div B = 0

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #470880 писал(а):

Отсутствие зарядов (если это понятие формализовать) эквивалентно ли наличию у поля векторного потенциала, т.е. $B=rotA$?

Теперь, внятный ответ:
Определим 2-форму $B^{(2)}=\varepsilon_{ijk}B_kdx^i\wedge dx^j$

Уравнение $\operatorname{div} B=0$ эквивалентно $dB^{(2)}=0$. Т.е. 2-форма $B^{(2)}$-замкнута. По лемме Пуанкаре, всякая замкнутая форма локально точна(на одной карте). Однако $\mathbb{R}^3$ по определению покрывается всего одной картой а значит $B^{(2)}=dA^{(1)}$ всюду ч.т.д.

[мат-ламер]

Мало чего понял в ответах. Буду ещё думать. Пока поясню, что я хотел спросить. По поводу второго вопроса. Существует пример функции, заданной на пространстве с выколотой точкой, у которой нулевая дивергенция, но тем не менее у которой отсутствует векторный потенциал. (см. Гелбаум-Олмстед). По поводу первого вопроса об отсутствии магнитных зарядов. Возникает вопрос. А может ли существовать поле на пространстве с выколотой точкой, у которой существует векторный потенциал? Ответ, по-видимому, нет. В топологии я только начал разбираться, но лемма Пуанкаре тут не причём. ИМХО, тут надо применить теорию когомологий Де Рама, из которой следует, что всякая замкнутая 2-форма точна, если тривиальна группа двумерных когомологий пространства. (Простите, если что не так. Начал только разбираться). Третий вопрос. Как писал по поводу второго вопроса, существование векторного потенциала для произвольного поля с нулевой дивергенцией не есть факт. Но может для магнитного поля, которое удовлетворяет уравнения Максвелла, это так?

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #470907 писал(а):

В топологии я только начал разбираться, но лемма Пуанкаре тут не причём.

Да ну?

мат-ламер в сообщении #470907 писал(а):

Существует пример функции, заданной на пространстве с выколотой точкой, у которой нулевая дивергенция, но тем не менее у которой отсутствует векторный потенциал.

Так и я о том же. Пространство с выколотой точкой одной картой не покрывается. Т.е. локально(на одной карте) вектор потенциал существует(лемма Пункаре), но он не определен глобально.(И, кстати, не "функции" а "2-формы" ну или хотя бы "ковектора")

мат-ламер в сообщении #470907 писал(а):

А может ли существовать поле на пространстве с выколотой точкой, у которой существует векторный потенциал?

См. выше.

мат-ламер в сообщении #470907 писал(а):

ИМХО, тут надо применить теорию когомологий Де Рама, из которой следует, что всякая замкнутая 2-форма точна, если тривиальна группа двумерных когомологий пространства.

Это следует не из теории а из определения когомологий.
Определение: $k$-ой группой когомологий назовем факторгруппу группы всех замкнутых $k$-форм по точным $k$-формам.

-- Вс июл 24, 2011 15:44:20 --

мат-ламер в сообщении #470907 писал(а):

Как писал по поводу второго вопроса, существование векторного потенциала для произвольного поля с нулевой дивергенцией не есть факт.

На $\mathbb{R}^3$ есть!

[мат-ламер]

По поводу леммы Пуанкаре. У меня сложилось впечатление (поправьте, если ошибаюсь), что она даёт достаточные условия точности формы. В нашем случае, форма точна в области (т.е. существует векторный потенциал), если всякое множество, гомеоморфное двумерной сфере, стягивается в этой области в точку (т.е. вторая гомотопическая группа тривиальна). Для трёхмерного пространства с выколотой точкой это не так. Даёт ли она (лемма Пуанкаре) необходимые и достаточные условия замкнутости формы - я сомневаюсь. По этому решил, что в нашем случае лучше применить теорию де Рама. Что касается когомологий. Теорема де Рама утверждает, что группа когомологий де Рама (они определяются в терминах наших дифференциальных форм) изоморфна группе сингулярных когомологий пространства. А вот последние уже не связаны с диф. формами, а полностью определяются топологией пространства. Т.о. чисто из топологии определяем группу сингулярных когомологий, и далее делаем вывод о точности диф. формы. Что касается последнего возражения (на $R^3$ есть), то я перед своими вопросами чётко сказал, что из естественных физических соображений предполагается, что поле определено не на всём пространстве. Теперь вопрос - где можно прочитать о связи топологии и дифференциальных форм? На днях закачал книгу Боттса и Ву и не найду на компьютере. Придётся перезакачать. Может есть, что по-лучше? Для меня главное - по-проще.

