Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО

[Утундрий]

Munin в сообщении #504973 писал(а):

Обзывайте, если хотите. С общепринятой терминологией это расходится.

Пожалуй, что хочу. Мне в данный момент важнее, чтобы обсуждатели применяли одни и те же слова в по возможности одном и том же смысле, желательно имея при этом примерно одно и то же в виду.

Munin в сообщении #504973 писал(а):

если только не допускать возможности неголономных базисов в касательных пространствах

Как раз собираюсь их допустить.

Munin в сообщении #504973 писал(а):

теряется возможность ортонормирования, и само понятие ничем не отличается от системы координат, так что вводить два термина избыточно.

Отличается, т.к. одной системе отсчета соответствует множество систем координат. Возникает некоторое отношение эквивалентности и возможность рассмотрения в терминах классов этой эквивалентности.

[zbl]

В. Войтик в сообщении #504068 писал(а):

Наберусь смелости предложить такой способ для случая слабо нестационарной системы отсчёта. Можно предположить, что эталонной линейкой такой системы отсчёта может служить линейка сопутствующей ей стационарной системы отсчёта.

Этот способ не нов.
Обычно берут мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчёта.
Проблем это не решает: способа синхронизировать часы это не даст, потому что у каждого наблюдателя неинерциальной системы своя сопутствующая.
В простейшем случае системы Мёллера можно выбрать мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчёта, которая бы содержала всех наблюдателей неинерциальной.
Но корректно синхронизировать часы нельзя даже в системе Мёллера: раз синхронизированные часы уже в следующий момент времени не синхронны (потому что ход часов разный в разных точках).

-- 18 ноя 2011 01:23 --

epros в сообщении #504094 писал(а):

Например, представьте себе, что мы имеем не одного, а множество наблюдателей, покоящихся в данной СО (но в разных точках). Собственно, они и задают СО. В некий момент координатного времени (а понятие координатного времени между ними согласовано) каждый наблюдатель своей линейкой измеряет расстояние до ближайших соседей. Вот Вам и полная картина пространственной метрики данной СО в заданный момент.

Всё зависит от того, какие мировые точки на мировых линиях наблюдателей считать одновременными.
Именно это определит то, что называется телом отсчёта данной системы отсчёта.
Если Вы хотите назвать одновременными те мировые точки, которые имеют одинаковые значения временной координаты, то и этот способ не нов.
Чтобы говорить о координатах, мы должны уметь их измерять (физики мы или кто?), по стандарту основной физвеличиной является длина, все другие возможные координаты через неё выражаются (например -- угол в полярных координатах), а не наоборот (можно и поменять метрическую систему, но то, понятно, ничего принципиально не изменит).
Dura lex, sed lex.
По стандарту, чтобы измерять длину, нужно уметь синхронизировать часы.
Но мы ж не умеем!

[zbl]

Утундрий в сообщении #504932 писал(а):

Кстати, давайте уж определимся с терминами. Телом (Системой) Отсчета обзовем конгруенцию мировых линий "фрагментов" тела.

Этот вопрос (что такое система отсчёта?) совсем не прост.
Современное понимание сформировалось лишь к 70-м годам (у Ю. С. Владимирова есть целая монография на эту тему).
У Ландау и Лифшица очень мало сказано о системах отсчёта: только то, что тело отсчёта -- это непрерывная среда, а не абсолютно твёрдое тело, как в классической физике (Фок говорил о "твёрдом каркасе").

Munin в сообщении #504973 писал(а):

Системой отсчёта в случае линейно-координатного формализма называется система координат (или базис), реализуемая теми или иными приборами, реальными или мысленными, проградуидованная в физических единицах длины.

"Линейно-координатный формализм" -- это что такое?...
Тут два аспекта: математический и физический (как обычно, в этих науках одними и теми же словами называют до боли разные вещи).
На матязыке можно так сказать: система отсчёта -- это расслоение (грассманово) над пространством-временем: к каждой мировой точке приклеен базис 4-мерного векторного пространства (приклеен только базис векторного пространства, а не само пространство, натянутое на этот базис).

Я ещё немножко скажу в сторону, чем координаты в физике отличаются от координат в математике.
Если кто захочет развить эту тему, то лучше открыть новую ветку.

(Оффтоп)

Вот попросили мы математика нарисовать нам координатную сетку; как он будет делать?
Он возьмёт мел и нарисует нам на доске координатную сетку.
Теперь попросим физика.
Он возьмёт мел и нарисует нам на доске координатную сетку.
В чём разница в подходах?
А вот в чём: если уборщица вымоет доску, то другой математик не сможет нарисовать точно такую же сетку, как первый рисовал.
Физик же рисовал совсем не так, как математик, а именно так, что другой физик завсегда сможет нарисовать точно такую же сетку, как бы уборщица не старалась.
Вот в том и разница между координатами в математике и координатами в физике.

