Возможности математики без математической индукции

[Someone]

epros в сообщении #555144 писал(а):

не о "счётных множествах" (потому что я не очень понимаю что это такое и не слишком верю в то, что этому соответствует что-то реальное)

Это, извините, Ваша личная проблема, мало кого интересующая. Если Вы обсуждаете стандартную теорему - будьте любезны придерживаться тех определений, которые в ней используются, а не своих собственных.

epros в сообщении #555144 писал(а):

Вот видите, значит мой подход тоже имеет право на существование?

Это не подход. Это просто одна из теорем.

[Профессор Снэйп]

epros в сообщении #555144 писал(а):

Но всё дело в том, что я считаю себя вправе уверенно утверждать, что множество в каком-то смысле "существует" и является "счётным" только тогда, когда у меня есть последовательность, нумерующая его элементы.

Проблема в том, что эта последовательность не единственна. Одно и то же множество можно "нумеровать" по разному.

epros в сообщении #555144 писал(а):

А значит необходимости в выборе уже нет.

Как это нет? Из огромной кучи нумераций множества Вам надо выбрать какую-то одну.

epros в сообщении #555144 писал(а):

Если же мне на основании каких-то абстрактных соображений заявляют: "Поверь, вот это множество является счётным, хотя мы не можем тебе пока указать конкретную процедуру его нумерации", - то я полагаю, что никакого счётного множества мне представлено не было, есть только чья-то вера в то, что множество счётно.

Вы не поняли. Если множество является счётным, то процедуру его нумерации Вам укажут. Проблема в том, что Вам укажут не одну такую процедуру, а целый континуум процедур. И Вам, чтобы работать с нумерацией, придётся выбрать какую-то одну из этого континуума.

epros в сообщении #555144 писал(а):

Вот видите, значит мой подход тоже имеет право на существование?

А Вы представляете себе всю сложность этого подхода? Вам придётся при изложении теории меры снабжать каждое счётное множество нумерацией, а потом везде таскать эти нумерации за собой. Это же сколько лишнего мусора в теорию добавиться! И насколько возрастёт объём изложения!

[epros]

Someone в сообщении #555148 писал(а):

Это, извините, Ваша личная проблема, мало кого интересующая. Если Вы обсуждаете стандартную теорему - будьте любезны придерживаться тех определений, которые в ней используются, а не своих собственных.

Кого что интересует - это его личная проблема. И какой из подходов "стандартный" - ещё большой вопрос. В данной же теме обсуждалась необходимость аксиоматики (в частности, определяющей индукцию). Вы сейчас защищаете некую аксиоматику, которую полагаете "стандартной", а я утверждаю, что без многого из этого при желании можно неплохо жить. Если Вы полагаете, что словосочетание "счётное множество" неразрывно связано с соответствующей теоретико-множественной аксиоматикой, т.е. его неправомерно использовать без неё, то я готов это словосочетание не использовать, а говорить вместо этого про "последовательности".

Профессор Снэйп в сообщении #555153 писал(а):

Проблема в том, что Вам укажут не одну такую процедуру, а целый континуум процедур.

Не могу себе этого представить.

Профессор Снэйп в сообщении #555153 писал(а):

А Вы представляете себе всю сложность этого подхода? Вам придётся при изложении теории меры снабжать каждое счётное множество нумерацией, а потом везде таскать эти нумерации за собой. Это же сколько лишнего мусора в теорию добавиться! И насколько возрастёт объём изложения!

Ну, не знаю, может быть я не представляю себе всей сложности подхода. По моим понятиям разным нумерациям "одного и того же множества" соответствуют существенно разные объекты - "последовательности". Доказать равенство их всех (в смысле аксиомы объёмности) - это отдельная проблема. Я подозреваю, что с помощью теоретико-множественной аксиоматики можно доказать существование таких нумераций, которые невыразимы никаким алгоритмом. В каком смысле мы могли бы реально "сравнить" такие объекты - я просто не представляю.

[Sender]

Someone в сообщении #554930 писал(а):

Ну, Вы имеете в виду стандартно используемую в математических рассуждениях неформальную "индуктивную" процедуру построения, когда на каждом шаге выбирается очередной произвольный элемент из очередного множества. Это построение в буквальном виде не формализуемо. Более того, нет никакой аксиомы, на основании которой можно было бы утверждать, что совокупность выбранных таким образом элементов будет множеством.

Почему это на каждом шаге мы должны выбирать произвольный элемент? Мы выбираем строго определённый элемент строго определённого множества в соответствии с номером шага. Если он отсутствует в формируемой нами последовательности элементов, мы добавим его туда. Эта последовательность и задаёт множество, являющееся объединением исходных, простым перечислением его элементов. И странно слышать рассуждения о том, что без использования аксиомы выбора мы не можем указать конкретную нумерацию для множества, если нам задано множество таких нумераций. Получается, для выбора элемента даже из одного множества нам требуется аксиома выбора?

[Профессор Снэйп]

Sender в сообщении #555181 писал(а):

Получается, для выбора элемента даже из одного множества нам требуется аксиома выбора?

Нет, для этого не требуется. Но нам для доказательства счётности объединения счётного семейства счётных множеств нужно не выбирать элемент из одного непустого множества, а выбирать по одному элементу из каждого множества нумераций.

-- Вт апр 03, 2012 13:10:31 --

epros в сообщении #555169 писал(а):

Я подозреваю, что с помощью теоретико-множественной аксиоматики можно доказать существование таких нумераций, которые невыразимы никаким алгоритмом.

А это здесь при чём?

-- Вт апр 03, 2012 13:12:44 --

epros в сообщении #555169 писал(а):

Вы сейчас защищаете некую аксиоматику, которую полагаете "стандартной", а я утверждаю, что без многого из этого при желании можно неплохо жить.

