тензор напряжений

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

вот еще философический вопрос: сила это вектор или ковектор? В формуле $ma=F$ это вектор, потому, что ускорение --вектор. А обобщенная сила на конфигурационном многообразии это ковектор. Если хочется чтоб было однообразно, то можно в формуле $ma=F$ счиать силу ковектором у которого там невидимый метрический тензор подрисован, который интекс поднимает.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #876738 писал(а):

вот еще философический вопрос: сила это вектор или ковектор?

Конечно, ковектор. А в уравнении $F=ma$ метрический тензор спрятан в массе. В общем случае масса - тензор, например, в твёрдом теле для квазичастиц. Кстати, для уравнения $F=\dot{p}$ даже вопроса такого не возникает, потому что импульс тоже ковектор.

Все физики это знают (ну, по крайней мере все, знакомые с ковекторами).

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Это уже высокие материи. В рамках классической механики можно считать силу вектором, а массу скаляром, противоречий не возникает.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #876748 писал(а):

Это уже высокие материи. В рамках классической механики можно считать силу вектором, а массу скаляром, противоречий не возникает.

В рамках классической - то же самое. Сила стоит в правой части уравнений Лагранжа второго рода, а масса - это коэффициент в кинетическом члене функции Лагранжа. Опять ковектор и тензор. Да и вообще, сила как градиент потенциала ну всегда будет ковектором.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Могу только сообщить принятую в учебниках по теормеху терминологию.

Второй закон Ньютона: $m\overline a=\overline F$ -- сила вектор, ускорение -- вектор, масса -- скаляр. Это первично.

Уравнения Лагранжа пишутся для системы материальных точек $m_1,\ldots, m_N$ с радиус-векторами $\overline r_1,\ldots,\overline r_N$. Радиус-векторы зависят от обобщенных координат $\overline r_i=\overline r_i(q^1,\ldots, q^m),\quad m\le 3N$ (могут еще и от времени зависеть, это опустим)
В уравнениях Лагранжа фигурируют обобщенные силы. По определению, обобщенная сила это

$$Q_k(q^1,\ldots, q^m)=\sum_i\Big(\overline F_i,\frac{\partial \overline r_i}{\partial q^k}\Big)$$

-- ковекторное поле на $m-$мерном многообразии с локальными координатами $q$. Скалярное произведение берется в смысле стандартной евклидовой метрики в $\mathbb{R}^3$.
(там еще выделяют активные силы и силы реакций идеальных связей это тоже опустим)

Пусть теперь у нас имеется одна частица с радиус-вектором $\overline r=(x^1,x^2,x^3)$ -- декартовы координаты материальной точки в нашем физическом пространстве, они же обобщенные координаты. Имеем

$$Q_k=\Big(\overline F,\frac{\partial \overline r}{\partial x^k}\Big)=F^ig_{ik}$$

-- ковектор.
Если сила потенциальна, то в данном формализме это означает, что $F^i=-g^{ij}\frac{\partial V}{\partial x^j}$.

[Munin]

(Оффтоп)

0. Учебники по теормеху пишутся так, чтобы не требовать от читателя знания дифгема. Исключения: учебник Арнольда; всякие modern/advanced изложения (по-русски таких практически нет).

Далее.

Oleg Zubelevich в сообщении #876777 писал(а):

Второй закон Ньютона: $m\overline a=\overline F$ -- сила вектор, ускорение -- вектор, масса -- скаляр. Это первично.

Ну неправда. Второй закон Ньютона $\dot{\overline{p}}=\overline{F}$ - вот что первично. Это общий закон природы, а $\overline{p}=m\overline{v}$ - частный факт. Это очень важно в физике: этот частный факт исчезает и в обобщённых координатах, и в твёрдом теле, и в релятивистской механике. А закон $\dot{\overline{p}}=\overline{F}$ везде остаётся. Форма $m\overline{a}=\overline{F}$ простительна только тем, кто физиком быть не собирается: школьникам, студентам нефизических специальностей.

Oleg Zubelevich в сообщении #876777 писал(а):

Уравнения Лагранжа пишутся для системы материальных точек $m_1,\ldots, m_N$ с радиус-векторами $\overline r_1,\ldots,\overline r_N$.

Вы не хуже меня знаете, что это не так. Это всего лишь способ познакомить студентов с уравнениями Лагранжа, но не их определение. Например, уравнения Лагранжа можно записать для тяжёлого стержня, а вот указанной системой (конечного числа) материальных точек он не является. Про уравнения Лагранжа для непрерывной среды даже не вспоминаю.

Oleg Zubelevich в сообщении #876777 писал(а):

Скалярное произведение берется в смысле стандартной евклидовой метрики в $\mathbb{R}^3$.

Ну и наконец, если есть евклидово скалярное произведение, то какая вообще разница между ковекторами и векторами?

-- 18.06.2014 17:30:27 --

(Оффтоп)

n. Понятно, что по определениям метрический тензор можно гонять туда и сюда. Смысла в этом немного. Что можно сделать (и что обычно делают), когда метрический тензор недоступен, я сказал. В учебниках по теормеху вы этого не найдёте (см. п. 0), как не найдёте и противоречащих этому утверждений.

