Возможности математики без математической индукции

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #555262 писал(а):

Вот есть у Вас, допустим, последовательность действительных чисел. Как Вы понимаете её вычислимость?

Как возможность последовательного вычисления сколь угодно большого количества её элементов с любой наперёд заданной точностью.

На большее невозможно рассчитывать. И даже это не всегда практически реализуемо. Но хотя бы потенциальная возможность реализации существует. В то время как реализация процедуры произвольного (несчётного) выбора невозможна никогда. Если, конечно, этот выбор не задан явно.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555292 писал(а):

Как возможность последовательного вычисления сколь угодно большого количества её элементов с любой наперёд заданной точностью.

О!

А Вы знаете, что без всяких там последовательностей существует просто одно действительное число, которое нельзя вычислить с любой наперёд заданной точностью!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #555307 писал(а):

А Вы знаете, что без всяких там последовательностей существует просто одно действительное число, которое нельзя вычислить с любой наперёд заданной точностью!

Нет, не знаю.

[svv]

Ой, расскажите подробнее! Щас мы его...

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555309 писал(а):

Нет, не знаю.

Так знайте!

Можно, конечно, выкинуть из $\mathbb{R}$ все неконструктивные действительные числа (то есть такие, для которых не существует алгоритма приближения). Получите конструктивный анализ. Вещь жутко громоздкая и неприятная! Простенькие теоремы из анализа (типа теоремы Ролля) начинают доказываться на десятках страниц. Хуже того, прежде чем изучать анализ, приходится не слабо въехать в теорию алгоритмов, а первокурсникам, как показала практика, это обычно не под силу. Плюс ещё у действительной прямой пропадают многие хорошие свойства типа полноты (например, появляется ограниченное множество без супремума и инфимума).

Зато построенная теория приобретает некоторые (достаточно малочисленные) свойства, милые сердцу любого аналитика. Например, каждая функция оказывается непрерывной

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #555317 писал(а):

Так знайте!

Так и не знаю. Какое конкретно число нельзя вычислить?

-- Вт апр 03, 2012 13:57:04 --

Профессор Снэйп в сообщении #555317 писал(а):

милые сердцу любого аналитика. Например, каждая функция оказывается непрерывной

Что не есть хорошо. Мы ведь знаем, что существуют и разрывные функции. И с их разравностью приходится считаться во вполне практических вычислениях.

[Sender]

ewert в сообщении #555329 писал(а):

Так и не знаю. Какое конкретно число нельзя вычислить?

Наверное, такое, что ни в сказке сказать, ни пером описать.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555329 писал(а):

Какое конкретно число нельзя вычислить?

Как я Вам его назову, если его нельзя вычислить? Разве что специальную буковку введу для его обозначения?

А то, что такие числа существуют - это элементарно. У нас имеется континуум действительных чисел, но лишь счётное число алгоритмов. Следовательно, ...

-- Вт апр 03, 2012 16:25:26 --

ewert в сообщении #555329 писал(а):

Что не есть хорошо. Мы ведь знаем, что существуют и разрывные функции. И с их разравностью приходится считаться во вполне практических вычислениях.

А тут я Вас ещё раз ошарашу! Все разрывные функции невычислимы. В частности, не существует алгоритма вычисления для функции

$$ f(x) = \begin{cases} 1, &x=0; \\ 0, &x \neq 0 \end{cases} $$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #555346 писал(а):

Как я Вам его назову, если его нельзя вычислить?

Значит, его и не существует. Поскольку оно никак и ничем не описано.

Но Вы можете спасти положение, определив это число как Бога (или как Бог?...). Тогда у Вас появится полное право говорить, что это число невозможно вычислить.

-- Вт апр 03, 2012 14:31:41 --

Профессор Снэйп в сообщении #555346 писал(а):

. В частности, не существует алгоритма вычисления для функции

$$ f(x) = \begin{cases} 1, &x=0; \\ 0, &x \neq 0 \end{cases} $$

Я Вам хуже того скажу: даже и самой этой функции не существует.

[Someone]

ewert в сообщении #555217 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #555214 писал(а):

без аксиомы счётного выбора, которая чуть слабее общей аксиоме выбора. Но это детали...

Ну да. Счётный выбор реализуем хотя бы потенциально, полный же -- не реализуем в принципе. Конечно, стерильно чистого математика подобные мелочи интересовать не должны.

Это я не понимаю. Нет никакого "счётного" или "несчётного" выбора. Аксиома выбора - это аксиома о непустоте некоторого множества (множества функций выбора). И только. А выбираем мы из него одного один раз и один элемент. Уже без всяких аксиом. Если сможем эту выбранную функцию определить явно - хорошо (в этом случае аксиому выбора можно и не упоминать), не сможем - скажем, что она существует, и будем пользоваться ей без уточнений.

-- Вт апр 03, 2012 15:16:39 --

epros в сообщении #555169 писал(а):

Если Вы полагаете, что словосочетание "счётное множество" неразрывно связано с соответствующей теоретико-множественной аксиоматикой, т.е. его неправомерно использовать без неё, то я готов это словосочетание не использовать, а говорить вместо этого про "последовательности".