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #470918 писал(а):

У меня сложилось впечатление (поправьте, если ошибаюсь), что она даёт достаточные условия точности формы.

Поправляю.
Лемма(Пуанкаре): Всякая замкнутая форма локально точна.
На формулах это выражается так. Пусть имеется замкнутая $k$-форма $A^{(k)}$: $dA^{(k)}=0$. Утверждается, что на любой заведомо выбранной (одной!) карте ее можно представить в виде $A^{(k)}=dA^{(k-1)}$.

(Карта)

Пусть задано многообразие $M$. Картой на этом многообразии называется открытая область $U$ в евклидовом координатном пространстве вместе со своим взаимно-однозначным отображением $\varphi$ на некоторое подмножество $M$.

мат-ламер в сообщении #470918 писал(а):

В нашем случае, форма точна в области (т.е. существует векторный потенциал), если всякое множество, гомеоморфное двумерной сфере, стягивается в этой области в точку (т.е. вторая гомотопическая группа тривиальна).

Если она еще и замкнута, то не только в нашем случае. Всегда!

мат-ламер в сообщении #470918 писал(а):

Для трёхмерного пространства с выколотой точкой это не так

Правильно, потому что не все сферы там в точку стягиваются.

мат-ламер в сообщении #470918 писал(а):

Даёт ли она (лемма Пуанкаре) необходимые и достаточные условия замкнутости формы - я сомневаюсь.

Что значит необходимые и достаточные условия змкутости формы? Форма либо замкнута либо нет! Замкнутость формы- это свойство формы. На $\mathbb{R}^3$ существует много не замкнутых 2 форм. Они заведомо не могут иметь векторный потенциал.

мат-ламер в сообщении #470918 писал(а):

Теперь вопрос - где можно прочитать о связи топологии и дифференциальных форм? На днях закачал книгу Боттса и Ву и не найду на компьютере.

Дубровин, Новиков, Фоменко, Современная Геометрия

[Munin]

мат-ламер в сообщении #470863 писал(а):

Возникло два вопроса. Первый. Допустим найдут магнитный монополь. У него что - магнитное поле потенциально?

Да.

мат-ламер в сообщении #470863 писал(а):

Придётся для него заново переформулировать уравнения Максвелла?

Нет.

spyphy в сообщении #470867 писал(а):

Придется переформулировать всю физику, мне кажется.

Нет.

spyphy в сообщении #470867 писал(а):

Вообще, в предположении верности СТО поиск магнитных зарядов кажется таким же полезным занятием как попытка пощупать источник кориолисовой силы.

Нет.

Вы, кажется, пропустили: я сказал, что с магнитными зарядами уравнения Максвелла чувствуют себя превосходно.

мат-ламер в сообщении #470863 писал(а):

Для магнитного поля справедливо $div B=0$. Откуда Матвеев далее делает вывод об отсутствии магнитных зарядов?

Из определения "магнитный заряд есть $\operatorname{div}\mathbf{B}$".

мат-ламер в сообщении #470880 писал(а):

2) Почему-то для книг, которые я бегло просмотрел с вышеприведённого сайта, считается что из $divB=0$ должно автоматом следовать наличие векторного потенциала. Это заблуждение или я чего-то недопонимаю?

Это физики не привыкли произносить "очевидные" условия. В данном случае - односвязность пространства, в котором выполняются уравнения Максвелла. С этим условием - всё сходится?