-- 18.06.2014 17:34:09 --

(Оффтоп)

nn. Тот теормех, который используют физики, изложен в учебниках по теории поля.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #876793 писал(а):

Ну неправда. Второй закон Ньютона $\dot{\overline{p}}=\overline{F}$ - вот что первично. Это общий закон природы, а $\overline{p}=m\overline{v}$ - частный факт. Это очень важно в физике: этот частный факт исчезает и в обобщённых координатах, и в твёрдом теле, и в релятивистской механике. А закон $\dot{\overline{p}}=\overline{F}$ везде остаётся. Форма $m\overline{a}=\overline{F}$ простительна только тем, кто физиком быть не собирается: школьникам, студентам нефизических специальностей.

я не спорю, я просто излагаю точку зрения ,принятую в учебниках термеха , я с этого начал. Пока нет ТО это все, что в лоб, что по лбу: $m=const$.

Munin в сообщении #876793 писал(а):

Это всего лишь способ познакомить студентов с уравнениями Лагранжа, но не их определение

это именно определение ( в теормехе)

Munin в сообщении #876793 писал(а):

Например, уравнения Лагранжа можно записать для тяжёлого стержня, а вот указанной системой (конечного числа) материальных точек он не является

Замените суммы на интеграл Лебега, только и всего. Получатся универсальные формулы и для твердого тела и для материальных точек. Так Вильке делает в своем курсе

Munin в сообщении #876793 писал(а):

Про уравнения Лагранжа для непрерывной среды даже не вспоминаю.

это понятно, что основы везде общие, но подробности разные, Уравнения в частных производных и обыкновенные диф. уравнения это очень разные объекты и проблематика разная, математика разная. Кроме того, применение вариационных методов в МСС, как я понимаю, вообще очень ограничено, из-за термодинамики. Поэтому про МСС в данном контексте может и не надо вспоминать

Munin в сообщении #876793 писал(а):

Ну и наконец, если есть евклидово скалярное произведение, то какая вообще разница между ковекторами и векторами?

вот именно

Munin в сообщении #876793 писал(а):

Тот теормех, который используют физики, изложен в учебниках по теории поля.

очень хотелось бы повысить свое образование по физике в особенности по ТО и по квантам, если бы увидел учебник написанный на уровне строгости Арнольда, обязательно почитал бы

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #876802 писал(а):

Пока нет ТО это все, что в лоб, что по лбу: $m=const$.

Я перечислил несколько примеров, когда это не так, и ТО была только одним из них. Добавлю ещё: присоединённая масса при движении в жидкости или газе.

Oleg Zubelevich в сообщении #876802 писал(а):

это именно определение ( в теормехе)

Смотря по каким учебникам. Может, по вашему любимому - и определение. Не буду настаивать.

Oleg Zubelevich в сообщении #876802 писал(а):

очень хотелось бы повысить свое образование по физике в особенности по ТО и по квантам, если бы увидел учебник написанный на уровне строгости Арнольда, обязательно почитал бы

Боюсь, таких нет или почти нет.

Есть
Фаддеев, Якубовский. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков.
но я его не читал, так что рекомендовать не возьмусь.

Довольно тщательно (на взгляд нематематика) составлен трёхтомник
Вайнберг. Квантовая теория поля (полей). (Разные переводы по-разному, в оригинале Quantum theory of fields.)

По ТО я совершенно не готов что-то порекомендовать. Может быть,
Пенроуз. Структура пространства-времени. (Я читал не все главы.)
Петров А. З. Пространства Эйнштейна. (Не читал вообще.)

И вообще, попробуйте вот эту книгу:
Пенроуз. Путь к реальности.
Если не обращать внимания на авторские обозначения тензорных произведений, то это большой сборный учебник по куче глав теорфизики. Начало книги, разумеется, можете пропустить, разве что только ознакомиться с обозначениями. Начинать стоит с глав 13 (может быть, не нужна), 15 (важная терминология), 17 и далее везде. Главы 30 и 33 - в некоторой степени отсебятина.

[Oleg Zubelevich]

спасибо

[Munin]

И ещё, есть отдельная проблема непонимания/неприятия физики математиками, "неуклюжести" в физике. Она комментировалась многократно крупными специалистами. Я на эту тему тоже высказывался, но конечно, со своего шестка: post839807.html#p839807 (конкретно это сообщение). В общем, это стоит иметь в виду как подводный камень.

В общем, суть в том, что строгость в физике не стоит на первом месте. На первом месте стоит соответствие экспериментам.

[Munin]

Кстати, в той теме тоже много литературы хорошей упомянуто, причём столько, что глаза разбегаются. Я всё больше склоняюсь к тому, чтобы рекомендовать Пенроуза "Путь к реальности" как хотя бы путеводитель по разным разделам - а то будет непонятно, что куда и зачем.

-- 18.06.2014 23:42:42 --

+ post841644.html#p841644

-- 18.06.2014 23:52:02 --

+ post842286.html#p842286

-- 19.06.2014 00:04:13 --

+ post842864.html#p842864
чёрт, много как. Не сочтите за самолюбование (тем более что там не только я).