Равенство множеств

[arseniiv]

Ну, это у меня какое-то философическое объяснение, так никто и не сказал, что о нём думает.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

Во-первых, не у меня, а у Френкеля.

В смысле в ваших сообщениях. И вообще это оффтоп.

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

«в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество с именем $D$ имеет имя $F$». Смысл остался, а абсурд исчез.

Это уже совсем другая ситуация. Здесь мы имеем дело с двумя различными объектами (именами), а раньше имели дело с равными.

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

Теперь моя очередь пользоваться Википедией.

Я не пользовался, просто как-то читал вышеупомянутую книгу и вспомнил. И, опять же, это оффтоп.

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

Я говорю о различных именах одного и того же множества, а Вы об одном имени двух множеств.

Ничего подобного я не говорил. Я имел ввиду, что константы F и D равны (сокр. "означают одно и то же"), но не тождественны. Константы две, объект один. Я только ляпнул глупость обозвав F и D переменными. Константа - это собственное имя, имеющее денотат (единственный).

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

Дело в том, что если заменить $x=x’$ на эквивалентность, то наверняка можно найти такой предикат, что $P(x)$ истинно, а $P(x’)$ -- ложно.

Ну может и можно, и что? Можно много чего.

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

arseniiv в сообщении #368111 писал(а):

Равенство — это такая эквивалентность, точнее которой нам сейчас ничего не нужно.

Отношение равенства на классе - это минимальное (содержащееся в любом другом) отношение эквивалентности на этом классе. В чем, собственно, проблема?

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #434622 писал(а):

arseniiv в сообщении #368111 писал(а):

Равенство — это такая эквивалентность, точнее которой нам сейчас ничего не нужно.

Отношение равенства на классе - это минимальное (содержащееся в любом другом) отношение эквивалентности на этом классе. В чем, собственно, проблема?

Свойство равенства быть самой «эквивалентной» эквивалентностью очевидно. А проблема вот в чем: Эквивалентность – это разбиение. А эквивалентность, содержащаяся в любой другой эквивалентности, - это разбиение каждый класс, которого содержит один и только один элемент. Так что и чему равно?

cognize в сообщении #434622 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

Дело в том, что если заменить $x=x’$ на эквивалентность, то наверняка можно найти такой предикат, что $P(x)$ истинно, а $P(x’)$ -- ложно.

Ну может и можно, и что? Можно много чего.

Дело, конечно, в контексте. Это свойство идет четвертым после рефлексивности, симметричности и транзитивности. И оно-то и «делает» из эквивалентности равенство.

cognize в сообщении #434622 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

Теперь моя очередь пользоваться Википедией.

Я не пользовался, просто как-то читал вышеупомянутую книгу и вспомнил. И, опять же, это оффтоп.

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

Я говорю о различных именах одного и того же множества, а Вы об одном имени двух множеств.

Ничего подобного я не говорил. Я имел ввиду, что константы F и D равны (сокр. "означают одно и то же"), но не тождественны. Константы две, объект один. Я только ляпнул глупость обозвав F и D переменными. Константа - это собственное имя, имеющее денотат (единственный).

Я не знал слова «денотат» . Полез в Вики и вот результат: «Денотат имени — множество явлений действительности (вещей, действий, отношений, свойств, ситуаций, состояний, процессов и т. п.), которые этим именем могут именоваться.» Итак, денотат имени – множество объектов. Мы же обсуждаем один объект с различными именами.

cognize в сообщении #434622 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

Во-первых, не у меня, а у Френкеля.

В смысле в ваших сообщениях. И вообще это оффтоп.

Это по Аристотелю называется взывать к авторитету. Френкель сказал. Но в том то и дело, что пример Френкеля в книге "Set Theory and Logic"

Цитата:

множество $F=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$ и множество $D$ всех степеней алгебраических уравнений разрешимых в радикалах. Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity).

