div B = 0

[spyphy]

EvilPhysicist в сообщении #471186 писал(а):

Вот только она порождает другую фиктивную величину

Можно рассмотреть такое еще один простой пример. Пусть есть два уравнения
$ x = c^2 $
$ E=m x$
Объединяя их вместе, мы получаем известную формулу. Но какой физический смысл несет в себе величина $x$? По аналогии с предыдущим можно было бы сказать, что якобы фиктивная $x$ пораждает фиктивную $c$, а поэтому свет мы видеть не можем...

[EvilPhysicist]

spyphy в сообщении #471198 писал(а):

Но какой физический смысл несет в себе величина $x$?

никакого. И с уравнениями Максвелла, я уверен, такого трюка не сделать.

Более того, электромагнитное поле регистрируют. Это свет, а равно и фотоны. В их то реальности вы не сомневаетесь?

[мат-ламер]

Электромагнитное поле реально существует. Обсуждение есть у Сивухина в курсе общей физики в томе про электричество. Вот некоторые сомневаются в реальности гравитационного поля, потому что системе координат, связанной с движущей по инерции пробной частицей, его как бы и нет, и его ничем не обнаружишь. Но это не арумент, поскольку реально пробная частица должна иметь конечные размеры, и приливные силы будут ощущаться.

[Bulinator]

spyphy, я видимо ввел вас в заблуждение предложением

Bulinator в сообщении #471099 писал(а):

значит, это не совсем поле.

Я имел в виду математическое определение векторного поля заданного на всем(без никаких исключительных точек!) пространстве. Однако, в случае точечной частицы у нас возникают проблемы в точке, где эта частица находится. В классичесокй электродинамике, чтобы обойти это неудобство мы всегда можем представить электрон как какой-то шарик с очень маленьким, но конечным радиусом. Тогда никакой сингулярности не будет. Само собой разумеется, что электромагнитное поле существует и если(если!!!) у нас возникают проблемы с его описанием, то это проблема матаппарата а не поля.

-- Пн июл 25, 2011 20:29:46 --

мат-ламер, только что прочел наш с Вами диалог. У меня сложилось впечатление, что недопонимание связано с понятием карты. Карта, вообще говоря, это всегда евклидово пространство и любая замкнутая форма в пределах одной карты является так-же точной(как выразился Munin, убедительное махание руками вместо доказательства леммы Пуанкаре ). Однако не любая сфера может находиться только на одной карте. Очень даже может быть, что часть сферы будет находиться на одной карте а другая часть- на другой и вот тогда, эта сфера может и не сжаться в точку.

[profrotter]

Bulinator в сообщении #471099 писал(а):

А если серьезно, то это утвеждение справедливо только для пространств с тривиальной группой двумерных когомологий, например- $\mathbb{R}^3$. Однако, поле $\overrightarrow{F}$ не определено в точке $x=y=z=0$, а значит, это не совсем поле. Если эту точку выкинуть и рассматривать поле заданное на $\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$, придется отказаться от утверждения.

Начнём с того, вот это вот в данной теме оффтопик и к классической электродинамике не относится, в рамках которой я и давал пояснения изначально. Напомню, исходное сообщение касалось книги Матвеева. Непонятно зачем марать раздел форума "помогите решить/разобраться".
А что означает точку "выкинуть"? Я так понял придёт демон и заколет её шилом? Что физически означает "выкидывание" точки?

Munin в сообщении #470924 писал(а):

profrotter в сообщении #470893 писал(а):

Так как $div \overrightarrow{B}=0$ и $div(rot\overrightarrow{A})=0$ (доказывается в теории поля), то вектор магнитной индукции можно представить в виде: $\overrightarrow{B}=rot \overrightarrow{A}$, а $\overrightarrow{A}$ называется векторным потенциалом.

Вообще-то нельзя, это необходимое условие, но не достаточное.

Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3, глава 18, параграф 4, пункт 670, стр 375:
"Векторное поле $\overrightarrow{A}$ называется соленоидальным, если существует векторная величина $\overrightarrow{B}$, для которой $\overrightarrow{A}$ служит вихрем: $\overrightarrow{A}=rot\overrightarrow{B}$"
"Теорема: Для того, чтобы поле $\overrightarrow{A}$ было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство $div\overrightarrow{A}=0 $" (Подчёркнуто мною.)
Что делать с этим?

