Математическое ожидание максимума независимых с.в.

[PAV]

Не знаю. Я переписал, кажется, дословно, что написано в книге.

[marishka82]

У меня для показательного распределения получается интергал от каких-то невероятных сумм, для Пуассона наверняка будет что-то похожее. Хотя, конечно, есть вероятность, что я просто глупая и не могу правильно найти аналитическое представление матожидания :(
Функцию распределения я нашла примерно так
$F(x) = P(\max\{X_1,...,X_n\}<x) = P(X_1<x,..,X_n<x)$
Затем вычислила плотность
$f(x) = dF(x)/d(x) = \sum_{i=1}^n \int_{-\infty}^{x} f(x_1,...,x_{i-1}, x, x_{i+1},..,x_n)dx_1...dx_{i-1}dx_{i+1}...dx_n$
Если все правильно, то получается, что для независимых случайных величин
$f(x)=\sum_{i=1}^{n} f_i(x)/F_i(x) \prod_{j=i}^{n} F_j(x)$
тогда для одинаковых функций распределения получим, что
$f_i(x) = p(x), F_i(x) = P(x)$
$f(x) = n p(x) (P(x))^{n-1}$
Отсюда математическое ожидание вычисляем как
$M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = n \int p(x) (P(x))^{n-1} dx$
Но вот с вычисление этого интеграла для конкретных выдов распределений возникли серьезные проблемы. Какая-то я глупенькая стала :(

[ИСН]

marishka82, Вам же сразу и сказали, что точного решения во многих случаях не будет. Добавлю лишь, что интеграла от суммы там быть не может, как и наоборот - ведь если величина дискретна, то и максимум её дискретен.
PAV, это я понял, но Вас оно хотя бы возмущает?

[PAV]

Перепишу для Вас из упомянутой книги общую формулу для произвольной порядковой статистики и произвольного момента:

$$ EX_{k,n}^r=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_{-\infty}^{\infty}x^r(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x)\,dx, $$

где $X_{k,n}$ - это $k$-я порядковая статистика из $n$ н.о.р. величин, $f(x)$ - их плотность, $F(x)$ - ф.р.

Подставьте $k=n$ (это будет максимум) и $r=1$ и сравните со своей формулой.

А насчет вычисления интеграла для конкретных распределений - да, это похоже нетривиальная и явно не учебная задача. Судя по всему, во многих случаях это и не получится сделать.

[marishka82]

PAV в сообщении #540294 писал(а):

marishka82
фамильярный тон на форуме не поощряется.

По сути вопроса: Вам может помочь книга В.Б. Невзорова "Рекорды. Математическая теория". Там написано и то, как считать распределения порядковых статистик (частным случаем которых является максимум), и приведены явные формулы для моментов.

Простите, больше не буду. А книжка, про которую Вы говорите, есть в електронном виде, или придется топать в библиотеку?

[PAV]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #540304 писал(а):

PAV, это я понял, но Вас оно хотя бы возмущает?

Я стараюсь сохранять дзен спокойствие и не нервничать по пустякам. 8-)

А что, красивое число 7.

-- Сб фев 18, 2012 22:55:27 --

marishka82 в сообщении #540306 писал(а):

А книжка, про которую Вы говорите, есть в електронном виде, или придется топать в библиотеку?

Наверное где-то есть. Поищите через poiskknig.ru

[marishka82]

PAV, простите, что значит н.о.р.? А если хотя бы для нормального и показательного законов моменты первого и второго порядков тоже хорошими не получатся? Как вы думаете? Ладно, время уже позднее, нужно в кровать. Спасибо за ответы, если что-то придумаю, обязательно напишу. Если у вас будут какие-то мысли, прошу поделиться.

Заранее спасибо,
Марина.

[PAV]

marishka82 в сообщении #540310 писал(а):

PAV, простите, что значит н.о.р.?

независимые одинаково распределенные

-- Сб фев 18, 2012 23:09:46 --

Кажется, в электронном виде книги нет. Но по сути то, что Вам нужно, я оттуда уже переписал.

Да, там написано что для нормального красивых выражений в общем виде не получается. Для других - не знаю, надо либо искать, либо считать.

[marishka82]

К сожалению книгу в интернете найти не удалось, на urss.ru, как всегда, антиквариат продают по космическим ценам. Придется идти в библиотеку, эх.

-- Сб фев 18, 2012 23:14:50 --

PAV в сообщении #540313 писал(а):

marishka82 в сообщении #540310 писал(а):

PAV, простите, что значит н.о.р.?

независимые одинаково распределенные

-- Сб фев 18, 2012 23:09:46 --

Кажется, в электронном виде книги нет. Но по сути то, что Вам нужно, я оттуда уже переписал.

Да, там написано что для нормального красивых выражений в общем виде не получается. Для других - не знаю, надо либо искать, либо считать.

Спасибо, значит придется думать дальше. Может хоть что-то придумаю :)

-- Сб фев 18, 2012 23:15:49 --

Всем спокойной ночи!

[svv]

marishka82, отправил л/с.

[AKM]

svv, я в этой науке не особо, но Вы и меня заинтриговали...

[Александрович]

--mS-- в сообщении #540276 писал(а):

Да и всё равно не 5,6.

5,51...

[Хорхе]

Александрович, Ваше умение пользоваться прикладными математическими пакетами не может не восхищать.

[Александрович]

Я кроме Экселя ничем не пользуюсь. Подскажите как прикрепить файл и я покажу решение.

[marishka82]

svv в сообщении #540320 писал(а):

marishka82, отправил л/с.

Спасибо, а какую лекцию в этой книге смотреть?

-- Вс фев 19, 2012 10:40:25 --

Ой, хотя этот вопрос скорее следует адресовать PAV.