Вопрос по функану

[ewert]

SpBTimes в сообщении #814492 писал(а):

А чем плохо мое,

Ничем, я невнимательно прочитал условие.

[SpBTimes]

ewert
Вы подумали $q < 1$?

[Ivan0001]

Вот пояснение от одного человека, но он никак не может помочь, он писал, что непрерывность не нужна, может быть сможете пояснить?:
Если $f'(x)>0$, то $f(x+h)=f(x)+f'(h)+w(x,h)$
$\frac{\partial w}{\partial h}\ (0,0)=0
$\Rightarrow w(x,h)=h\widetilde{w}$,где $\widetilde{w}$-непрерывная функция и $\widetilde{w}(0,0)=0$
Поэтому на некоторой окрестности нуля в $\mathbb{R}^{2}$
$\widetilde{w}(x,h)> \frac{ -f'(x) }{ 2 } $.Следовательно, $f(x,h)=f(x)+f'(x)h+h\widetilde{w}(x,h)=f(x)+(f'(x)+\widetilde{w}(x,h))h>f(x)+\frac{ f'(x)h }{ 2 }$ (неравенство выполняется на окрестности нуля в $\mathbb{R}^{2}$). Коэффициент при h положительный - значит, функция возрастает по h на некоторой окрестности нуля.

Здесь непонятно, почему $\widetilde{w}$ непрерывна, и почему $\widetilde{w}(x,h)> \frac{ -f'(x) }{ 2 } $

-- 15.01.2014, 00:22 --

Так же не понятно почему из того, что в окрестности нуля функция возрастает следует, что она возрастает на всей числовой прямой.

[SpBTimes]

Ivan0001
Вам же сказали, теорема Дарбу. В чем проблема?
Если доказывать без нее, то придется доказать её в каком-либо виде все равно.

[Ivan0001]

По теореме Дарбу, если бы производная имела бы разные знаки в двух разных точках а и b, то она бы обращалась в ноль на интервале (a,b). А по условию этого не может быть, значит производная либо больше нуля, либо меньше нуля на всей числовой прямой.

Но чтобы воспользоваться теоремой Дарбу, нужно показать, что в каждой точке производная конечна.

Конечность в каждой точке, видимо, не означает ограниченность в каждой точке.

Как доказать конечность производной в каждой точке?

[mihailm]

Возьмем производную точке - она конечна.
Такое доказательство сойдет?

[Ivan0001]

Понятно, производная конечна по определению дифференцируемости.

-- 15.01.2014, 17:56 --

Да, спасибо всем!

-- 15.01.2014, 17:57 --

особенно, SpBTimes