[Bulinator]

profrotter в сообщении #471213 писал(а):

Что физически означает "выкидывание" точки?

Создать очень сильную сингулярность в которую частица не может влезть. Так был проделан опыт на обнаружение эффекта Ааронова-Бома.

[мат-ламер]

profrotter В Фихтенгольце явный глюк (и ещё в половине учебников матанализа). Однако есть другая половина. Посмотрите Зорича. Bulinator. Недопонимание в том, что лемма Пуанкаре в разных книгах излагается по разному. То что она выполняется локально - это я пониманию. В некотрых книгах пытаются пояснить, когда она выполняется глобально. Полное прояснение дают когомологии Де Рама. Ну, а допустим - она глобально не выполняется. Пусть, например, форма не точна и нет векторного потенциала. Разве нельзя тут строить теорию аналогично римановым пространствам, и развить теорию для многозначных функций?

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #471219 писал(а):

В некотрых книгах пытаются пояснить, когда она выполняется глобально.

Что значит "лемма Пуанкаре выполняется глобально"?

-- Пн июл 25, 2011 20:46:22 --

мат-ламер в сообщении #471219 писал(а):

Пусть, например, форма не точна и нет векторного потенциала.

Например, в случае монополя Дирака.

[мат-ламер]

Пуанкаре доказывал свою лемму отнюдь не для локальной системы координат. Глобально - значит дифференциальная форма точна на всей области при выполнении некоторых условий. Пуанкаре (ИМХО) точность n-формы доказывал при условии тривиальности n-ой гомотопической группы в области (n-связность). Допустим, (для 2-форм) если из $R^3$ выкинем точку, то сфера в этой области не стягивается в точку. А вот, если выкинуть прямую, то сфера будет стягиваться в точку. Т.е. для такой области лемма Пуанкаре выполняется глобально.

(Оффтоп)

Иду спать.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #471206 писал(а):

Электромагнитное поле реально существует. Обсуждение есть у Сивухина в курсе общей физики в томе про электричество.

Не могли бы вы процитировать, либо указать поточнее адрес? А то вообще это вопрос не такой простой, и хорошо решается только в квантовой теории поля, и у меня сомнения, что Сивухин поднимается до таких аргументов.

profrotter в сообщении #471213 писал(а):

Непонятно зачем марать раздел форума "помогите решить/разобраться".

Как вы суровы. Ну, я думаю, тему действительно можно разделить, она сильно в сторону ушла от вашего первоначального вопроса.

profrotter в сообщении #471213 писал(а):

Что делать с этим?

Фихтенгольц использует то условие, которое тут в теме подробно обсуждали (2-связность, или тривиальность группы двумерных гомологий, откуда следует и тривиальность группы двумерных когомологий), вот только явно этого не произносит. Явно это оговаривается в учебниках более продвинутых, чем Фихтенгольц.

[Bulinator]

мат-ламер, Вы что издеваетесь? Что за лирика? Пуанкаре доказывал.... Пуанкаре много чего доказывал, но есть лемма Пуанкаре, которая связана только с одной картой.

мат-ламер в сообщении #471225 писал(а):

Т.е. для такой области лемма Пуанкаре выполняется глобально.

Пошел нанимать киллера:))))

[profrotter]

Bulinator в сообщении #471216 писал(а):

profrotter в сообщении #471213 писал(а):

Что физически означает "выкидывание" точки?

Создать очень сильную сингулярность в которую частица не может влезть. Так был проделан опыт на обнаружение эффекта Ааронова-Бома.

По вашей ссылке написано, что эффект Ааронова-Бома это квантовомеханическое явление. Какое отношение это может иметь к классической электродинамике? Простите, а что значит "создать сильную сингулярность, в которую частица не может влезть"? Это как? У слова "сингулярность" есть много разных значений. Вы тут что имели ввиду?

мат-ламер в сообщении #471219 писал(а):

profrotter В Фихтенгольце явный глюк (и ещё в половине учебников матанализа). Однако есть другая половина.