Munin в сообщении #504973 писал(а):

Говорить о системе отсчёта, заданной во всех точках пространства, затруднительно, если только не допускать возможности неголономных базисов в касательных пространствах.

Вот именно.
Мы можем записать дифференциалы истинных (мне больше нравится говорить физических) длины и времени.
Очень многими способами можно обосновать, что это дифференциалы именно того, что по стандарту называется длиной и временем (в самом общем виде это обоснование проделал Зельманов в 40-х годах, но есть масса более простых, хотя надёжных соображений).
Но преобразование длины и времени, например, от инерциальной системы отсчёта (с которой всё более-менее ясно) к неинерциальной не голономное даже в самых простейших случаях.
Неголономность означает, что проинтегрировать преобразование дифференциалов нельзя (оно линейное, но не интегрируемое).
Для физики это означает то же, что и раньше: не умеем измерять конечные длины.
Не умеешь измерять конечные длины -- системы отсчёта не умеешь построить.
Очень просто: задать определённое положение в пространстве относительно данной системы отсчёта -- это и есть уметь измерять длину относительно неё (длина и есть мера протяжённости).

Не удаётся говорить о системе отсчёта во всём пространстве.
Только о множестве систем отсчёта в бесконечно малых 4-объмах вокруг мировых точек (есть возможность говорить о мировых трубках, но это детали).
Только инерциальную систему отсчёта мы можем построить целиком, даже простейшие неинерциальные -- не можем.
А они нам нужны ли целиком-то? -- ведь мы ж обычно относительно инерциальной всё считаем.
Хмм... а инерциальные системы отсчёта всегда ли нам доступны?... вдруг, кто-нибудь скажет, что иной раз у нас просто нет нужной инерциальной?...
У нас тогда не будет одной системы отсчёта, а только туча локальных мгновенно-сопутствующих.
Но, чтобы измерять относительно этой тучи движение тела на конечные расстояния за конечные промежутки времени, нужно сами эти локальные системы отсчёта как-то расставить.
А это то же самое, что расставить отдельных наблюдателей в одну систему отсчёта: нужно задать их положение в пространстве, а это снова тем же способом упрётся в проблему синхронизации часов.
Куда ни ткнись, везде засада...

[Munin]

Утундрий в сообщении #504980 писал(а):

Пожалуй, что хочу. Мне в данный момент важнее, чтобы обсуждатели применяли одни и те же слова в по возможности одном и том же смысле, желательно имея при этом примерно одно и то же в виду.

Интересно, и как вы намерены этого добиться, вводя свои собственные слова в своём собственном смысле, и нисколько не договариваясь с другими обсуждателями, чтобы они имели в виду одно и то же с вами.

Утундрий в сообщении #504980 писал(а):

Как раз собираюсь их допустить.

Отлично. Тогда вы про них epros-у и рассказываете. Поздравляю с выигранным тендером.

Утундрий в сообщении #504980 писал(а):

Отличается, т.к. одной системе отсчета соответствует множество систем координат.

В смысле разных перенумераций мировых линий? Пускай.

zbl в сообщении #504976 писал(а):

Мне лично интересен самый общий случай: инерциальные и неинерциальные системы отсчёта, в отсутствии и при наличии гравполя, статического, стационарного и нестационарного.

А вы вообще как, в курсе, что "при наличии гравполя" вообще теряется различие между инерциальными и неинерциальными системами отсчёта?

zbl в сообщении #505017 писал(а):

У Ландау и Лифшица очень мало сказано о системах отсчёта

Откройте Иваненко, Сарданашвили "Гравитация" (оказывается, уже есть в интернете).

zbl в сообщении #505017 писал(а):

Для физики это означает то же, что и раньше: не умеем измерять конечные длины.

По вашей логике - только в "неинерциальных системах" (никто не знает, что это у вас такое).

zbl в сообщении #505017 писал(а):

Не умеешь измерять конечные длины -- системы отсчёта не умеешь построить.Очень просто: задать определённое положение в пространстве относительно данной системы отсчёта -- это и есть уметь измерять длину относительно неё (длина и есть мера протяжённости).

Проблем нет: вы заявляете только, что "не умеешь построить" произвольной системы отсчёта, а с "инерциальной" (опять же в вашем неизвестном понимании) проблем нет: относительно неё измерять что-то нам ничего не препятствует.

[В. Войтик]

zbl в сообщении #504976 писал(а):

Ландау и Лифшица уже процитировал Войтик: проблема в неоднозначности.

