Физика для «математиков»

[g______d]

Не понимаю, в чем здесь дыра, которую невозможно объяснить математику. Зачем искать конкретные состояния, если они не имеют прямого физического смысла? Если уж очень хочется работать в гильбертовом пространстве, то всегда можно выбрать какое-то представление; если хочется единственности, то выбрать неприводимое. Физические утверждения не должны зависеть от выбора представления.

По-моему, настоящая проблема в том, что нормальной теории не-нормируемых алгебр нет.

[EvilPhysicist]

g______d в сообщении #840431 писал(а):

Зачем искать конкретные состояния, если они не имеют прямого физического смысла?

Математическая часть меня говорит, что исследовать спектры операторов над пространством, не "имея в руках" само пространство как-то плохо.

g______d в сообщении #840431 писал(а):

По-моему, настоящая проблема в том, что нормальной теории не-нормируемых алгебр нет.

А, ну и это тоже.

[g______d]

EvilPhysicist в сообщении #840452 писал(а):

Математическая часть меня говорит, что исследовать спектры операторов над пространством, не "имея в руках" само пространство как-то плохо.

Его обычно можно построить. Проблема единственности сводится, грубо говоря, к тому, что мы не сможем отличить оператор от прямой суммы двух одинаковых таких же операторов на пространстве в 2 раза большей размерности. Но если не можем отличить, то и нет никакой разницы, или можно взять минимальное пространство (неприводимое представление).

Пример: пусть у нас есть плоскость и 2 оператора, например, $\partial/\partial x$ и $\partial/\partial y$, ну и пусть еще операторы умножения на функции от $x,y$. Не вдаваясь в детали того, какую алгебру они образуют, понятно, что у них есть "минимальное" представление в $L^2(\mathbb R^2)$, а можно еще добавить третью координату $z$, от которой ничего не зависит. Если все законы физики формулируются в терминах координат $x,y$, то можно разбить теорию в прямой интеграл одинаковых теорий, параметризуемых координатой $z$, и рассматривать каждую отдельно.

[kote]

Nemiroff в сообщении #840331 писал(а):

Тогда странно, что вы так резко воспели Арнольда

Я его и не воспевал, и не утверждал, что он идеален. В плане матанализа в Арнольде примерно то же, что и в Сивухине. Очевидно, книжка заинтересовала меня не анализам, а алгеброй.

Pphantom в сообщении #840386 писал(а):

Это была их механика, которая - в рамках мехмата - является разделом прикладной математики.

Ладно. Я не знал. Хорошо, будем считать, что это не физика. (Я обычно считаю прикладную математику частью того, к чему она, собственно, приложена, но это всё слишком субъективно, конечно.)

Nemiroff в сообщении #840331 писал(а):

Ну сосед Моцарта напел, понятно всё.

Я уже писал, что вполне доверяю соседу Моцарта, тем более что он учится на математической кафедре. К тому же, сосед Моцарта обсуждал этот вопрос с преподавателями кафедры физики и они совместно пришли к выводу, что Сивухин вообще не пользуется аксиоматикой Колмогорова (даже неявно), а использует какой-то свой, уличный теорвер.

EvilPhysicist в сообщении #840368 писал(а):

То есть он не рассчитан на теоретиков и математиков. Более того, читать этот курс начинают школьникам,а им просто физически невозможно рассказать про пределы интегральных сумм и билинейное произведение линейных пространств.

Так я и хочу учебник, который на них [теоретиков и математиков] рассчитан, если такой вообще существует. Об этом я и писал в первом посте, и имменно поэтому мне Сивухин и не нравится (не думайте, что я считаю его плохим в принципе, просто он не подходит лично мне). Аргумент про школьников, кстати, очень странный — Сивухин же для студентов эти книги писал, и тот факт, что его книги используют не по назначению, его никак не оправдывает.

EvilPhysicist в сообщении #840368 писал(а):

То есть, если вы знаете все возможные значения всех возможных физических величин системы, то все состояния, в которых может находится система, вы найти не можете. И вот как математику объяснить, как при такой "дыре" в теории работать.

Насколько я понял (на самом деле я, конечно, ничо не понял), это в некотором смысле аналог неполных теорий в матлогике. Не думаю, что это может обескуражить какого-нибудь математика.

Вообще, EvilPhysicist, кажется, Вы хотите меня запугать. Если Вы знаете еще какие-нибудь эпичные книжки, не стесняйтесь их предлагать. Я же специально не делал ограничений в плане сложности.

