перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)

[fronnya]

Munin в сообщении #882494 писал(а):

fronnya в сообщении #882467 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что здесь надо знать бином Ньютона, который я не знаю.

Что-то мне подсказывает, что здесь - нет. Может быть, то, что я на бумажке это сделал...

может $\begin{pmatrix} 1 & a (b^{n-1}+b^{n-2}+..+b^{n-n})\\ 0 & b^n\end{pmatrix}$

[Ms-dos4]

fronnya
Вариант 1. Вообще без индукции и гадалок
Переходим в собственный базис, там всё очень просто, $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&b \end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{{b^n}} \end{array}} \right)\]$. Далее возвращаемся к исходному и получаем $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a\\ 0&b \end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a\frac{{{b^n} - 1}}{{b - 1}}}\\ 0&{{b^n}} \end{array}} \right)\]$
(собственные вектора у исходной матрицы $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right)\]$ и $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{a}{{b - 1}}}\\ 1 \end{array}} \right)\]$).
Вариант 2. Тупо пишем пишем и пишем, благо там догадаться легко.

[Munin]

Правильно!!! :-) Ну вот видите, не страшно же.

-- 01.07.2014 01:02:35 --

Ms-dos4 в сообщении #882499 писал(а):

Переходим в собственный базис

Этого он явно ещё не умеет.

[Ms-dos4]

fronnya
Да, именно так. Теперь осталось доказать это по индукции.

[fronnya]

Для $n+1$ получилось $\begin{pmatrix} 1 & a(b^{n}+b^{n-1}+b^{n-2}+...+1)\\ 0 & b^{n+1}\end{pmatrix}$

[Ms-dos4]

fronnya
Ну всё ок, можете для красоты свернуть сумму, (как у меня в посте).

[fronnya]

Ms-dos4, а мне и так красиво

-- 30.06.2014, 23:16 --

Ms-dos4, как свернуть?

[Ms-dos4]

fronnya
Как как, геометрическая прогрессия, у вас сумма $\[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \]$
----
Ну с тем примером 3x3 тоже теперь всё легко. Что нибудь ещё непонятно?

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #882515 писал(а):

fronnya
Как как, геометрическая прогрессия, у вас сумма $\[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \]$

$\begin{pmatrix} 1 & a \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \\ 0 & b^{n-1} \end{pmatrix}$

-- 30.06.2014, 23:22 --

Ms-dos4 пример с лямбдами доделаю завтра, мне пора спать, рано вставать завтра, точнее, у нас, уже сегодня.

[Ms-dos4]

fronnya
Так, стоп. Вы невнимательны. Во первых, $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a\\ 0&b \end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} }\\ 0&{{b^n}} \end{array}} \right)\]$.

Во вторых, ну сумму то геометрической прогрессии вы в школе учили? Вот и запишите её в явном виде

----
По поводу примера 3x3, там осталось то всего ничего, только шаг индукции, предполагаемую общую форму нашли $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &1&0\\ 0&\lambda &1\\ 0&0&\lambda \end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda ^n}}&{n{\lambda ^{n - 1}}}&{\frac{1}{2}n(n - 1){\lambda ^{n - 2}}}\\ 0&{{\lambda ^n}}&{n{\lambda ^{n - 1}}}\\ 0&0&{{\lambda ^n}} \end{array}} \right)\]$

[Munin]

Ms-dos4
Вы всё делаете за fronnya, думаете, что ведёте его за ручку, а на самом деле он в решении вашего примера никак не участвует. Это вы сами "нашли предполагаемую общую форму".

[Ms-dos4]

Munin
Наверное вы правы. Только я вот не понимаю, как иначе объяснять. Тут либо говорить "ищи закономерность в ряду" $\[0,1,3,6,10...\]$, получающемся фактическим подсчётом степеней матрицы (любая подсказка сразу даёт ответ), либо просто показывать более строго рассуждение, отталкиваясь от разностного уравнения, чтобы найти требуемое $\[\frac{1}{2}n(n - 1)\]$. Был бы пример посложнее, было бы что обсуждать.

[Munin]

По-моему, тут самое главное - дожидаться ответной реакции, и ориентироваться по ней.

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #882542 писал(а):

Munin
Тут либо говорить "ищи закономерность в ряду" $\[0,1,3,6,10...\]$.

Вот, нашел такое, это коэффициенты перед $\lambda$ в правом верхнем углу. Но как связать их такой китайской зависимостью ?

[Mathusic]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #882512 писал(а):

Ну всё ок, можете для красоты свернуть сумму, (как у меня в посте).

Только, если $b \ne 1$