Нее. epros уже объяснил, как определяется расстояние. Оно находится интегрированием в любой момент мирового времени.

zbl в сообщении #504976 писал(а):

По-проще говоря, вот есть два конца отрезка, длину которого измеряем; концы нужно фиксировать в один и тот же момент времени (dura lex, sed lex).
Но как именно синхронизировать часы? (процедура синхронизации тоже стандартная).
Вдоль любой линии всегда можем синхронизировать часы, переходя от точки к точке.
Но тогда результат зависит от того, по какой линии идём.
Если обойдём замкнутый контур, то, вернувшись в исходную точку, найдём, что два значения времени в ней не совпадают (простейший пример -- вращающаяся окружность).
Если время не однозначно, то не понятно, какие именно мировые точки концов отрезка считать одновременными.

Вы говорите о физическом времени в каждой точке. А синхронизация часов проводится по мировому времени. Такая синхронизация всегда возможна в любой системе отсчёта.

zbl в сообщении #504982 писал(а):

В. Войтик в сообщении #504068 писал(а):

Наберусь смелости предложить такой способ для случая слабо нестационарной системы отсчёта. Можно предположить, что эталонной линейкой такой системы отсчёта может служить линейка сопутствующей ей стационарной системы отсчёта.

Этот способ не нов.
Обычно берут мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчёта.
Проблем это не решает: способа синхронизировать часы это не даст, потому что у каждого наблюдателя неинерциальной системы своя сопутствующая.
В простейшем случае системы Мёллера можно выбрать мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчёта, которая бы содержала всех наблюдателей неинерциальной.
Но корректно синхронизировать часы нельзя даже в системе Мёллера: раз синхронизированные часы уже в следующий момент времени не синхронны (потому что ход часов разный в разных точках).

В мгновенно сопутствующей инерциальной системе мировое время совпадает с физическим. В ускоренной системе мировое время отличается от физического. Поэтому правильно использовать не МСИСО, а сопутствующую стационарную систему. Синхронизация часов проводится по мировому времени. Поскольку стандартные часы измеряют физическое время, то надо в каждой точке расположить соответствующим образом замедленные часы. Тогда эти часы будут измерять мировое время. Необходимо также провести синхронизацию часов. Это возможно в рамках СТО в любой системе отсчёта.

Цитата:

По стандарту, чтобы измерять длину, нужно уметь синхронизировать часы.
Но мы ж не умеем!

Это можно сделать. Конкретная формула определения одновременных событий зависит от типа неинерциальной системы отсчёта.

-- Пт ноя 18, 2011 09:20:26 --

zbl в сообщении #505017 писал(а):

Но преобразование длины и времени, например, от инерциальной системы отсчёта (с которой всё более-менее ясно) к неинерциальной не голономное даже в самых простейших случаях.

Голономное.

[epros]

Munin в сообщении #504903 писал(а):

epros в сообщении #504822 писал(а):

Я сказал бы, что времениподобная ось должна быть строго одна, а остальные - пространственноподобны. Но это не означает ортонормированность базисов.

А почему у вас такая промежуточная позиция? Я лично не вижу, чем такой расклад осей может быть оправдан. Если мы хотим навязать им какой-то физический смысл инструментально измеряемых величин, то уж сразу ортонормированность.

Ну, строго говоря, требование единственности времени-подобной оси тоже является скорее эстетическим. Можно от него и отказаться. Например, поясное время на поверхности Земли вполне можно считать определяющим некую систему отсчёта. Хотя известно, что если двигаться достаточно быстро на запад, то можно "попасть в прошлое" по поясному времени.

zbl в сообщении #504976 писал(а):

Но как именно синхронизировать часы? (процедура синхронизации тоже стандартная).

Для определения одновременности в неинерциальной СО как раз используют "нестандартные" процедуры синхронизации. Например, координатное время вращающейся СО может определяться стандартной синхронизацией по эталонным часам, находящимся на оси вращения. Но при этом координатное время для разных точек оказывается, вообще говоря, Не синхронизированным между собой (в стандартном смысле).

zbl в сообщении #504976 писал(а):

Если время не однозначно, то не понятно, какие именно мировые точки концов отрезка считать одновременными.

Это однозначно определено координатным временем соответствующей СО.

[epros]

Munin в сообщении #504973 писал(а):

Говорить о системе отсчёта, заданной во всех точках пространства, затруднительно, если только не допускать возможности неголономных базисов в касательных пространствах. Либо, иначе теряется возможность ортонормирования, и само понятие ничем не отличается от системы координат, так что вводить два термина избыточно.

Раз уж пошла такая пьянка за терминологию, озвучу и своё понимание "системы отсчёта".

Это совокупность из тела отсчёта (континнуума "фрагментов" тела отсчёта) - реального или воображаемого, а также процедуры определения одновременности событий, происходящих с этими "фрагментами".