EvilPhysicist в сообщении #470889 писал(а):

Не прийдётся. По скольку его до сих пор не нашли, то уравнения Максвелла будут работать для подавляющего числа случаев. Они перейдут в то же положение, в котором сейчас классическая механика.

И этого не произойдёт. Просто в уравнения Максвелла добавятся магнитные источники точно так же, как в них включены электрические:
$\operatorname{div}\mathbf{B}=4\pi\rho_m$
$\operatorname{rot}\mathbf{E}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=-\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}_m$

EvilPhysicist в сообщении #470889 писал(а):

Врят ли тут можно сказать, что отсутствие магнитных зарядов именно эквивалентно наличию векторного потенциала. Эти вещи не свезаяны.

Свезаяны.

Bulinator в сообщении #470891 писал(а):

Вообще-то, если, например, из $\mathbb{R}^3$ выколоть точку и, тем самым сделать группу когомологий отличной от нуля, то появится магнитный заряд.

Вообще-то одной точкой не обойтись, надо выколоть прямую (для дираковского монополя - полупрямую).

profrotter в сообщении #470893 писал(а):

Так как $div \overrightarrow{B}=0$ и $div(rot\overrightarrow{A})=0$ (доказывается в теории поля), то вектор магнитной индукции можно представить в виде: $\overrightarrow{B}=rot \overrightarrow{A}$, а $\overrightarrow{A}$ называется векторным потенциалом.

Вообще-то нельзя, это необходимое условие, но не достаточное.

-- 24.07.2011 18:42:30 --

мат-ламер в сообщении #470907 писал(а):

Мало чего понял в ответах.

Да уж, ответы весьма сумбурны, и наполовину неверны :-)

мат-ламер в сообщении #470907 писал(а):

Возникает вопрос. А может ли существовать поле на пространстве с выколотой точкой, у которой существует векторный потенциал? Ответ, по-видимому, нет.

Очевидно, да. Берёте поле с векторным потенциалом на пространстве без выколотой точки, и выкалываете точку.

мат-ламер в сообщении #470907 писал(а):

В топологии я только начал разбираться, но лемма Пуанкаре тут не причём. ИМХО, тут надо применить теорию когомологий Де Рама, из которой следует, что всякая замкнутая 2-форма точна, если тривиальна группа двумерных когомологий пространства. (Простите, если что не так. Начал только разбираться).

Это об одном и том же разными словами.

Bulinator в сообщении #470911 писал(а):

Определение: $k$-ой группой когомологий назовем факторгруппу группы всех замкнутых $k$-форм по точным $k$-формам.

Увы, это не определение. А то, что настоящее определение эквивалентно этому, как раз и доказывается в теории де Рама. (Настоящее определение формулируется не в терминах форм, а как двойственное к гомологиям.)

мат-ламер в сообщении #470918 писал(а):

Теперь вопрос - где можно прочитать о связи топологии и дифференциальных форм?

Эта связь есть в точности теория де Рама.

[Bulinator]

Munin в сообщении #470924 писал(а):

И этого не произойдёт. Просто в уравнения Максвелла добавятся магнитные источники точно так же, как в них включены электрические:
$\operatorname{div}\mathbf{B}=\4\pi\rho_m$
$\operatorname{rot}\mathbf{E}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partlai t}=-\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}_m$

Да, и еще вменяемый Лагранжиан не строится!

-- Вс июл 24, 2011 16:49:00 --

Munin в сообщении #470924 писал(а):

Вообще-то одной точкой не обойтись, надо выколоть прямую (для дираковского монополя - полупрямую).

Munin, я вот уверен, что одной точки достаточно и, более того, могу это показать.

[Munin]

Bulinator в сообщении #470925 писал(а):

Да, и еще вменяемый Лагранжиан не строится!

Всё там строится...

-- 24.07.2011 18:57:03 --

Bulinator в сообщении #470925 писал(а):

Munin, я вот уверен, что одной точки достаточно и, более того, могу это показать.