Nemiroff в сообщении #840331 писал(а):

kote в сообщении #840320 писал(а):

Зачем писать интеграл, если ты всё равно подразумеваешь под ним конечную сумму? (Я понимаю, что с точки зрения физики это оправдано, но всё же.)

В каком месте?

Да в любом! Раз уж Вы так хотите конкретных примеров, вот пример:
В первом пункте 33-го параграфа (у меня 4-е издание) Сивухин определяет момент инерции системы материальных точек как $\sum mr^2$. Ладно, запомнили. Во втором пункте он уже говорит про момент инерции тела, который вроде бы не определяет вообще нигде (во всяком случае, я не нашел определения). В следующем параграфе он пишет что-то не очень внятное про «элементарные массы» и пишет уже интеграл $\int r^2dm$, который, кстати, никак не может быть Римановым, по крайней мере в такой форме записи. Ну ладно, пусть будет интеграл. Но в 36-м параграфе он учит брать этот самый интеграл в конкретных случаях путём перенесения этих загадочных «элементарных масс» в хорошие места, то есть, видимо, подразумевает, что эти самые массы образуют какую-то дискретную структуру, проще говоря, снова считает, что момент инерции — сумма. Кроме того, в этом же параграфе (да почти в любом, вообще-то) обильно используются слова «бесконечно тонкий», «бесконечно короткий» и т. д., которые в стандартном матанализе ничего не значат (есть понятие «сколь угодно малый» — это совсем другое). Ну и как прикажете это всё понимать?

[Ms-dos4]

kote
Это интеграл Стилтьеса, если вам так угодно. Только смысла об этом там говорить нет
Бесконечно малые просто прижились в физике от Лейбницевского анализа. И кстати, сейчас они в принципе так же приведены в более-менее строгую форму (нестандартный анализ), хотя и в несколько изменённом виде. Впрочем опять же, к физике это не имеет отношения.
P.S.Вы физику учить хотите, или причитать на устоявшуюся терминологию?

[Nemiroff]

(Оффтоп)

kote в сообщении #840672 писал(а):

Я уже писал, что вполне доверяю соседу Моцарта, тем более что он учится на математической кафедре. К тому же, сосед Моцарта обсуждал этот вопрос

На будущее: "сосед Моцарта напел" --- это "сосед напел ЧТО", а не "ЧЕЙ сосед напел".

kote в сообщении #840672 писал(а):

который, кстати, никак не может быть Римановым, по крайней мере в такой форме записи

kote в сообщении #840672 писал(а):

Кроме того, в этом же параграфе (да почти в любом, вообще-то) обильно используются слова «бесконечно тонкий», «бесконечно короткий» и т. д., которые в стандартном матанализе ничего не значат (есть понятие «сколь угодно малый» — это совсем другое). Ну и как прикажете это всё понимать?

А-а-а, я понял. Параграф 6 в помощь.

kote в сообщении #840672 писал(а):

Сивухин вообще не пользуется аксиоматикой Колмогорова (даже неявно), а использует какой-то свой, уличный теорвер

Как раз эта "уличность" описана в параграфе 70.

[Pphantom]

kote в сообщении #840672 писал(а):

К тому же, сосед Моцарта обсуждал этот вопрос с преподавателями кафедры физики и они совместно пришли к выводу, что Сивухин вообще не пользуется аксиоматикой Колмогорова (даже неявно), а использует какой-то свой, уличный теорвер.

Вообще-то колмогоровская аксиоматика - не единственно возможная.

kote в сообщении #840672 писал(а):

Так я и хочу учебник, который на них [теоретиков и математиков] рассчитан, если такой вообще существует.

Они существуют. Другой вопрос, насколько это полезно без физической базы... Ну, например, Фаддеев, Якубовский, "Лекции по квантовой механике для студентов-математиков" (она буквально так называется).

kote в сообщении #840672 писал(а):

Ну и как прикажете это всё понимать?

Легко и непринужденно. Это действительно сумма по малым (хорошо, сколь угодно малым) элементам тела. То, что она не является интегралом Римана (и является интегралом Стилтьеса), вообще говоря, никого не волнует, ибо никак не влияет на результат.

[kote]

Ms-dos4 в сообщении #840679 писал(а):

Это интеграл Стилтьеса

Вот это прикол. Я думал, что это интеграл Лебега, ну то есть, видимо, почти угадал.

