Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

nnosipov в сообщении #874442 писал(а):

Входят, конечно, но в обрезанном виде --- пределы функций есть, а пределов последовательностей нет.

Производная, кажется, тоже входила. Если да, то пределы функций оставили именно для этого.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874436 писал(а):

Вы имеете в виду объяснить, как механически дифференцировать, а потом рассказать, что такое производная?

Например, можно начать вот с этого: http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf После этого можно вполне сознательно применять дифференцирование и интегриривание. Какие у Вас возражения?

-- 12.06.2014, 00:00 --

Анализ -- это же "строгое" обоснование дифференцирования и интегрирования, их применяли и до формального обоснования, почему мы не можем это делать сегодня? Это же всё равно, это запретить людям считать, пока они не выучили коммутативную алгебру. Тем более, что никаких математических проколов в этом упрощённом подходе нет.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874444 писал(а):

Какие у Вас возражения?

Я видел эти слайды. Насколько я понимаю, это сводится к тому, что "зачем нам писать $\lim\limits_{x\to a} f(x)$, если можно просто взять и написать $f(a)$?"

-- Ср, 11 июн 2014 21:09:57 --

mishafromusa в сообщении #874444 писал(а):

Это же всё равно, это запретить людям считать, пока они не выучили коммутативную алгебру.

Разумеется, нет. Все, что нужно для счета, выводится из аксиом Пеано. Теория колец для этого не нужна.

mishafromusa в сообщении #874444 писал(а):

Анализ -- это же "строгое" обоснование дифференцирования и интегрирования, их применяли и до формального обоснования, почему мы не можем это делать сегодня?

Потому что у них было оправдание (обоснование не существовало), а у нас такого оправдания уже нет. Глупо игнорировать достижение науки, если оно уже совершено и упрощает дело.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874448 писал(а):

Насколько я понимаю, это сводится к тому, что "зачем нам писать $\lim\limits_{x\to a} f(x)$, если можно просто взять и написать $f(a)$?"

Совсем нет, это же сокращение для алгебраической выкладки, а её смысл достаточно ясен, и потом объясняется с помощью неравнств!

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874449 писал(а):

Совсем нет, это же сокращение для алгебраической выкладки

Почему нет? Вы берете функцию $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ и формально подставляете $x=a$, записав предварительно ее в более удобном виде.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874448 писал(а):

Глупо игнорировать достижение науки, если оно уже совершено и упрощает дело.

Вот в том то и дело, что не упрощает, а усложняет, т.к. обоснование приводится до примеров и приложений, которые показывают о чём предмет. Эти достижения были сделаны для обоснования вычислений, а не для их открытия и применения.

-- 12.06.2014, 00:24 --

g______d в сообщении #874450 писал(а):

Почему нет? Вы берете функцию $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ и формально подставляете $x=a$, записав предварительно ее в более удобном виде.

Да, но так это и работает, и так пределы и вычисляют, когда получается, и пределы не нужны в этих случаях.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874452 писал(а):

приводится до примеров и приложений, которые показывают о чем предмет.

Не показывают. Потому что есть предмет, а есть его приложения. Предмет не в примерах и не в приложениях. Можно (так часто делается) сначала рассказать лекцию "задачи, приводящие к определению производной", но заменять ими определение производной — извините.

[mishafromusa]

Никто не учит аксиомы Пеано, до того как начать считать.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874454 писал(а):

Никто не учит аксиомы Пеано, до того как начать считать.

Я возражал на коммутативную алгебру.

[mishafromusa]

Предмет арифметики не в аксиомах Пеано, предмет интегрирования и диффренцирования не в классическом анализе, эти операции можно почти всегда понять и без него. Школьников учат геометрии, давая им задачи, а не заставляя сначала читать трактат Гильберта о её обосновании.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874457 писал(а):

Предмет арифметики не в аксиомах Пеано, предмет интегрирования и диффренцирования не в классическом анализе, эти операции можно почти всегда понять и без него.

Не могу согласиться. Человеку, умеющему считать, аксиомы Пеано самоочевидны. Просто непонятно, как может быть иначе.

Человеку, умеющему брать интегральчики, определение интеграла не очевидно, и чуть непонятная функция попадется — он даже не будет знать, существует ли интеграл.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874458 писал(а):

Человеку, умеющему брать интегральчики, определение интеграла не очевидно, и чуть непонятная функция попадется — он даже не будет знать, существует ли интеграл.

Это полная чепуха, человек знает, что интеграл это площадь, и каждый дурак может сообразить как приблизить площадь без формального определения интеграла Римана. И в слайдах это есть, да там и доказательство существования интеграла для липшицевых функций тоже есть. Нормальным людям нужно научитьса вычислять площадь, а не доказывать, что она существует.

-- 12.06.2014, 01:10 --

Точно так же, понять геометрический и физический смысл производной можно на простых примерах, при помощи простых неравенств, и можно научиться дифференцировать и применять производную. Формальные определения для этого не нужны. После этого классический анализ будет гораздо понятнее, чем если изучать его с нуля.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874460 писал(а):

Это полная чепуха, человек знает, что интеграл это площадь, и каждый дурак может сообразить как приблизить площадь без формального определения интеграла Римана. И в слайдах это есть. Нормальным людям нужно научитьса вычислять площадь, а не доказывать, что она существует.

Мне это уже начинает надоедать. Ваша аналогия с аксиомами Пеано никуда не годится. Тот факт, что Вы считаете эту аналогию убедительной, говорит лично для меня не в пользу остального, сказанного Вами.

Человек, не знающий аксиом Пеано, но знающий основные свойства сложения, может понять доказательство теоремы любой сложности из элементарной теории чисел. И доказывать теоремы любой сложности, теоретически, тоже может. Аксиомы Пеано можно заменить свойствами сложения и умножения и про них вообще не говорить; есть некий набор самоочевидных свойств, приняв которые на веру, можно строго вывести все остальное.

В случае с интегралом ни о какой возможности строгих доказательств речь не идет. У студента, который только умеет вычислять интегралы и знает, что это площадь под графиком, никакой теоремы не получится, кроме совсем очевидных (типа интеграла суммы).

И уровень понимания совершенно разный. В случае с теорией чисел не понимающий всегда может спуститься на более низкий уровень, на котором свойства не вызывают сомнения ни у кого (типа коммутативности сложения). А в случае с интегралом спускаться некуда.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874462 писал(а):

А в случае с интегралом спускаться некуда.

Очень даже есть куда, у площади есть свойства, очевидные каждому дураку, и их можно использовать для доказательства всех теорем, например теоремы Ньютона-Лейбница. Пределы, или полнота, нужны только для доказательства существования площади.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874464 писал(а):

их можно использовать для доказательства всех теорем, например теоремы Ньютона-Лейбница

Главное, чтобы то, что доказывается, случайно неверным не оказалось. У той же формулы Ньютона-Лейбница у обеих точных формулировок есть нюансы: в одной нужна непрерывность подынтегральной функции, во второй (которую в соседней теме называли именем Барроу) нужно существование производной во всех точках и её интегрируемость по Риману; несуществование уже в одной точке всё портит сразу же.

mishafromusa в сообщении #874464 писал(а):

Пределы, или полнота, нужны только для доказательства существования площади.

Существование суммы целых чисел и существование площади – всё-таки вещи разного порядка. Одно очевидно, второе тоже очевидно, но не всегда верно.