самоучитель по математике/изучение с нуля

[Munin]

Пустые придирки. apriv, по крайней мере, конкретную книгу посоветовал.

[apriv]

Padawan в сообщении #626902 писал(а):

apriv в сообщении #626681 писал(а):

«основы математического анализа» (которые в школе достаточно бессмысленны и в университете все равно изучаются заново, с нуля)

Не все идут после школы в высшую школу. Не все, кто идет в высшую школу, изучают основы математического анализа.

Раз уж просят «самоучитель по математике», а не «самоучитель по школьной математике», можно надеяться, что школой дело не ограничится.

Цитата:

apriv в сообщении #626681 писал(а):

«эвклидова геометрия» (которая в школе просто бессмысленна)

Это перл.

Это почти тривиальное утверждение. Никакой пользы от «эвклидовой геометрии» в школе (и от «аналитической геометрии» в вузе) для математического образования никому пронаблюдать не удалось, это давно подмечено.

[maxim09]

Ребята, только не ссорьтесь )
Конечно, школой дело не заканчивается. По крайней мере, надеюсь. Но самое трудное - таки школа.

[Shtorm]

apriv в сообщении #626968 писал(а):

Никакой пользы от «эвклидовой геометрии» в школе (и от «аналитической геометрии» в вузе) для математического образования никому пронаблюдать не удалось, это давно подмечено.

Никакой пользы от аналитической геометрии? Ну это смотря что считать пользой и смотря где применять полученные знания. А то вон смотрите, в последнее время частенько можно встретить утверждающих, что сечение конуса - это яйцеобразный овал, но никак не эллипс. Тоже наверное не считали, что от аналитики польза какая-то есть.

[Munin]

apriv в сообщении #626968 писал(а):

Никакой пользы от «эвклидовой геометрии» в школе (и от «аналитической геометрии» в вузе) для математического образования никому пронаблюдать не удалось, это давно подмечено.

Вообще школьная геометрия учит не геометрии per se, а математической культуре, логике и доказательствам. В этом плане польза не просто наблюдаемая, а огромная.

maxim09 в сообщении #626970 писал(а):

Конечно, школой дело не заканчивается. По крайней мере, надеюсь. Но самое трудное - таки школа.

Смотря как измерять "трудность". В школе даётся не больше 10 % того материала, который потом будет дан в сумме. Но даётся в более раннем возрасте, когда привычки учиться ещё не выработано, и освоение идёт медленно и с трудом.

[apriv]

Munin в сообщении #627003 писал(а):

Вообще школьная геометрия учит не геометрии per se, а математической культуре, логике и доказательствам. В этом плане польза не просто наблюдаемая, а огромная.

С логикой и доказательствами там как раз гораздо больше проблем, чем в остальном курсе математики; аксиомы эвклидовой геометрии никто из школьников никогда в глаза не видел, поэтому доказательство утверждений превращается в невнятное махание руками.

[Munin]

apriv в сообщении #627318 писал(а):

аксиомы эвклидовой геометрии никто из школьников никогда в глаза не видел

Атанасян "Геометрия 7-9" Приложение 1 "Об аксиомах планиметрии", вводится в 7 классе (гл. III § 2).
Погорелов "Геометрия 7-11" § 1 "Основные свойства простейших геометрических фигур", названные в конце параграфа аксиомами, вводятся в 7 классе.
Что-то странное вы говорите, нельзя ли поподробней?

[apriv]

Munin в сообщении #627366 писал(а):

Атанасян "Геометрия 7-9" Приложение 1 "Об аксиомах планиметрии", вводится в 7 классе (гл. III § 2).
Погорелов "Геометрия 7-11" § 1 "Основные свойства простейших геометрических фигур", названные в конце параграфа аксиомами, вводятся в 7 классе.
Что-то странное вы говорите, нельзя ли поподробней?

Проблемы с этими системами аксиом давно известны; если из них что-то и можно вывести, то с неимоверными мучениями, и в учебниках этого не происходит.

[Padawan]

apriv
Да элементарно теорема Пифагора в геометрии изучается. Ага, она тоже не нужна, так как это частный случай соответствующего утверждения в гильбертовом пространстве. Вы не понимаете, что обучение повторяет путь развития математики -- от простого к сложному, от конкретного к абстрактному. И любые попытки перепрыгнуть через этот процесс обречены на провал.

-- Сб окт 06, 2012 01:16:33 --

Munin в сообщении #627003 писал(а):

Вообще школьная геометрия учит не геометрии per se, а математической культуре, логике и доказательствам.

Не согласен. Как раз учит геометрическим фактам. Ну и культуре доказательства тоже, конечно.

[apriv]

Padawan в сообщении #627386 писал(а):

apriv
Да элементарно теорема Пифагора в геометрии изучается. Ага, он тоже не нужна, так как это частный случай соответствующего утверждения в гильбертовом пространстве. Вы не понимаете, что обучение повторяет путь развития математики -- от простого к сложному, от конкретного к абстрактному. И любые попытки перепрыгнуть через этот процесс обречены на провал.

Я нигде не говорил, что пытаюсь перепрыгнуть через какой-то процесс. И что не нужно обучать «от простого к сложному», тоже нигде не говорил.

Теорема Пифагора очень нужна в школьной программе. Еще нужны, скажем, движения и какие-нибудь настолько же простые вещи. Получаем два-три полезных факта на пять лет обучения. Зато курс геометрии создает у школьников ощущение строгости там, где ее вовсе нет. То есть, обучение доказательствам не происходит, но декларируется, что обесценивает саму идею.