Я знаю, что понятие "счётное множество" имеет стандартное определение и всеми понимается определённым образом. Обсуждалась общеизвестная теорема, в которой используется этот термин. Вы же в обоснование своей точки зрения на эту общеизвестную теорему пытаетесь подменить этот стандартный термин другим. Это, по моим понятиям, просто неприлично.

[ewert]

Someone в сообщении #555366 писал(а):

не сможем - скажем, что она существует, и будем пользоваться ей без уточнений.

Я уже об этом говорил. Сказать мы можем что угодно, только вот воспользоваться этим высказыванием практически не сможем. Поскольку если мы сможем построить некоторый объект только при помощи аксиомы полного выбора, то это означает одновременно две вещи:1) мы знаем, что этот объект существует и 2) не менее твёрдо знаем, что никогда, ни при каких условиях найти этот объект не сможем. Практически это означает, что для нас этого объекта не существует.

[Someone]

Sender в сообщении #555181 писал(а):

Мы выбираем строго определённый элемент строго определённого множества в соответствии с номером шага.

Беда в том, что в этом "строго определённом множестве" много "строго определённых элементов". Хорошо, если Вы указываете выбор явно. Но в теореме о счётности объединения речь идёт об абстрактных множествах, и явный выбор там невозможен. Остаётся только произвольный, не конкретизируемый выбор.

ewert в сообщении #555372 писал(а):

Я уже об этом говорил. Сказать мы можем что угодно, только вот воспользоваться этим высказыванием практически не сможем.

Какое это имеет отношение к классической математике? Вам прямая дорога в конструктивизм. Со всеми его прелестями.

-- Вт апр 03, 2012 15:26:49 --

Профессор Снэйп в сообщении #555195 писал(а):

Без аксиомы регулярности у Вас не будет никакой индукции! Вы даже натуральный ряд не сможете построить.

Куратовского с Мостовским перечитайте, они обходятся. Правда, их мотивировка мне непонятна. Они считают аксиому регулярности безусловно истинной, но не желают ей пользоваться. Никаких приобретений в связи с этим я у них не заметил, а вот технических усложнений хватает.

-- Вт апр 03, 2012 15:30:54 --

Lukin в сообщении #555244 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #555195 писал(а):

многие важные для матанализа вещи доказываются с её использованием. То есть для "жизни" математика, имеющего дело с матанализом и теорией меры, аксиома выбора необходима.

Есть вроде бы альтернативные аксиомы, вроде аксиомы детерминированности, которые позволяют решать эти проблемы в более конструктивном варианте, или это не актуально ?

Ну, Вы, должно быть, не знакомы с аксиомой детерминированности. Она нисколько не конструктивнее аксиомы выбора, но выглядит как совершенно жуткий монстр. И рассуждения, которые с аксиомой выбора выглядят очень простыми, с аксиомой детерминированности превращаются в нечто ужасное и совершенно искусственное.

[ewert]

Someone в сообщении #555374 писал(а):

Вам прямая дорога в конструктивизм. Со всеми его прелестями.

Ну я хоть и экстремист, но не настолько. Пусть себе эта аксиома живёт. Надо лишь трезво сознавать, что она может, а чего не может. Она позволяет получать результаты отрицательного характера. Т.е. если с её помощью доказывается существование чего-то -- значит, в её отсутствие не стоит даже и пытаться доказывать несуществование. И само по себе отбрасывание тупиковой ветви, конечно, полезно. Только вот это существование ненаблюдаемо, подсчитывать же ангелов на кончике иглы -- ну я не могу запретить, конечно...

[Lukin]

Профессор Снэйп в сообщении #555195 писал(а):

нам для доказательства счётности объединения счётного семейства счётных множеств нужно не выбирать элемент из одного непустого множества, а выбирать по одному элементу из каждого множества нумераций.

А что вообще такое нумерация ? В теоретико-множественном смысле это, наверное, отображение минимального бесконечного ординала, в нумеруемое множество. Т.е. даже просто перечисление 0,1,2,3… уже является, в каком то смысле, выбором одного из отображений.
С другой стороны, последовательность 0,1,2,3… кажется элементарной и изначальной по отношению к сложным конструкциям и аксиомам ZF(C). Наверняка, явно или неявно она используется для доказательства первоначальных теорем теории множеств (хотя бы в виде нумерации переменных). А на основании этих теорем, собственно, такое определение нумерации и может быть дано. Т.е. нумерация определяется в теории, для доказательства теорем которой она уже используется (как бы до своего определения) ?

[LaTeXScience]

epros в сообщении #553869 писал(а):

Может быть у нас разные понятия о том, что значит "создать теорию", но мне Ваше утверждение не очевидно. По моим понятиям, чтобы создать теорию, нам не нужно "определять" слово в алфавите. Нам достаточно иметь аналитическую грамматику - т.е. такой алгоритм, который при подаче ему на вход слова в алфавите скажет, является ли оно синтаксически правильным высказыванием языка или нет. Чувствуете в чём разница? Нам не нужно "определять" этот алгоритм, нам нужно его просто иметь.

Что значит ``просто иметь''? Как Вы поймете, что какой-то данный Вам алгоритм является именно тем, чем Вы думаете? И почему Вы уверены, что его вообще можно ``иметь'', т.е. где доказательства, что он существует?