Что такое касательная?

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #563871 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #563849 писал(а):

М М Постников Лекции по геометрии Семестр III Гладкие многообразия. Наука 1987

Лучше бы процитировали...

там глава целая с определениями и теоремами
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1

[ewert]

wallflower в сообщении #563814 писал(а):

Разве производные в школе не проходят?

Проходят. Мимоходом.

Munin в сообщении #563811 писал(а):

Я думаю, нужно сначала определить касательную как такую, что кривая (локально) лежит по одну сторону от неё, а потом переопределить для графиков функций, расширяя его для геометрического смысла производной

Ни к чему. Касательная -- это геометрическая интерпретация производной, только этим она и ценна. Т.е. тем, что формализует линейность в первом приближении любого геометрического объекта (если эта линейность, конечно, есть). Поту- или посюсторонность кривой здесь совершенно не при чём. Это лишь потом, если посюсторонность вдруг выявится, можно думать над тем, что из этого следует относительно касательности и следует ли вообще. Изначально же такой подход -- лишь ловля блох.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #563994 писал(а):

Касательная -- это геометрическая интерпретация производной, только этим она и ценна.

Не, ну в механике, например, скорость движущегося тела направлена по касательной к траектории движения...

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #564057 писал(а):

Не, ну в механике, например, скорость движущегося тела направлена по касательной к траектории движения...

Чо не? Потому и направлена, что есть производная по определению.

[Munin]

ewert в сообщении #563994 писал(а):

Ни к чему. Касательная -- это геометрическая интерпретация производной, только этим она и ценна. Т.е. тем, что формализует линейность в первом приближении любого геометрического объекта (если эта линейность, конечно, есть).

Подумал, согласен. И, может быть, стоит это дополнительно проиллюстрировать касательной к 3-мерной кривой, и касательной плоскостью к поверхности.

[AnDe]

Профессор Снэйп
Нам сегодня в школе на лекции сказали, что это ни какая ни касательная

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

AnDe в сообщении #564103 писал(а):

Профессор Снэйп
Нам сегодня в школе на лекции сказали, что это ни какая ни касательная

А у Вас продвинутая школа, раз там лекции читают!

[AnDe]

Профессор Снэйп
Вы тоже в ней работали) СУНЦ НГУ. Где-то на форуме писали.

[master]

Профессор Снэйп в сообщении #563744 писал(а):

Вот у графика кубической параболы $y = x^3$ в нуле какая касательная

касательная второго рода в точке перегиба, если кривую в этой точке разделить на две части предположить что обе кривые не меняют "направление кривизны" то прямая будет касательной первого рода к обоим кривым ...примерно так... (модуль икс в кубу, и минус модуль икс в кубе)

[master]

Профессор Снэйп в сообщении #562554 писал(а):

Возник такой методический вопрос: считать ли прямую $y = 0$ касательной к графику функции $y = | x |$ в точке $(0,0)$.

подумал, да считать, производная в точке (0,0) равна (-1;1)(не привычно, да?).

[Батороев]

По-видимому, касательную можно было бы определить дословно. Т.е. "касательной к кривой в т. А является прямая, которая КАСАЕТСЯ этой кривой в т. А". Ведь, говоря "касается" мы не предполагаем, что данная прямая пересекает (сечет) кривую. Положение прямой линии, касающейся кривой в заданной точке, определено единственным образом.
В отношении касательной к прямой линии можно, наверное, считать то, что касательная к прямой - это сама прямая, т.к. лишь она касается (хотя и оч. протяженно), но не пересекает заданную прямую. Точку перегиба какой-либо кривой можно условно считать отрезком прямой (хотя и не оч. протяженным).

[Munin]

Батороев в сообщении #565101 писал(а):

По-видимому, касательную можно было бы определить дословно. Т.е. "касательной к кривой в т. А является прямая, которая КАСАЕТСЯ этой кривой в т. А". Ведь, говоря "касается" мы не предполагаем, что данная прямая пересекает (сечет) кривую.

По-моему, это очень хорошо ewert выразил:

ewert в сообщении #563994 писал(а):

линейность в первом приближении любого геометрического объекта

[Профессор Снэйп]

А если кривая Пеано: можно ли говорить о касательной к ней?

Кстати, можно ли кривую, имеющую ненулевую площадь, сделать гладкой?

[Батороев]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #565199 писал(а):

По-моему, это очень хорошо ewert выразил:

ewert в сообщении #563994 писал(а):

линейность в первом приближении любого геометрического объекта

А что к чему приближается?
Щютка

[master]

Батороев в сообщении #565101 писал(а):

В отношении касательной к прямой линии можно, наверное, считать то, что касательная к прямой - это сама прямая, т.к. лишь она касается (хотя и оч. протяженно), но не пересекает заданную прямую.

угу.

Батороев в сообщении #565101 писал(а):

Точку перегиба какой-либо кривой можно условно считать отрезком прямой (хотя и не оч. протяженным).

нет нельзя.