Антиматерия как движение назад в прошлое.

[Munin]

EvgenB в сообщении #762354 писал(а):

В связи с этим случаем пространство Лобачевского называют релятивистским пространством скоростей.

Господи, покарай всех двоечников! Уж сколько раз твердили миру, что всякая селёдка рыба, но не всякая рыба - селёдка. Релятивистское пространство скоростей есть пространство Лобачевского, но не наоборот.

EvgenB в сообщении #762354 писал(а):

Мне этот шар кажется странным объектом.

Ну и плюньте на него. Чего вы носитесь со своими неудачными выдумками?

EvgenB в сообщении #762354 писал(а):

Можно ли рассматривать его как пространство, по аналогии с эллиптическим пространством?

Можно, если это пространство Лобачевского (также называемое гиперболическим пространством).

EvgenB в сообщении #762354 писал(а):

Следует ли считать это пространство замкнутым, по аналогии со сферическим пространством?

Следует считать это не по аналогии, а по определениям и формулам. Прямой расчёт показывает, что это пространство открытое.

[EvgenB]

Munin в сообщении #762364 писал(а):

EvgenB в сообщении #762354 писал(а):

Мне этот шар кажется странным объектом.

Ну и плюньте на него. Чего вы носитесь со своими неудачными выдумками?

Я не плюю на красивые вещи. В чем вы увидели мою выдумку?

[Munin]

EvgenB в сообщении #762388 писал(а):

Я не плюю на красивые вещи.

Потому я и предлагаю плюнуть, что она некрасива (по сравнению с тем, что вы же изложили абзацем выше).

[EvgenB]

Что вы называете моей выдумкой? То, о чем не читали в книгах?

[Munin]

Ваш бред, напоминающий то, что я читал в книгах, но по сравнению с ними - более неграмотный и уродливый.

[EvgenB]

Уважаемый Munin!
Я привел формулы преобразования, перевел их на обычный язык, отметил особенности преобразования. Теоретически допускаю, что мог что-то неправильно истолковать. Вы своего прочтения не предложили, но, мягко говоря, выразили абстрактные сомнения в верности моих слов. Если мое возмущение по этому поводу вы сочли за грубость, то прошу прощения.

[Munin]

EvgenB в сообщении #762800 писал(а):

Вы своего прочтения не предложили, но, мягко говоря, выразили абстрактные сомнения в верности моих слов.

Идите читайте букварь.

EvgenB в сообщении #762800 писал(а):

В итоге у меня осталось впечатление, что вы или не умеете читать формулы, или, как вы говорите, вам лень это делать.

Да, лень. Поразительная прозорливость: я ведь сам вам об этом сказал.

[EvgenB]

Someone в сообщении #761037 писал(а):

Причём здесь пространство Минковского? Вы эту неудачную систему координат выбрали, к Вам и претензии.
Постарайтесь понять, что выбор любой системы координат никаким образом не влияет на физику. Система координат - это просто техническое средство описания, позволяющее нам писать формулы в определённом виде, и не более того. Если Вы это поймёте, Вы не будете писать такую бредятину. Однако мой опыт подсказывает, что это крайне маловероятно.

Я так и не смог понять причину Вашего негодования. Возможно, Вы просто погорячились. Возможно, я действительно не адекватен. На всякий случай, изложу то же самое еще раз, но более продуманно и подробно.
В метрике Фридмана

$$dl^2=R^2(t)dl^2-c^2t^2,$$

в одной ее популярной форме, пространственную часть

$$dl^2=\frac{u_x^2+u_y^2+u_z^2}{(1+ku^2/4)^2},\;k=1,\;0,\;-1,\;u^2=u_x^2+u_y^2+u_z^2,$$

при $k=1$ можно получить следующим образом. В четырехмерном евклидовом пространстве с линейным элементом

$$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2$$

выделим сферу радиуса $r$ с центром в начале координат:

$$x^2+y^2+z^2+w^2=r^2.$$

Спроектируем точки сферы из точки с координатами $(0,0,0,-r)$ на гиперплоскость $w=r:$

$$\frac{x}{u_x}=\frac{y}{u_y}=\frac{z}{u_z}=\frac{r+w}{2r}=\frac{4r^2}{4r^2+u^2}.$$

