2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 14:27 
функция $f: R \to R$ дифференцируема, и $\inf_{t \in R} |f'(t)| \geqslant q > 1$
Доказать, что уравнение $f(t)=t$ имеет единственное решение. на $R$.

Решение есть, но нужно доказать непрерывность производной, чтобы показать, что производная положительна или отрицательна во всех точках, иначе - производная в одной точке будет иметь положительный, а в другой - отрицательный знак.

Как доказать непрерывность производной? Где искать и как доказать не знаю.

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 15:32 
Аватара пользователя
Что Вы знаете о функциях, у которых производная есть везде, но непрерывна не везде? Так вообще бывает? Знаете пример (или его отсутствие)?

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 16:56 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение14.01.2014, 20:19 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Ivan0001, настоятельно рекомендуется окружать формулы знаками доллара, после чего тег math практически во всех случаях проставляется сам, а шрифт формул становится единообразным.
Формулы поправил.

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 20:35 
Ivan0001 в сообщении #814285 писал(а):
функция $f: R \to R$ дифференцируема, и $\inf_{t \in R} |f'(t)| \geqslant q > 1$. Как доказать непрерывность производной?
не получится никак 8-)

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 20:40 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

День сурка.

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 20:41 
Аватара пользователя
Из условия следует, что $f(t)$ строго монотонна на $\mathbb{R}$, это значит, что она имеет дифференцируемую обратную, причем $|(f^{-1}(t))'| \leqslant \frac{1}{q} < 1$. Уравнение $f(t) = t$ можно рассматривать, как уравнение $t = f^{-1}(t)$. Ну а тут $f^{-1}(t)$ - сжимающее (из Лагранжа), так что...

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 21:47 
SpBTimes в сообщении #814433 писал(а):
Из условия следует, что $f(t)$ строго монотонна на $\mathbb{R}$
ну в этом и состоит нетривиальная часть задачи. Почему производная не может принимать значения разных знаков? А если мы умеем все-таки доказывать эту нетривиальную часть, то мы докажем таким же образом, что или $f(t)-t$, или $-f(t)+t$ имеет производную, большую $q-1$, и дальше воспользуемся теоремой о промежуточном значении :-)

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 21:51 
Аватара пользователя
Нетривиального ничего нет, есть теорема Дарбу.

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 22:14 
ДАРБУ ТЕОРЕМА: если функция в каждой точке некоторого промежутка оси действительных чисел имеет конечную производную, то, принимая два каких-либо значения на этом промежутке, производная принимает на нем и любое промежуточное.

Допустим, можно как-то применить теорему Дарбу об промежуточных значениях производной, а как доказать ограниченность производной (модуля производной) на $\mathbb{R} $ ?

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 22:15 
Аватара пользователя
Она не обязана быть ограниченной.

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 22:18 
Ivan0001 в сообщении #814482 писал(а):
...а как доказать ограниченность производной (модуля производной) на R?

это неверно

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 22:22 
SpBTimes в сообщении #814468 писал(а):
Нетривиального ничего нет, есть теорема Дарбу.

да, спасибо! я не знал, что это довольно простой факт :-(

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 22:24 
.

 
 
 
 Re: Вопрос по функану
Сообщение14.01.2014, 22:25 
Аватара пользователя
patzer2097
Ну, он не совсем стандартен, как мне кажется :)

-- Вт янв 14, 2014 22:27:12 --

ewert
А чем плохо мое, особенно, если это в курсе фана?)

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group