Ну, с учётом того, что вы уверены, что в дираковском монополе выколота только точка, я не сомневаюсь, что вы "можете показать".

[Bulinator]

Munin в сообщении #470926 писал(а):

Всё там строится...

Лагранжиан в студию!

Munin в сообщении #470926 писал(а):

Ну, с учётом того, что вы уверены, что в дираковском монополе выколота только точка, я не сомневаюсь, что вы "можете показать".

Я могу просто сказать, что для существования замкнутых но не точных 2-форм достаточно из $\mathbb{R}^3$ выколоть всего одну точку.

-- Вс июл 24, 2011 17:07:41 --

Munin в сообщении #470924 писал(а):

Увы, это не определение. А то, что настоящее определение эквивалентно этому, как раз и доказывается в теории де Рама. (Настоящее определение формулируется не в терминах форм, а как двойственное к гомологиям.)

Тут спорить не буду. О когомологиях я читал в вышеупомянутой книжке ДНФ. Там они дают определение, которое я привел. А что было вначале- не знаю. Видимо, слово

[мат-ламер]

Спасибо Muninу за исчерпывающий ответ. Хочу добавить. Пример из Гелбаума-Олмстеда. Трёхмерное поле определяется так $F=(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}(xi+yj+zk)$, где $i,j,k$ - орты. Тривиально проверяется, что $divF=0$. У этого поля нет векторного потенциала. Можно ли считать, что такое поле определяется магнитным зарядом? Munin писал об односвязности. В данном случае (трёхмерное пространство без выколотой точки), любой замкнутый путь стгивается в точку. Другое дело в данном случае есть сферы, которые не стягиваются в точку. (В одном из постов употреблялся термин - объёмная односвязность. Можно сказать, что вторая гомотопическая группа тривиальна.) Теперь рассмотрим типичные случаи, встречающиеся в физике. Допустим магнитное поле определяется бесконечным линейным током. Односвязности тут нет. Допустим магнитное поле определяется током в замкнутом кольце. Тут и объёмной односвязности нет.

[Bulinator]

мат-ламер всообщении #470932 писал(а):

Можно ли считать, что такое поле определяется магнитным зарядом?

мат-ламер
Это и есть $\vec{B}$ дираковского монополя.

-- Вс июл 24, 2011 17:24:21 --

мат-ламер в сообщении #470932 писал(а):

Munin писал об односвязности.

Munin, ошибся в терминологии. Нужна не односвязность а тривиальность группы двумерных когомологий.

[мат-ламер]

Bulinator. Когда писал о лемме Пуанкаре допустил описку. Понятно, что если у области (в нашем случае рассматриваем 2- формы) вторая гомотопическая группа тривиальна, то из замкнутости формы следует её точность. Ну а допустим область - сфера с выколотой точкой. Что может сказать лемма Пуанкаре о точности ( а я написал ранее - замкнутости - это описка) замкнутой формы? И я высказал предположение, что ничего, и надо привлекать теорию де Рама. Вы мне прояснили насчёт монополя. Тут ещё есть терминологическая путаница. Я считал, что поле без заряда - это поле, у которого силовые линии - непересекающиеся замкнутые кривые. Munin говорит, что поле без зарядов - это поле с нулевой дивергенцией. В его терминологии монополь Дирака не магнитный заряд.

[Munin]

Bulinator в сообщении #470927 писал(а):

Лагранжиан в студию!

Не помню наизусть. Суть в том, что даже обычный электромагнитный лагранжиан можно записать не через $A_\mu,$ а через $F_{\mu\nu}.$

мат-ламер в сообщении #470932 писал(а):

Munin писал об односвязности.

Возможно, я сгорбил, и нужна 2-связность.

мат-ламер в сообщении #470932 писал(а):

Теперь рассмотрим типичные случаи, встречающиеся в физике. Допустим магнитное поле определяется бесконечным линейным током. Односвязности тут нет. Допустим магнитное поле определяется током в замкнутом кольце. Тут и объёмной односвязности нет.