Без каких конкретно аксиом ZFC можно неплохо жить?

Вы сказали, что без аксиомы выбора. Вам указали на то, что многие важные для матанализа вещи доказываются с её использованием. То есть для "жизни" математика, имеющего дело с матанализом и теорией меры, аксиома выбора необходима.

Какие ещё аксиомы укажете? Без аксиомы регулярности у Вас не будет никакой индукции! Вы даже натуральный ряд не сможете построить. А без остальных аксиом вообще ни о чём рассуждать не сможете.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #554680 писал(а):

утверждение "объединение счётного числа счётных множеств счётно" без аксиомы выбора не доказуемо!

без какой именно?

[Sender]

Профессор Снэйп в сообщении #555195 писал(а):

Но нам для доказательства счётности объединения счётного семейства счётных множеств нужно не выбирать элемент из одного непустого множества, а выбирать по одному элементу из каждого множества нумераций.

Если задано некоторое $n \in \mathbb{N}$, для указания $n$-го элемента искомого объединения нашего счётного семейства множеств достаточно выбрать по одному элементу из $n$ множеств нумераций.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555209 писал(а):

без какой именно?

???

Если угодно, то без аксиомы счётного выбора, которая чуть слабее общей аксиомы выбора. Но это детали...

-- Вт апр 03, 2012 13:56:40 --

Sender в сообщении #555213 писал(а):

Если задано некоторое $n \in \mathbb{N}$, для указания $n$-го элемента искомого объединения нашего счётного семейства множеств достаточно выбрать по одному элементу из $n$ множеств нумераций.

Ну и что?

Похоже, Вы не понимаете смысл происходящего. Объединение ведь будет равно множеству всех $n$-ых элементов. Как Вы будете доказывать существование объединения, на основании какой аксиомы? У Вас ведь способ выбора $n$-го элемента для каждого $n$ будет разный! А в аксиоме подстановки требуется, чтобы этот способ был однообразным (описывался одной формулой). Существование такой формулы постулируется аксиомой выбора, а из Вашей пошаговой конструкции её существование никак не следует!

Я вообще не понимаю, с чем вы спорите. С общепризнанными фактами, изложенными, например, в книге Куратовского и Мостовского (да и во многих других учебниках тоже)? Каким-то альтовством, надо сказать, попахивает!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #555214 писал(а):

без аксиомы счётного выбора, которая чуть слабее общей аксиоме выбора. Но это детали...

Ну да. Счётный выбор реализуем хотя бы потенциально, полный же -- не реализуем в принципе. Конечно, стерильно чистого математика подобные мелочи интересовать не должны.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555217 писал(а):

Счётный выбор реализуем хотя бы потенциально...

Не понимаю смысла сказанного. Что Вы подразумеваете под "потенциальной реализацией"?

[Lukin]

Профессор Снэйп в сообщении #555195 писал(а):

многие важные для матанализа вещи доказываются с её использованием. То есть для "жизни" математика, имеющего дело с матанализом и теорией меры, аксиома выбора необходима.

Есть вроде бы альтернативные аксиомы, вроде аксиомы детерминированности, которые позволяют решать эти проблемы в более конструктивном варианте, или это не актуально ?

Еще мне не очевидна связь аксиомы выбора и индукции, по моему, совершенно разные вещи.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #555227 писал(а):

Что Вы подразумеваете под "потенциальной реализацией"?

То, что любая вычислительная процедура не более чем счётна. И при этом с существованием бесконечных процедур приходится считаться. Поэтому использование счётной аксиомы выбора в том или ином варианте неизбежно. А вот несчётных процедур в природе не бывает. И потому несчётная аксиома выбора есть некоторая схоластика.

[Профессор Снэйп]

Lukin в сообщении #555244 писал(а):

Еще мне не очевидна связь аксиомы выбора и индукции, по моему, совершенно разные вещи.

Где я писал, что они связаны?

Я писал, что индукция связана с аксиомой регулярности, а не с аксиомой выбора!

[Sender]

Профессор Снэйп в сообщении #555214 писал(а):

Похоже, Вы не понимаете смысл происходящего. Объединение ведь будет равно множеству всех n-ых элементов. Как Вы будете доказывать существование объединения, на основании какой аксиомы? У Вас ведь способ выбора n-го элемента для каждого n будет разный! А в аксиоме выделения требуется, чтобы этот способ был однообразным (описывался одной формулой). Существование такой формулы постулируется аксиомой выбора, а из Вашей пошаговой конструкции её существование никак не следует!

Ну я, действительно, человек далёкий от всех этих теоретико-множественных абстракций. Просто хотелось бы понять, так сказать, на пальцах, в чём ущербность предложенного построения. Оно вообще не гарантирует построения какого-либо множества или всё же строится множество, но в каком-то из исходных множеств может найтись элемент, который в него не войдёт?

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #555245 писал(а):

То, что любая вычислительная процедура не более чем счётна. И при этом с существованием бесконечных процедур приходится считаться. Поэтому использование счётной аксиомы выбора в том или ином варианте неизбежно. А вот несчётных процедур в природе не бывает. И потому несчётная аксиома выбора есть некоторая схоластика.

А что такое вычислительная процедура?

Это, между прочим, весьма нетривиальный вопрос. Вот есть у Вас, допустим, последовательность действительных чисел. Как Вы понимаете её вычислимость?

-- Вт апр 03, 2012 14:42:55 --

Sender в сообщении #555260 писал(а):

Оно вообще не гарантирует построения какого-либо множества или всё же строится множество, но в каком-то из исходных множеств может найтись элемент, который в него не войдёт?

Первое. Не гарантируется построения множества.