Вопрос из ОТО

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #749040 писал(а):

Ничего подобного, репер падающей СО определён везде

Фиг с ним, пускай определён везде. Это не означает (без специального доказательства), что из этих реперов можно склеить плоское пространственно-подобное сечение.

SergeyGubanov в сообщении #749040 писал(а):

Опять же, не надо забывать, что в Шварцшильда одинаково хорошо переходят оба Пенлеве как со знаком плюс ("чёрная дыра") так и со знаком минус ("белая дыра")

Хорошо известно, что координаты Шварцшильда — плохие и не определяют ситуацию однозначно.

SergeyGubanov в сообщении #749040 писал(а):

С точки зрения теоремы Биркгофа - да. Однако при её доказательстве не гнушаются комплексными преобразованиями координат.

Доказательство теоремы Биркгофа видел (МТУ, Вайнберг, Толмен). Комплексных замен координат в нём не нашёл. Там просто решаются уравнения Эйнштейна.

SergeyGubanov в сообщении #749040 писал(а):

Мне этого и не надо было открывать потому, что это уже открыто.

Это любопытно. Вычисления пока не проверял. Если соберусь - проверю.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #749052 писал(а):

Доказательство теоремы Биркгофа видел (МТУ, Вайнберг, Толмен). Комплексных замен координат в нём не нашёл. Там просто решаются уравнения Эйнштейна.

Ещё доказательство теоремы Биркгофа есть у Бурланкова в книге "Время, пространство, тяготение" http://shop.rcd.ru/details/1001 (кстати, только что обнаружил, что если поискать в Интернете "Burlankov D.E. _Vremja, prostranstvo, tjagotenie.pdf", то оказывается уже можно скачать эту книгу бесплатно ) в разделе 12.2.4. Теорема Биркгофа, страница 289. Там про комплексность не забыто. Формально теорема Биркгофа всегда выполняется, но иногда преобразования координат и времени для приведения к Шварцшильдовой форме могут оказаться комплексными.

И не всегда дело даже в комплексности. Обратите внимание, что с точки зрения Биркгофа и "$+$" Пэнлеве ("чёрная дыра") и "$-$" Пэнлеве ("белая дыра") есть одно и тоже, так как связано друг с другом "невинным" координатным преобразованием $t \to - t$. Однако физически это разные объекты.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #749040 писал(а):

Поэтому то что одинаково по Биркгофу не обязательно одинаково по Физике.

Дайте ссылку на этого автора ("Физика"), где и когда опубликовано. Или прекратите нести пургу.

-- 25.07.2013 16:59:05 --

SergeyGubanov в сообщении #749074 писал(а):

Ещё доказательство теоремы Биркгофа есть у Бурланкова

Если Бурланков не сумел доказать теорему без комплексных преобразований, это не значит, что теорема без них не доказывается. Фамилия вашего кумира выключает вам мозги напрочь.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #749074 писал(а):

Ещё доказательство теоремы Биркгофа есть у Бурланкова в книге "Время, пространство, тяготение" ... в разделе 12.2.4. Теорема Биркгофа, страница 289. Там про комплексность не забыто

Начхать мне на Бурланкова и на его закидоны, пусть даже комплексные.

SergeyGubanov в сообщении #749074 писал(а):

И не всегда дело даже в комплексности. Обратите внимание, что с точки зрения Биркгофа и "$+$" Пэнлеве ("чёрная дыра") и "$-$" Пэнлеве ("белая дыра") есть одно и тоже, так как связано друг с другом "невинным" координатным преобразованием $t \to - t$. Однако физически это разные объекты.

Я уже говорил. Стандартная система координат Шварцшильда — плохая. Она склеивает две области в одну. Вместо Пенлеве можно взять Эддингтона — Финкельштейна или Крускала — Шекереса.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #749135 писал(а):

Дайте ссылку на этого автора ("Физика"), где и когда опубликовано. Или прекратите нести пургу.

Вот две метрики эквивалентные по Биркгофу, но разные физически:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2$$

Физическая разница: при знаке плюс нельзя вылезти из под горизонта, а при знаке минус нельзя залезть под горизонт.

Ещё вопросы будут?

[Munin]

С чего вы взяли, что они эквивалентны?

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #749183 писал(а):

С чего вы взяли, что они эквивалентны?