Это соответствует преобразованию координат

$$x=\frac{4r^2u_x}{4r^2+u^2},\;y=...,\;z=...,\;w=\frac{r(4r^2-u^2)}{4r^2+u^2}.$$

Переходя к дифференциалам и подставляя их в формулу линейного элемента, получаем:

$$dl^2=\frac{du_x^2+du_y^2+du_z^2}{(1+u^2/4r^2)^2},$$

что при $r=1$ соответствует нашему случаю.
Для получения $dl^2$ при $k=-1$ заменим $w,r$ на $iw,ir:$

$$x^2+y^2+z^2-w^2=-r^2,$$

$$\frac{x}{u_x}=\frac{y}{u_y}=\frac{z}{u_z}=\frac{r+w}{2r}=\frac{4r^2}{4r^2-u^2},$$

$$dl^2=\frac{du_x^2+du_y^2+du_z^2}{(1-u^2/4r^2)^2}.$$

Случай $r=1$ соответствует стереографической проекции псевдосферы радиуса $i$.
В общем случае рассматриваемой формы метрики Фридмана, четырехмерные пространства, в которых мы представляли сферу и псевдосферу, являются "вспомогательными" в том смысле, что внутренняя геометрия пространственной части пространства Фридмана самодостаточна и не нуждается в четырехмерном пространстве для своей реализации. Поэтому от рассмотренных преобразований можно абстрагироваться. Но в случае $R(t)=ct$ пространство Фридмана становиться пространством Минковского, "вспомогательное" пространство становиться реальным пространством Минковского и абстрагироваться от преобразования координат уже нельзя. Мы имеем:

$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2,\;w=ict,$$

$$x=\frac{4ctu_x}{4-u^2},\;y=\frac{4ctu_y}{4-u^2},\;z=\frac{4ctu_z}{4-u^2},\;\tau=\frac{t(4+u^2)}{4-u^2},$$

$$dx=\frac{4cu_xdt}{4-u^2}+\frac{4ct(du_x(4-u^2)+2u_x(u_xdu_x+u_ydu_y+u_zdu_z))}{(4-u^2)^2}=d(t_x)+d(u_x),$$

$$dy=...=d(t_y)+d(u_y),\;dz=...=d(t_z)+d(u_z),$$

$$d\tau=\frac{(4+u^2)dt}{4-u^2}+\frac{16t(u_xdu_x+u_ydu_y+u_zdu_z)}{(4-u^2)^2}=d(t)+d(u),$$

$$d(u_x)^2+d(u_y)^2+d(u_z)^2-c^2d(u)^2=c^2t^2\left(\frac{du_x^2+du_y^2+du_z^2}{(1-u^2/4)^2}\right),$$

$$d(t_x)^2+d(t_y)^2+d(t_z)^2-c^2d(t)^2=-c^2dt^2,$$

$$d(t_x)d(u_x)+d(t_y)d(u_y)+d(t_z)d(u_z)-c^2d(t)d(u)=0.$$

Равенства

$$x^2+y^2+z^2-c^2\tau^2=-c^2t^2,$$

$$\frac{x}{u_x}=\frac{y}{u_y}=\frac{z}{u_z}=\frac{ct+c\tau}2$$

означают, что $u_x,u_y,u_z$ -это координаты стереографической проекции псевдосферы радиуса $i$ на гиперплоскость $w=i$. Действительно, для аналогичной проекции псевдосферы радиуса $ict$ мы бы имели

$$\frac{x}{x'}=\frac{y}{y'}=\frac{z}{z'}=\frac{ct+c\tau}{2ct},$$

где $x',y',z',ict$ - координаты точек проекции. Следовательно, данное преобразование координатам точек псевдосферы радиуса $ict$ ставит в соответствие координаты точек ее стереографической проекции, умноженные на $1/ct$.
Очевидно, что в данной системе координат точки пространства Минковского, которые в исходной системе координат располагались в верхней и нижней части изотропного конуса, располагаются в различных областях гиперплоскости $w=i$. Менее очевидно, что множеству точек этой гиперплоскости с координатами $u<2$ соответствует модель пространства Лобачевского, называемая моделью Пуанкаре. Точки с координатами $u=2$ являются особыми точками и в общем случае рассматриваемой формы метрики Фридмана при $k=-1$, поэтому считать их "недостатком" именно данной системы координат нельзя.
Аналогичным образом можно проанализировать и вторую из отмеченных мной координатных систем.
Никакого произвола со своей стороны в проведенном анализе я не вижу.