В этом смысле конгруэнции мировых линий "фрагментов" тела отсчёта для того, чтобы считаться системой отсчёта, не хватает, как минимум, процедуры определения одновременности.

С другой стороны, это понятие не вполне тождественно понятию системы координат по следующим причинам:
1) Одна из осей координат должна быть направлена вдоль мировых линий "фрагментов" тела отсчёта, т.е. должна быть везде времени-подобной, поскольку запустить тело отсчёта (даже воображаемое) по пространственно-подобной мировой линии затруднительно. Так что не любым СК соответствует СО.
2) Одной системе отсчёта соответствует множество систем координат, ибо а) замена пространственных координат несущественна, б) замена временной координаты, не затрагивающая направления времени, несущественна. Хотя (б) - спорный пункт...

В общем, разница между СК и СО не так уж велика.

[В. Войтик]

epros в сообщении #505060 писал(а):

Раз уж пошла такая пьянка за терминологию, озвучу и своё понимание "системы отсчёта".

А мне нравится тетрадная формулировка, в которой система отсчёта представляет собой систему ортонормированных 4-векторов зависящих от мирового времени являющегося физическим временем начала отсчёта.
Она полностью определяется всего двумя векторами: вектором собственного ускорения $\mathbf{W}$ и вектором угловой скорости $\mathbf{\Omega}$, которые есть 4-инварианты и выражаются через тетрадные 4-векторы. Вот после того как тетрады определены можно уже ввести произвольную систему 3 - координат и произвольное координатное время.

[epros]

В. Войтик, хочу обратить внимание на одну особенность моего определения, которую я полагаю преимуществом сравнительно с Вашим: оно дано через понятия "тел", "процедур" и "событий", а не через понятия "4-векторов", "тетрад", "ортонормированности" и "инвариантов".

[Утундрий]

Munin в сообщении #505030 писал(а):

В смысле разных перенумераций мировых линий? Пускай.

В том-то и дело, что не только. zbl правильно упомянул Зельманова, да и где-то тут на форуме уже возникал разговор на эту тему. Захлох, правда.

-- Пт ноя 18, 2011 17:35:39 --

epros в сообщении #505060 писал(а):

своё понимание "системы отсчёта".

Это совокупность из тела отсчёта (континнуума "фрагментов" тела отсчёта) - реального или воображаемого, а также процедуры определения одновременности событий, происходящих с этими "фрагментами".

В этом смысле конгруэнции мировых линий "фрагментов" тела отсчёта для того, чтобы считаться системой отсчёта, не хватает, как минимум, процедуры определения одновременности.

Не хватает, и по весьма веской причине: в общем случае произвольно движущегося тела отсчета никакой не зависящей от пути "одновременности" попросту нет.

[epros]

Утундрий в сообщении #505154 писал(а):

Не хватает, и по весьма веской причине: в общем случае произвольно движущегося тела отсчета никакой не зависящей от пути "одновременности" попросту нет.

Телу отсчёта конечно же на какую бы то ни было одновременность наплевать. Не наплевать нам, если мы хотим привязать пространственную геометрию (или что-нибудь ещё) к определённому "моменту".

[В. Войтик]

Всё таки причём здесь одновременность? Пространственная геометрия не может зависеть от определения одновременности. Ландау и Лифшиц на мой взгляд очень правильно поступили выведя в п. 84 т. 2 метрический тензор без определения одновременности.
Ааа дошло. Вы имеете ввиду геометрию в конкретный момент, а не определение одновременных событий

[Утундрий]

epros в сообщении #505205 писал(а):

если мы хотим привязать пространственную геометрию (или что-нибудь ещё) к определённому "моменту".

Так вот, оказывается, что это совсем не обязательно.

Думаю, пора добавить немножко математики. Можно сюда, можно в отдельной теме.

[Munin]

Утундрий в сообщении #505231 писал(а):

Думаю, пора добавить немножко математики.

Чтобы обессмыслить всю тему? А о чём тогда трепаться, топчась на месте?

[vicont]

epros в сообщении #504456 писал(а):

В сообщении #496170 я приводил расчёт расстояний для вращающейся СО.

epros в сообщении #496170 писал(а):

Заодно и кто-нибудь ещё из интересующихся посмотрит как выбор в пространстве-времени Минковского неинерциальной системы отсчёта определяет неевклидово пространственное трёхмерие.

А можно наивный вопрос? А какой смысл проделывать такую операцию для вращающейся СО, кроме как выполнение математических упражнений? Если можно по простому синхронизировать в ней часы, получить эвклидово пространственное трехмерие и работать в нем, вместо того, чтобы плутать в математических дебрях.