Странный вопрос. Для эквивалентности в смысле теоремы Биркгофа метрики должны быть сферически симметричными и удовлетворять вакуумным уравнениям Эйнштейна. В этом случае существует преобразование координат (возможно комплексное) сводящее одну метрику к другой. И, действительно, в данном случае одна метрика сводится к другой координатным преобразованием $t \to - t$. Однако, теорема Биркгофа, являясь верной математически, ценности для физики почти не представляет потому, что метрики эквивалентные в смысле теоремы Биркгофа в физическом смысле могут быть не эквивалентными, а описывать разные физические объекты.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #749483 писал(а):

Странный вопрос. Для эквивалентности в смысле теоремы Биркгофа метрики должны быть сферически симметричными и удовлетворять вакуумным уравнениям Эйнштейна. В этом случае существует преобразование координат (возможно комплексное) сводящее одну метрику к другой. И, действительно, в данном случае одна метрика сводится к другой координатным преобразованием $t \to - t$.

Эти две метрики относятся к разным областям сферически симметричного пространства-времени "вечной" чёрной дыры. Сжимающаяся система координат покрывает области I и II, расширяющаяся — области III и IV. При замене $t$ на $-t$ эти области меняются местами. В системе координат Шварцшильда эти две области "наложены" друг на друга и не различаются.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #749483 писал(а):

Для эквивалентности в смысле теоремы Биркгофа метрики должны быть сферически симметричными и удовлетворять вакуумным уравнениям Эйнштейна.

Вау.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #749499 писал(а):

Эти две метрики относятся к разным областям сферически симметричного пространства-времени "вечной" чёрной дыры. Сжимающаяся система координат покрывает области I и II, расширяющаяся — области III и IV. При замене $t$ на $-t$ эти области меняются местами. В системе координат Шварцшильда эти две области "наложены" друг на друга и не различаются.

Это всё хорошо, но это язык геометрии. То что на языке математики может быть одинаковым, на языке физики может быть разными физическими объектами, явлениями или процессами.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #750133 писал(а):

то всё хорошо, но это язык геометрии. То что на языке математики может быть одинаковым, на языке физики может быть разными физическими объектами, явлениями или процессами.

Не порите чушь. Как раз на языке математики эти две области чётко различаются.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #750165 писал(а):

Не порите чушь. Как раз на языке математики эти две области чётко различаются.

Кто бы сомневался. Только, я, вообще-то, не про области писал.

Кстати, по существу темы у Вас есть что сказать?

Я предлагаю топикстартеру записать нерелятивистский лагранжиан твёрдого тела (ему интересно кольцо) в гравитационном поле вида:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dx - V^x dt \right)^2 - \left( dy - V^y dt \right)^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2$$

в системе отсчёта движущейся по закону $\frac{dx^i}{dt} = V^i$ трёхмерное пространство евклидово поэтому можно пользоваться всеми получаемыми из этого бонусами. Нерелятивистский лагранжиан точечного тела будет

$$L = \frac{1}{2} m \left( \frac{d \vec{r}}{dt} - \vec{V}(r(t), t) \right)^2$$

Далее по накатанной колее классической механики надо ввести радиус-вектор центра масс $\vec{R}$ такой, что радиус-вектор некой точки на твёрдом теле задаваемой (относительно центра инерции) радиус-вектором $\vec{\xi}$ будет

$$\vec{r}(t) = \vec{R}(t) + \vec{\xi}(t)$$

Вместо массы $m$ ввести плотность $\rho(\vec{\xi})$ зависящую от точки этого твёрдого тела в системе центра инерции. И проинтегрировав по всем точкам тела получить искомый Лагранжиан.

У кого-нибудь есть претензии к этой программе действий? Иные предложения?

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #750220 писал(а):

У кого-нибудь есть претензии к этой программе действий?

Зачем повторяться? Бредовость этого предложения была прокомментирована ещё в начале темы.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #750220 писал(а):

Кто бы сомневался. Только, я, вообще-то, не про области писал.

Вы писали про эквивалентность метрик. Эквивалентность метрик означает, что они описывают одну и ту же область пространства-времени и потому преобразуются друг в друга заменой координат. Метрики, которые Вы называете "эквивалентными", относятся к разным областям пространства-времени, поэтому не эквивалентны.

[Z.S.]

SergeyGubanov

На Ваш взгляд, какую силу покажет динамометр в кабине,
если кольцо, подвешенное к динамометру, вращается с окружной скоростью $\upsilon << c$,
ось вращения вертикальна, полная энергия вращающегося кольца равна $E$.

Случаи такие:

1. кабина покоится на поверхности планеты ( величина ускорения свободного падения равна $g$ ).

2. кабина перемещается вдали от масс с собственным ускорением $g$.

( вертикаль параллельна $\vec{g}$ )