(Оффтоп)

Это должно быть в матане, или в функане, или где вообще? А то чо-то я про этот интеграл раньше не слышал.

Но интеграл Силтьеса всё равно не объясняет, что такое элементарные массы и почему их можно как-то хитро переносить.

Ms-dos4 в сообщении #840679 писал(а):

P.S.Вы физику учить хотите, или причитать на устоявшуюся терминологию?

Я уже писал, что это терпимо, но всё равно не слишком приятно.

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #840703 писал(а):

На будущее: "сосед Моцарта напел" --- это "сосед напел ЧТО", а не "ЧЕЙ сосед напел".

Лол, не знал.

[g______d]

kote в сообщении #840708 писал(а):

Вот это прикол. Я думал, что это интеграл Лебега, ну то есть, видимо, почти угадал.

По-моему, это как раз интеграл Лебега, где мерой является масса. Собственно, понятие меры как раз и объединяет дискретный и непрерывный случаи.

-- Вт, 25 мар 2014 11:58:18 --

Pphantom в сообщении #840707 писал(а):

Они существуют. Другой вопрос, насколько это полезно без физической базы... Ну, например, Фаддеев, Якубовский, "Лекции по квантовой механике для студентов-математиков" (она буквально так называется).

Там точно также опущены многие тонкие места, как и в учебниках квантовой механики для физиков. Плюсы в том, что там нет откровенно неверных утверждений, а также в объеме и отсутствии воды.

Желающие понять математическую часть квантовой механики могут почитать четырехтомник Рида и Саймона "Методы современной математической физики". Кажется оверкиллом, но спектральная теория так же нужна для квантовой механики, как линейная алгебра для колебательных систем с конечным числом степеней свободы.

[kote]

Nemiroff в сообщении #840703 писал(а):

А-а-а, я понял. Параграф 6 в помощь.

Что ж вы сразу не сказали (когда я написал, что Сивухин прячет под знаком интеграла сумму)? Теперь я примерно начал понимать, что он пишет. Жить стало лучше, жить стало веселее :-) (Про производную по объёму я всё равно не понял. Это снова функан какой-то?)

Остается две загадки: почему препы не показали мне этот параграф, хотя Сивухин первый в списке литературы (это риторический вопрос), и почему вы друг другу противоречите (я про сумму, интеграл Силтьеса и интеграл Лебега).

Pphantom в сообщении #840707 писал(а):

Они существуют. Другой вопрос, насколько это полезно без физической базы...

Ну я же хожу иногда на лекции, лабы делаю и всё такое.

[g______d]

kote в сообщении #840716 писал(а):

Про производную по объёму я всё равно не понял. Это снова функан какой-то?

Видимо, имеется в виду теорема Радона-Никодима.

[Ms-dos4]

g______d
Можно и так (через Лебега), конечно, но по моему в данном случае это излишне. Там и интегралом Римана-Стилтьеса обойтись можно.

[kote]

g______d
Может, по другим разделам что-нибудь посоветуете?

g______d в сообщении #840717 писал(а):

Видимо, имеется в виду теорема Радона-Никодима.

Совсем для школьников :-)

[g______d]

Ms-dos4 в сообщении #840720 писал(а):

Там и интегралом Римана-Стилтьеса обойтись можно.

Многомерным?

[zer0]

Я думаю, каждый находит свой баланс между физической интуицией и математической строгостью. Плохо не когда математики много/мало - плохо когда их соотношение не соотвествует складу ума. Иногда физика ведет, иногда математика подсказывает. Сейчас доступны компьютеры, с помощью которых можно строить модели и делать расчеты. Не хватает интуиции, формул - можно сделать числовой расчет и продвинуться в понимании. Вопрос на засыпку - насколько природа сложнее, чем мы про нее думаем? Когда-то казалось - еще немного, еще чуть-чуть и вот она - "формула всего". Может, природа сложнее, чем кажется на 2 порядка или на 20 или на 200... Я вот не вижу, где в физике "прячется" сознание, разум.

Сможет ли человечество постичь ее законы, если для понимания "винтика" природного механизма потребуется несколько жизней? Тут физика сближается с математикой - вполне могут быть теоремы, для понимания которых надо несколько жизней гениальных математиков.

И что делать, когда математик построил модель и не знает, что с ней дальше делать, а физик вообще не понимает, что математик нагородил...