2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение30.06.2014, 23:54 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #882494 писал(а):
fronnya в сообщении #882467 писал(а):
Что-то мне подсказывает, что здесь надо знать бином Ньютона, который я не знаю.

Что-то мне подсказывает, что здесь - нет. Может быть, то, что я на бумажке это сделал...

может $\begin{pmatrix} 1 & a (b^{n-1}+b^{n-2}+..+b^{n-n})\\ 0 & b^n\end{pmatrix}$

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:00 
fronnya
Вариант 1. Вообще без индукции и гадалок
Переходим в собственный базис, там всё очень просто, $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&b
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&{{b^n}}
\end{array}} \right)\]$. Далее возвращаемся к исходному и получаем $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&a\\
0&b
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{a\frac{{{b^n} - 1}}{{b - 1}}}\\
0&{{b^n}}
\end{array}} \right)\]$
(собственные вектора у исходной матрицы $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right)\]$ и $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{a}{{b - 1}}}\\
1
\end{array}} \right)\]$).
Вариант 2. Тупо пишем пишем и пишем, благо там догадаться легко.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:01 
Аватара пользователя
Правильно!!! :-) Ну вот видите, не страшно же.

-- 01.07.2014 01:02:35 --

Ms-dos4 в сообщении #882499 писал(а):
Переходим в собственный базис

Этого он явно ещё не умеет.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:02 
fronnya
Да, именно так. Теперь осталось доказать это по индукции.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:13 
Аватара пользователя
Для $n+1$ получилось $\begin{pmatrix} 1 & a(b^{n}+b^{n-1}+b^{n-2}+...+1)\\ 0 & b^{n+1}\end{pmatrix}$

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:14 
fronnya
Ну всё ок, можете для красоты свернуть сумму, (как у меня в посте).

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:15 
Аватара пользователя
Ms-dos4, а мне и так красиво :lol:

-- 30.06.2014, 23:16 --

Ms-dos4, как свернуть?

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:16 
fronnya
Как как, геометрическая прогрессия, у вас сумма $\[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \]$
----
Ну с тем примером 3x3 тоже теперь всё легко. Что нибудь ещё непонятно?

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:21 
Аватара пользователя
Ms-dos4 в сообщении #882515 писал(а):
fronnya
Как как, геометрическая прогрессия, у вас сумма $\[\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \]$

$\begin{pmatrix} 1 & a \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} \\ 0 & b^{n-1} \end{pmatrix}$

-- 30.06.2014, 23:22 --

Ms-dos4 пример с лямбдами доделаю завтра, мне пора спать, рано вставать завтра, точнее, у нас, уже сегодня.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:23 
fronnya
Так, стоп. Вы невнимательны. Во первых, $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&a\\
0&b
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{a\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{b^k}} }\\
0&{{b^n}}
\end{array}} \right)\]$.

Во вторых, ну сумму то геометрической прогрессии вы в школе учили? Вот и запишите её в явном виде

----
По поводу примера 3x3, там осталось то всего ничего, только шаг индукции, предполагаемую общую форму нашли $\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\lambda &1&0\\
0&\lambda &1\\
0&0&\lambda 
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda ^n}}&{n{\lambda ^{n - 1}}}&{\frac{1}{2}n(n - 1){\lambda ^{n - 2}}}\\
0&{{\lambda ^n}}&{n{\lambda ^{n - 1}}}\\
0&0&{{\lambda ^n}}
\end{array}} \right)\]$

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 00:48 
Аватара пользователя
Ms-dos4
Вы всё делаете за fronnya, думаете, что ведёте его за ручку, а на самом деле он в решении вашего примера никак не участвует. Это вы сами "нашли предполагаемую общую форму".

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 02:12 
Munin
Наверное вы правы. Только я вот не понимаю, как иначе объяснять. Тут либо говорить "ищи закономерность в ряду" $\[0,1,3,6,10...\]$, получающемся фактическим подсчётом степеней матрицы (любая подсказка сразу даёт ответ), либо просто показывать более строго рассуждение, отталкиваясь от разностного уравнения, чтобы найти требуемое $\[\frac{1}{2}n(n - 1)\]$. Был бы пример посложнее, было бы что обсуждать.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 02:23 
Аватара пользователя
По-моему, тут самое главное - дожидаться ответной реакции, и ориентироваться по ней.

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 07:08 
Аватара пользователя
Ms-dos4 в сообщении #882542 писал(а):
Munin
Тут либо говорить "ищи закономерность в ряду" $\[0,1,3,6,10...\]$.

Вот, нашел такое, это коэффициенты перед $\lambda$ в правом верхнем углу. Но как связать их такой китайской зависимостью ?

 
 
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение01.07.2014, 08:15 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #882512 писал(а):
Ну всё ок, можете для красоты свернуть сумму, (как у меня в посте).

Только, если $b \ne 1$

 
 
 [ Сообщений: 138 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group