В чём заключается "явный глюк"? Давайте указывать литературу так, как это принято. Мы же на базаре. Что за Зорич и чего там смотреть?

Munin в сообщении #471228 писал(а):

profrotter в сообщении #471213 писал(а):

Непонятно зачем марать раздел форума "помогите решить/разобраться".

Как вы суровы. Ну, я думаю, тему действительно можно разделить, она сильно в сторону ушла от вашего первоначального вопроса.

Вы хоть иногда смотрИте в какой теме пишете, кто её автор и что он спрашивал.

Munin в сообщении #471228 писал(а):

profrotter в сообщении #471213 писал(а):

Что делать с этим?

Фихтенгольц использует то условие, которое тут в теме подробно обсуждали (2-связность, или тривиальность группы двумерных гомологий, откуда следует и тривиальность группы двумерных когомологий), вот только явно этого не произносит. Явно это оговаривается в учебниках более продвинутых, чем Фихтенгольц.

Так и укажите продвинутый учебник, а так же попробуйте пояснить какое отношение ваши гомологии и когомологии имеют к формулировке уравнений Максвелла и введению векторного потенциала в электродинамике.

[EvilPhysicist]

profrotter в сообщении #471245 писал(а):

Так и укажите продвинутый учебник

У Сарданашвили есть пятитомник по теории поля. Тервый том там про классическую теорию поля. там как раз про то

profrotter в сообщении #471245 писал(а):

отношение ваши гомологии и когомологии имеют к формулировке уравнений Максвелла и введению векторного потенциала в электродинамике.

[alcoholist]

мат-ламер в сообщении #471225 писал(а):

Пуанкаре доказывал свою лемму отнюдь не для локальной системы координат. Глобально - значит дифференциальная форма точна на всей области при выполнении некоторых условий. Пуанкаре (ИМХО) точность n-формы доказывал при условии тривиальности n-ой гомотопической группы в области (n-связность). Допустим, (для 2-форм) если из $\mathbb{R}^3$ выкинем точку, то сфера в этой области не стягивается в точку. А вот, если выкинуть прямую, то сфера будет стягиваться в точку. Т.е. для такой области лемма Пуанкаре выполняется глобально.

При чем тут гомотопические группы???

Пусть на $n$-мерном многообразии $M$ (например, любая область в $\mathbb{R}^n$) у нас есть замкнутая $p$-форма $\omega$ (т.е. ${\rm d}\,\omega=0$) некоторого класса (ограниченная... с компактным носителем... да мало ли классов форм). Достаточным условием ее точности (в данном классе) является тривиальность соответствующих (данному классу) $p$-мерных когомологий многообразия $M$.

Используя двойственность Пуанкаре это условие может быть сформулировано и в терминах гомологий.



-- Вт июл 26, 2011 10:10:53 --

Munin в сообщении #471228 писал(а):

2-связность, или тривиальность группы двумерных гомологий

это разные вещи: из $n$-связности пространства $X$ (тривиальность всех гомотопических групп до порядка $n$ включительно) следует, что $H_n(X)=0$ (и даже изоморфизм $\pi_{n+1}(X)\simeq H_{n+1}(X)$ -- теорема Гуревича); из тривиальности некой группы гомологий вообще ничего не следует.

[spyphy]

У меня возникла идея. Рассмотрим такой мысленный эксперимент. Возьмем два параллельных "гравитационных проводника", под которыми я понимаю безмассовые трубочки, равномерно заполненные подвижной массой (для определенности нейтронами). Так вот если поток нейтронов в этих проводниках направлен в одну сторону, то сила притяжения между проводниками не меняется (остается достаточно малой). А вот если поток направлен в противоположные стороны, то при некоторой плотности потока за счет двух эффектов:
1) релятивистское сокращение длины, следовательно увеличение плотности массы;
2) увеличение гравитационного взаимодействия ("релятивисткой массы");
мы получаем, что проводники начнуть прятигивать, скажем, раз в 100 сильнее, чем в предыдущем случае. Назовём это дополнительное притяжение полем X. Тогда можно будет заняться поисками X-зарядов! Пусть только одноименных, но всё же.