div B = 0

[Bulinator]

Munin в сообщении #470971 писал(а):

Возможно, даже где-то вычитали. Проблема только в том, что я вычитывал обратное, и там всё было написано весьма убедительно

Как говорил Станиславский...

[Munin]

Начнём вот с чего. Пусть у нас система описывается какими-то динамическими уравнениями, которым соответствует какой-то лагранжиан. Мы можем взять от этих динамических уравнений производную. Тогда они тоже останутся динамическими уравнениями, только не от исходных динамических переменных, а от их производных. И этим новым уравнениям будет соответствовать новый лагранжиан. Вся физика останется старая.

[Bulinator]

Munin в сообщении #470977 писал(а):

И этим новым уравнениям будет соответствовать новый лагранжиан.

Мне не очевидно. Но даже если и так, я утверждаю, что вы не можете построить Лагранжиан для которого ур.-я Э-Л давали то обобщение ур-й Максвелла, что вы выписали. А следовательно, производную взять не сможете.

[spyphy]

вообще в книге Стражева "Электродинамика с магнитным зарядом" на с.97 какой-то лагранжиан всё ж выписан. Понятия правда не имею к чему он относится, т.к. не разбираюсь в этих вещах, но может кому пригодится..

[Munin]

Bulinator в сообщении #470979 писал(а):

Мне не очевидно.

То есть вам не очевидно, что динамическим уравнениям можно лагранжиан сопоставить? А какие вы видите препятствия?

Bulinator в сообщении #470979 писал(а):

Но даже если и так, я утверждаю, что вы не можете построить Лагранжиан для которого ур.-я Э-Л давали то обобщение ур-й Максвелла, что вы выписали. А следовательно, производную взять не сможете.

Я беру производную от уравнений Максвелла. Вы их ещё помните?
Стандартный вид: $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu;\quad \partial_\mu F^{\mu\nu}=4\pi j^\nu$
После взятия производной: $\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}\partial_\lambda F_{\mu\nu}=0;\quad \partial_\mu F^{\mu\nu}=4\pi j^\nu$

Теперь (1) для этой формы надо написать лагранжиан, и (2) включить в неё и в лагранжиан магнитный ток.

Толстый намёк: после шага 1 лагранжиан будет отличаться от исходного на полную производную (если подставить выражение поля через потенциал).

-- 25.07.2011 00:22:46 --

spyphy
Спасибо за наводку, щас посмотрим!

[Bulinator]

Munin в сообщении #470987 писал(а):

Спасибо за наводку, щас посмотрим!

Ну ну, смотрите, смотрите... А еще посмотрите стр. 131 и прочтите первый абзац :))))

[Munin]

А. Это всё-таки не то. Их проблемы с локальностью - именно из-за попыток остаться в терминах потенциалов. Но в полях-то всё локально.

[profrotter]

Munin в сообщении #470924 писал(а):

profrotter в сообщении #470893 писал(а):

Так как $div \overrightarrow{B}=0$ и $div(rot\overrightarrow{A})=0$ (доказывается в теории поля), то вектор магнитной индукции можно представить в виде: $\overrightarrow{B}=rot \overrightarrow{A}$, а $\overrightarrow{A}$ называется векторным потенциалом.

Вообще-то нельзя, это необходимое условие, но не достаточное.

мат-ламер в сообщении #470932 писал(а):

Пример из Гелбаума-Олмстеда. Трёхмерное поле определяется так $F=(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}(xi+yj+zk)$, где $i,j,k$ - орты. Тривиально проверяется, что $divF=0$. У этого поля нет векторного потенциала.

Б.Гелбаум, Дж. Олмстед Контрпримеры в анализе. - М.: Мир, 1967, глава 9 параграф 19 стр. 161-162: "Но, если бы поле $\overrightarrow{F}$ было ротором некоторого векторного потенциала, то по теореме Стокса поверхностный интеграл по замкнутой поверхности должен был бы обратиться в нуль." Что теперь делать с уравнениями Максвелла в интегральной форме, в частности, $\ointop\limits_S \overrightarrow{B} \overrightarrow{dS}=0$?

