Вопрос по функану

[Ivan0001]

функция $f: R \to R$ дифференцируема, и $\inf_{t \in R} |f'(t)| \geqslant q > 1$
Доказать, что уравнение $f(t)=t$ имеет единственное решение. на $R$.

Решение есть, но нужно доказать непрерывность производной, чтобы показать, что производная положительна или отрицательна во всех точках, иначе - производная в одной точке будет иметь положительный, а в другой - отрицательный знак.

Как доказать непрерывность производной? Где искать и как доказать не знаю.

[ИСН]

Что Вы знаете о функциях, у которых производная есть везде, но непрерывна не везде? Так вообще бывает? Знаете пример (или его отсутствие)?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Ivan0001, настоятельно рекомендуется окружать формулы знаками доллара, после чего тег math практически во всех случаях проставляется сам, а шрифт формул становится единообразным.
Формулы поправил.

[patzer2097]

Ivan0001 в сообщении #814285 писал(а):

функция $f: R \to R$ дифференцируема, и $\inf_{t \in R} |f'(t)| \geqslant q > 1$. Как доказать непрерывность производной?

не получится никак

[svv]

(Оффтоп)

День сурка.

[SpBTimes]

Из условия следует, что $f(t)$ строго монотонна на $\mathbb{R}$, это значит, что она имеет дифференцируемую обратную, причем $|(f^{-1}(t))'| \leqslant \frac{1}{q} < 1$. Уравнение $f(t) = t$ можно рассматривать, как уравнение $t = f^{-1}(t)$. Ну а тут $f^{-1}(t)$ - сжимающее (из Лагранжа), так что...

[patzer2097]

SpBTimes в сообщении #814433 писал(а):

Из условия следует, что $f(t)$ строго монотонна на $\mathbb{R}$

ну в этом и состоит нетривиальная часть задачи. Почему производная не может принимать значения разных знаков? А если мы умеем все-таки доказывать эту нетривиальную часть, то мы докажем таким же образом, что или $f(t)-t$, или $-f(t)+t$ имеет производную, большую $q-1$, и дальше воспользуемся теоремой о промежуточном значении

[SpBTimes]

Нетривиального ничего нет, есть теорема Дарбу.

[Ivan0001]

ДАРБУ ТЕОРЕМА: если функция в каждой точке некоторого промежутка оси действительных чисел имеет конечную производную, то, принимая два каких-либо значения на этом промежутке, производная принимает на нем и любое промежуточное.

Допустим, можно как-то применить теорему Дарбу об промежуточных значениях производной, а как доказать ограниченность производной (модуля производной) на $\mathbb{R} $ ?

[SpBTimes]

Она не обязана быть ограниченной.

[mihailm]

Ivan0001 в сообщении #814482 писал(а):

...а как доказать ограниченность производной (модуля производной) на R?

это неверно

[patzer2097]

SpBTimes в сообщении #814468 писал(а):

Нетривиального ничего нет, есть теорема Дарбу.

да, спасибо! я не знал, что это довольно простой факт

[ewert]

.

[SpBTimes]

patzer2097
Ну, он не совсем стандартен, как мне кажется :)

-- Вт янв 14, 2014 22:27:12 --

ewert
А чем плохо мое, особенно, если это в курсе фана?)