕ случайными уравнениями и полной интегрируемостью стоит некая общая сущность.

g______d в сообщении #892175 писал(а):

а методы, разработанные для интегрируемых уравнений, плохо выдерживают малые изменения параметров, при которых интегрируемость разваливается; в отличие (тоже, наверное, не всегда) от методов работы с общими уравнениями.

Разумеется, точные решения мы в этот момент обычно теряем

Если деформировать интегрируемые уравнения не наугад, а "по законам жанра", то из того же КдВ можно наполучать массу других интегрируемых уравнений.

-- 01.08.2014, 00:49 --

Oleg Zubelevich в сообщении #892191 писал(а):

всетаки, наитболее содержательные задачи связаны с неинтегрируемыми системаи, с хаосом. А интегрируемые системы в этом смысле интересны тем, что одним из способов изучать хаос является возмущение интегрируемых систем.

Немного перефразируя g_____d можно сказать...

g______d в сообщении #892175 писал(а):

Мой комментарий в основном относился к тому, что неправильно говорить, что там, где заканчиваются точные решения...

... начинается хаос. Между этими областями есть довольно большая ничейная область. А для хаоса нужно пройти некоторый порог по сложности, или даже порог по "вредности". Иначе система может просто рассыпаться во все стороны без хаоса.

[Oleg Zubelevich]

ну еще не хватало, чтоб я с генератором псевдонаучного текста стал разговаривать

[Prikol]

А например всем известную схему Дынкина-Кокстера по памяти нарисуете или в инете будете шарить?

P.S.
Не хотите разговаривать - можно поругаться. Кто начинает, вы или я?

[Lukum]

Prikol в сообщении #892227 писал(а):

Но потом стало получаться так, что уравнения возникающие из физики, т.е. не случайные, стали у меня решаться довольно часто. Есть подозрение, что за такими НЕ случайными уравнениями и полной интегрируемостью стоит некая общая сущность.

Вероятно глупость - может это следствие наличия каких-то симметрий?

[g______d]

Prikol в сообщении #892227 писал(а):

Я понимаю, но когда я листаю недавно изданные книжки по УЧП и вспоминаю что я видел в старых книжках, то какого-то прорыва не вижу.

Хёрмандер (который 4 тома) – это старая книжка?

Prikol в сообщении #892227 писал(а):

Я тоже долго так думал. Но потом стало получаться так, что уравнения возникающие из физики, т.е. не случайные, стали у меня решаться довольно часто. Есть подозрение, что за такими НЕ случайными уравнениями и полной интегрируемостью стоит некая общая сущность.

В УЧП интегрируемость – это в некотором смысле разделение переменных. Т. е. ситуация, когда многомерная задача раскладывается в прямое произведение одномерных. Я не думаю, что можно очень далеко уйти, ограничиваясь только такими моделями. Реальные задачи скорее всего в существенной степени многомерны.

Ну а "случайные" коэффициенты – типичная ситуация. Например, потенциал (или свойства среды) измерены в каких-то точках+сделаны какие-то естественные предположения о регулярности. Ну или вообще случайные коэффициенты (в смысле теории вероятности).

[Prikol]

g______d в сообщении #892243 писал(а):

Prikol в сообщении #892227 писал(а):

Я понимаю, но когда я листаю недавно изданные книжки по УЧП и вспоминаю что я видел в старых книжках, то какого-то прорыва не вижу.

Хёрмандер (который 4 тома) – это старая книжка?

Промежуточная по времени издания и вечно молодая по содержанию.

g______d в сообщении #892243 писал(а):

В УЧП интегрируемость – это в некотором смысле разделение переменных. Т. е. ситуация, когда многомерная задача раскладывается в прямое произведение одномерных. Я не думаю, что можно очень далеко уйти, ограничиваясь только такими моделями.

Для линейных задач вероятно так оно и есть. А в нелинейных, которые точно решаются, я думаю просто так представить это как разделение переменных не всегда возможно.

[g______d]

Prikol в сообщении #892248 писал(а):

А в нелинейных, которые точно решаются, я думаю просто так представить это как разделение переменных не всегда возможно.

Подозреваю, что если аккуратно объяснить, что значит разделение переменных в фазовом пространстве, то полная интегрируемость им и будет.

[Prikol]

g______d в сообщении #892249 писал(а):

Подозреваю, что если аккуратно объяснить, что значит разделение переменных в фазовом пространстве, то полная интегрируемость им и будет.

В солитонных уравнениях рассматривается пространство данных рассеяния или спектральное пространство. Некоторые говорят, что именно в этом пространстве переменные разделяются в некотором смысле. Другие говорят - это не то разделение переменных. Вобщем ответ зависит от принятых нами определений разделения переменных.

В спектральном пространстве разделяются как бы компоненты решения. Потом при решении интегрального уравнения эти компоненты как бы нелинейно складываются. Вобщем есть некоторая аналогия с разделением переменных, но не так, чтобы уж полная.

[chislo_avogadro]

Munin в сообщении #892070 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #891969 писал(а):

Т.е., утверждается, что КЭД решила "загадку" «корпускулярно-волнового дуализма».
А этот последний, как я понимаю, имеет прямое отношение к коллапсу волновой функции.

Нет, не имеет.

Вот ещё "коллапс" от Кадомцева -

Так всё же, имеет отношение "дуализм волна-частица" к коллапсу волновой функции?
Одно мнение уже есть и приведено.

[warlock66613]

chislo_avogadro в сообщении #892708 писал(а):

Так всё же, имеет отношение "дуализм волна-частица" к коллапсу волновой функции?

Очень непрямое. Точнее совсем не имеет. "Дуализм волна-частица" (синоним "корпускулярно-волновой дуализм") - это (на сегодняшний день) дурацкий термин, которому не место в учебниках квантовой механики. Главное, что нужно знать - это что нет никакого дуализма, а есть квантовые объекты (например, электрон), которые не являются ни волной ни частицей. Вот как только это усвоено, можно начинать говорить о различных свойствах этих объектов, в частности о коллапсе. Таким образом, дуализм и коллапс - это объекты из совершенно разных парадигм, и они никак не могут иметь отношения друг к другу.