[Bulinator]

profrotter в сообщении #471084 писал(а):

Что теперь делать с уравнениями Максвелла в интегральной форме, в частности, $\ointop\limits_S \overrightarrow{B} \overrightarrow{dS}=0$?

profrotter, какой вы умный? А вот мы не догадались записать уравнения Максвелла в интегральной форме и удивиться. Спасибо! Спасибо Вам огромное.

profrotter в сообщении #471084 писал(а):

Но, если бы поле $\overrightarrow{F}$ было ротором некоторого векторного потенциала, то по теореме Стокса поверхностный интеграл по замкнутой поверхности должен был бы обратиться в нуль.

А если серьезно, то это утвеждение справедливо только для пространств с тривиальной группой двумерных когомологий, например- $\mathbb{R}^3$. Однако, поле $\overrightarrow{F}$ не определено в точке $x=y=z=0$, а значит, это не совсем поле. Если эту точку выкинуть и рассматривать поле заданное на $\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$, придется отказаться от утверждения.

[spyphy]

Bulinator в сообщении #471099 писал(а):

Однако, поле $\overrightarrow{F}$ не определено в точке $x=y=z=0$, а значит, это не совсем поле.

Стало быть, электростатическое поле точечного заряда - не совсем поле...

[Bulinator]

spyphy в сообщении #471108 писал(а):

Стало быть, электростатическое поле точечного заряда - не совсем поле...

В смысле математического определения, не совсем. Нам нужно каждой точке пространства поставить в соответствие вектор. Мы ставим это соответствие везде, кроме точки сингулярности.

[spyphy]

На самом деле так никаких электрических и магнитных полей в природе и не существует - то лишь удобная математическая абстракция. А есть только электромагнитное взаимодействие, возникающее между частицами со свойством "электрический заряд", переносчиком которого является фотон (если конечно верить современной физике). Поэтому с чего бы здесь взяться магнитному монополю мне не совсем понятно. Может поясните?

[EvilPhysicist]

spyphy в сообщении #471145 писал(а):

На самом деле так никаких электрических и магнитных полей в природе и не существует

Да ну. А вот есть у нас уравнения Максвелла.

$$ \nabla \vec B = 0 \quad \nabla \times \vec E = - \frac 1 c \cfrac{d \vec B}{dt} $$

$$ \nabla \vec E = 4 \pi \rho \quad \nabla \times \vec B= \cfrac{4\pi}{c} \vec j + \frac 1 c \cfrac{d \vec E}{dt}$$

В них вот как раз указано , что заряды взаимодействуют с Э.М. полем, что Э.М. поле действует на заряды, и что ещё да ещё, что электическое и магнитное поле между собой тоже взаимодействует. Первое подтверждает вторая пара уравнений. Второе - правое уравнение в первой паре.

spyphy в сообщении #471145 писал(а):

А есть только электромагнитное взаимодействие

А передоётся оно как раз с помошью поля.

spyphy в сообщении #471145 писал(а):

переносчиком которого является фотон

Который и является, грубо говоря, "куском" поля.

[spyphy]

EvilPhysicist в сообщении #471160 писал(а):

Да ну. А вот есть у нас уравнения Максвелла.

Ну так и что? В уравнении Шредингера, например, стоит число $ i = \sqrt{-1}$, но так это еще не значит, что оное существует в природе.
Аналогично, мне думается, в уравнениях Максвелла $ \vec B $ может играть роль фиктивной вспомогательной величины, не имеющей конкретного воплощения в материальном мире. Хотя конечно между идеальным и материальным вообще нету четкой границы, так что это скорее риторический вопрос.

[EvilPhysicist]

spyphy в сообщении #471182 писал(а):

В уравнении Шредингера, например, стоит число $ i = \sqrt{-1}$, но так это еще не значит, что оное существует в природе.

это по-вашему аргумент?

spyphy в сообщении #471182 писал(а):

Аналогично, мне думается, в уравнениях Максвелла $ \vec B $ может играть роль фиктивной вспомогательной величины

Вот только она порождает другую фиктивную величину $ \frac 1 c \cfrac{d \vec B}{dt} = - \nabla \times \vec E $б которая в свою очередь связана с плотностью зарядов $ \nabla \vec E = 4 \pi \rho$.
Вот и выходит, что обе величины "фиктивные" а на заряды что-то влияет.

spyphy в сообщении #471182 писал(а):

не имеющей конкретного воплощения в материальном мире

Как же мы тогда свет то видим? Тоже же поле электромагнитное.