[Someone]

Откуда взялись комплексные координаты? По определению координаты действительные.

[EvgenB]

Здесь, действительно, путаница в мозгах, в том числе и в моих. Псевдоевклидовым пространством называется евклидово пространство, среди базисных векторов которого, на которые "натянуты" координатные оси, существуют мнимо-единичные векторы (Н. В. Ефимов, "Высшая геометрия"). Пространством Минковского назвается евклидово пространство с одним мнимо-единичнм базисным вектором. Я же все время представлял себе псевдоевклидово пространство как евклидово пространство с неевклидовой метрикой. По-моему, все физики так и делают. Не ручаюсь за других математиков, но Ефимов называет такое представление моделью псевдоевклидового пространства. По сути же оба взгляда - или мнимо-единичная ось, или неевклидова метрика - приводят к одинаковым результатам.

[Munin]

"Мнимо-единичный" и комплексный - вещи разные.

[EvgenB]

Речь идет о мнимо-единичном векторе (терминология Н. В. Ефимова). Если я правильно понимаю, имеется в виду вектор, умноженный на мнимую единицу. По сути же данного вопроса можно и не углубляться в определения. Если представить метрику пространства Минковского в виде

$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2,$$

тогда

$$w=ict.$$

Если представить ее в виде

$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-dw^2,$$

тогда

$$w=ct.$$

Если сопоставлять сферу с псевдосферой, удобно пользоваться первой записью.

[JoAx]

EvgenB в сообщении #767921 писал(а):

Если сопоставлять сферу с псевдосферой, удобно пользоваться первой записью.

Только у сферы всегда $ds^2>0$, а у псевдосферы - нет.
Это важно?

[EvgenB]

Конечно важно. Псевдосфера может быть действительного и мнимого радиуса. Если радиус мнимый, псевдосфера находится внутри изотропного конуса пространства-времени, если действительный - снаружи. По-моему, Вы это и сами знаете.

[Someone]

EvgenB в сообщении #767921 писал(а):

Речь идет о мнимо-единичном векторе (терминология Н. В. Ефимова). Если я правильно понимаю, имеется в виду вектор, умноженный на мнимую единицу.

Нет, все векторы действительные, если, конечно, не рассматривать комплексные пространства, но это совсем другое. Поэтому умножать вектор на мнимую единицу нельзя. Термин Ефимова относится к (векторным) пространствам с индефинитным скалярным произведением и обозначает вектор, индефинитный скалярный квадрат которого равен $-1$.

Что касается пространства Минковского, то его метрику записывают как в виде

$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2,$$

так и в виде

$$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$$

В первом случае "мнимо-единичным" будет времениподобный вектор, во втором — пространственноподобный, поэтому физического смысла в этом термине нет.

EvgenB в сообщении #767921 писал(а):

тогда

$$w=ict.$$

Я уже писал, что в многообразии нет точек с комплексными значениями координат — просто по определению. Поэтому, если $t$ действительное, то $w$ будет мнимым, и наоборот, и такая замена не определяет никаких координат на многообразии.

Вообще, Вы с этой идеей запоздали лет на сто. Это в первое время после изобретения пространства Минковского упражнялись с комплексными координатами и пытались получить из этого что-нибудь полезное. Сейчас это никого не интересует, потому что не получается ничего, что нельзя было бы получить без комплексных чисел.

В ОТО этот фокус изредка применяется: если есть какое-нибудь (аналитическое) решение уравнений ОТО, то можно попытаться сделать в нём комплексную "замену координат"; если после замены координат получится метрический тензор, который при действительных значениях новых координат принимает действительные значения и имеет правильную сигнатуру, то, считая новые координаты действительными, можем получить новое решение уравнений ОТО (я не в курсе, всегда ли). Но это будет другое многообразие, не совпадающее с исходным, и никакого соответствия между точками этих многообразий не получается. В частности, в рассмотренном Вами случае нет никакого соответствия между точками сферы и псевдосферы.