[Shtorm]

apriv в сообщении #627392 писал(а):

То есть, обучение доказательствам не происходит

В моё-то время ещё доказывали

[Munin]

Padawan в сообщении #627386 писал(а):

Вы не понимаете, что обучение повторяет путь развития математики -- от простого к сложному, от конкретного к абстрактному.

Как раз нет, путь развития математики был куда более извилист и неоднозначен.

Padawan в сообщении #627386 писал(а):

Не согласен. Как раз учит геометрическим фактам.

Не так полно и обширно, как можно было бы, не принимай курс геометрии на себя ещё и груз курса логики и аксиоматической теории.

apriv в сообщении #627375 писал(а):

Проблемы с этими системами аксиом давно известны; если из них что-то и можно вывести, то с неимоверными мучениями, и в учебниках этого не происходит.

Мне неизвестны. Разумеется, формулировки в школьных учебниках менее строги, и многие нюансы опущены, как в аксиомах, так и в доказательствах, но я не вижу повода для столь уничижительных характеристик, как ваши.

apriv в сообщении #627392 писал(а):

Зато курс геометрии создает у школьников ощущение строгости там, где ее вовсе нет.

Дело не в том, что там строгости нет. Дело в том, что сравнительно с другими школьными предметами, геометрия остаётся самым строгим (гораздо строже всех остальных, кроме разве что алгебры), и наиболее широко и полно обращающимся к темам логики и доказательств (частично логика рассматривается ещё в курсе информатики). Да, разумеется, настоящей строгости студенты должны научиться в вузе. Но это не повод для нападок на школьную геометрию. Кроме того, даже в школьной математике можно познакомить учеников со строгостью на профильной математике или факультативно.

[apriv]

Munin в сообщении #627414 писал(а):

Мне неизвестны. Разумеется, формулировки в школьных учебниках менее строги, и многие нюансы опущены, как в аксиомах, так и в доказательствах, но я не вижу повода для столь уничижительных характеристик, как ваши.

Это все обсуждалось (в том числе и здесь) не один раз; посмотрите книжку Шеня «О “математической строгости” и школьном курсе математики».

Цитата:

apriv в сообщении #627392 писал(а):

Зато курс геометрии создает у школьников ощущение строгости там, где ее вовсе нет.

Дело не в том, что там строгости нет. Дело в том, что сравнительно с другими школьными предметами, геометрия остаётся самым строгим (гораздо строже всех остальных, кроме разве что алгебры)

Ага, а в курсе математики ничего больше и нет, кроме геометрии да алгебры. На мой взгляд, идеи аксиоматики и доказательства гораздо лучше иллюстрируются на, скажем, теории чисел. Хочется наглядности и картинок — можно и геометрию изложить по-человечески. Аксиомы имени Гильберта полностью не помнил никто (включая самого Гильберта) — сколько их там, штук двадцать? — а аксиомы векторного пространства я могу перечислить хоть сейчас.

[Munin]

apriv в сообщении #627438 писал(а):

Это все обсуждалось (в том числе и здесь) не один раз; посмотрите книжку Шеня «О “математической строгости” и школьном курсе математики».

Спасибо, уже смотрю.

apriv в сообщении #627438 писал(а):

Ага, а в курсе математики ничего больше и нет, кроме геометрии да алгебры.

Ну, так математику в школе делят, я не виноват.

apriv в сообщении #627438 писал(а):

На мой взгляд, идеи аксиоматики и доказательства гораздо лучше иллюстрируются на, скажем, теории чисел.

Возможно, но числа запутаны и сами по себе, а ещё логику пытаться на них же демонстрировать - школьники не выдержат, да и учителя тоже, результат будет гораздо более тяп-ляп.

Эта идея хороша для суровых готовых к жизненным испытаниям первокурсников, причём первокурсников, скажем, мехмата. Что, собственно, в вузах и делается: логику дают в начале курса анализа, и начала теории чисел там же. Хотя бы для тех же эпсилон-дельта определений.

apriv в сообщении #627438 писал(а):

Аксиомы имени Гильберта полностью не помнил никто (включая самого Гильберта) — сколько их там, штук двадцать?

Если вычесть аксиомы арифметики, то остаётся примерно те 14, которые у Атанасяна.

apriv в сообщении #627438 писал(а):

а аксиомы векторного пространства я могу перечислить хоть сейчас.

А то! Нам в школе, кстати, давали линал и векторные пространства, и ничего. Но повторяю, это продвинутый уровень.

[apriv]

Munin в сообщении #627442 писал(а):

Эта идея хороша для суровых готовых к жизненным испытаниям первокурсников, причём первокурсников, скажем, мехмата. Что, собственно, в вузах и делается: логику дают в начале курса анализа, и начала теории чисел там же. Хотя бы для тех же эпсилон-дельта определений.

Эпсилон-дельта определения тоже, кстати, не нужны совершенно.

Цитата:

А то! Нам в школе, кстати, давали линал и векторные пространства, и ничего. Но повторяю, это продвинутый уровень.

Почему? Начинать, конечно, нужно с простого — например, с геометрии двумерного векторного пространства над рациональными числами. Постепенно так есть шанс дойти и до векторного пространства любой размерности над любым полем. А путь с аксиомами Гильберта не приводит никуда.

-- 06.10.2012, 01:09 --

А, еще мысль о ненужности школьной геометрии прекрасно изложена в предисловии к учебнику Дьедонне по геометрии. Он даже переведен на русский.