Всё дело в том, что эти примеры встречаются не в физике, а в математике. А в физике считается, что такие примеры - это абстракции от некоторой более реальной картины, в которой нет выколотых точек.

мат-ламер в сообщении #470943 писал(а):

Я считал, что поле без заряда - это поле, у которого силовые линии - непересекающиеся замкнутые кривые.

Кроме варианта "замкнутые", в физике бывают ещё варианты "уходящие на бесконечность" и "непериодически наматывающиеся в ограниченной области". Все вместе они, вроде бы, и соответствуют нулевой дивергенции. Вот условий гладкости и тем более связности не помню, извините.

мат-ламер в сообщении #470943 писал(а):

В его терминологии монополь Дирака не магнитный заряд.

Нет, почему. Магнитный заряд, с дивергенцией дельта-функцией :-) Не просите меня формализовать это :-)

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #470943 писал(а):

Ну а допустим область - сфера с выколотой точкой. Что может сказать лемма Пуанкаре о точности ( а я написал ранее - замкнутости - это описка) замкнутой формы?

Так, мат-ламер, еще раз, лемма Пуанкаре утвержает что

Bulinator в сообщении #470923 писал(а):

Лемма(Пуанкаре): Всякая замкнутая форма локально точна.
На формулах это выражается так. Пусть имеется замкнутая $k$-форма $A^{(k)}$: $dA^{(k)}=0$. Утверждается, что на любой заведомо выбранной (одной!) карте ее можно представить в виде $A^{(k)}=dA^{(k-1)}$.

Про все пространство она знать не знает. В частности, вот эта $A^{(k-1)}$ где-то вне выбранной нами карте может просто не существовать. Определена ли такая форма для любой заданной замкнутой формы на всем пространстве, об этом лемма Пуанкаре не знает. Это уже зависит от глобальных свойст пространства. Понятно?

мат-ламер в сообщении #470943 писал(а):

Я считал, что поле без заряда - это поле, у которого силовые линии - непересекающиеся замкнутые кривые. Munin говорит, что поле без зарядов - это поле с нулевой дивергенцией. В его терминологии монополь Дирака не магнитный заряд.

Ну это легко понять вспомнив про теорему Гаусса-Острограцого. Если $\operatorname{div}\vec{B}=0$, то поток вектора $\vec{B}$ через любую замкнутую поверхность равен нулю, а значит в область ограниченную этой поверхностью сколько потока входит, столько и выходит- силовые линии замкнутые непересекающиеся кривые. Впрочем, тут проблема в том, что эти понятия эквивалентны только в $\mathbb{R}^3$. Понятно, что в общем случае (строго!) определение отсутствия магнитного заряда должно быть дано с помощью потока. Но в физике, как указал Munin, обычно пишут дельта-функцию и не парятся.

Munin в сообщении #470947 писал(а):

Не помню наизусть. Суть в том, что даже обычный электромагнитный лагранжиан можно записать не через $A_\mu,$ а через $F_{\mu\nu}.$

Munin, в таких случаях в Армении говорят(в дословном переводе), что вы занимаетесь канатоходством/клоунадой во дворе у сатаны, т.е. пытаетесь спорить/соревноваться с кем-то о чем-то, на чем он собаку съел.
Ну нету такого Лагранжиана. Нету!

Munin в сообщении #470947 писал(а):

Возможно, я сгорбил, и нужна 2-связность.

Ась?

[Munin]

Bulinator в сообщении #470961 писал(а):

Munin, в таких случаях в Армении говорят(в дословном переводе), что вы занимаетесь канатоходством/клоунадой во дворе у сатаны, т.е. пытаетесь спорить/соревноваться с кем-то о чем-то, на чем он собаку съел.Ну нету такого Лагранжиана. Нету!

Я верю, что вы из каких-то соображений считаете, что нету. Возможно, даже где-то вычитали. Проблема только в том, что я вычитывал обратное, и там всё было написано весьма убедительно :-) И стройте из себя сатану сколько угодно :-р