нужен был Френкелю для того, чтобы обосновать наличие двух множеств. Если же мы согласимся, что речь идет о двух именах одного и того же множества, то спор исчерпан.

cognize в сообщении #434622 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434430 писал(а):

«в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество с именем $D$ имеет имя $F$». Смысл остался, а абсурд исчез.

Это уже совсем другая ситуация. Здесь мы имеем дело с двумя различными объектами (именами), а раньше имели дело с равными.

Нет. Позвольте Вам не позволить. Проблема была: есть два множества (естественно с различными именами) или одно множество с как минимум двумя именами.

[arseniiv]

cognize, четвёртое свойство необходимо, просто у нас есть равенство из метатеории и равенство из, например, исчисления предикатов с равенством. Увы, как-то они одним символом заобозначались, хотя можно было бы и разными. Свойства первого равенства, конечно, очевидны, а вот второго идут только из аксиом, и было бы понятнее, зачем нужна четвёртая, если бы в не-мета-теории на некоторое время $a = b$ заменить на $E(a, b)$.

Почему-то мне кажется, что проблема со знанием о множествах — из метатеории. Может быть, и есть смысл сделать соответствующее исчисление, какое-нибудь «исчисление со знанием», правда, не знаю, как конкретно. Там придётся использовать денотаты (слово понравилось) в явном виде, наверно. Чтобы они были, например, из множества $\mathcal D$, а имена переменных все из множества $\mathcal V$ (точнее, это множество должно содержать любые выражения). Ещё пусть существует специальный пустой денотат $\emptyset$ — неопределённые (о которых мы энаем, что они не могут быть определёнными, как, например, $1/0$) переменные имеют значением его. Будем использовать метатеоретическое равенство в виде $\equiv$.

Можно попробовать. Допустим, предикат знания значения обозначается $\mathcal K(v, d)$ (knowing):

I. $\forall v \in \mathcal V \quad \forall a, b \in \mathcal D \quad \mathcal K(v, a) \equiv \mathcal K(v, b) \Leftrightarrow a \equiv b$. (Единственность значения, если мы его знаем.)
II. $\forall u, w \in \mathcal V \quad u = w \Leftrightarrow \exists a, b \in \mathcal D \quad \mathcal K(u, a) \wedge \mathcal K(w, b) \wedge a \equiv b \wedge a \not\equiv \emptyset \wedge b \not\equiv \emptyset$. (Определение равных переменных.)
III. $\forall u, w \in \mathcal V \quad u \ne w \Leftrightarrow \exists a, b \in \mathcal D \quad \mathcal K(u, a) \wedge \mathcal K(w, b) \wedge a \not\equiv b \wedge a \not\equiv \emptyset \wedge b \not\equiv \emptyset$. (Определение неравных переменных.)

Это как-то на глупость смахивает. Но вроде бы должно разрешать ту штуку с $D$ и $F$.

-- Чт апр 14, 2011 21:42:55 --

Из одного только $\mathcal K(F,\, \{1,\, 2,\, 3,\, 4\})$ не выводится $F = D$, нужно ещё $\mathcal K(D,\, \{1,\, 2,\, 3,\, 4\})$. Из обеих гипотез или только из первой не выводится $F \ne D$.

-- Чт апр 14, 2011 22:04:50 --

Вообще везде, где я называю элементы $\mathcal V$ переменными, следует понимать не «переменные», а «строки теории».

-- Чт апр 14, 2011 22:05:24 --

Мне кажется, что всё, что я тут написал, уже давно есть, просто называется иначе.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

Так что и чему равно?

Имена. Друг другу. Чтобы было понятнее, лучше говорить не "равны", а "равносильны", ведь на самом деле они могут быть не равны (как слова, например), но равносильны (имеют один и то же денотат). Имена $2-2$ и $0$ равносильны, но не равны как слова.

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

Дело, конечно, в контексте. Это свойство идет четвертым после рефлексивности, симметричности и транзитивности. И оно-то и «делает» из эквивалентности равенство.

А чем не подходит такое свойство: если $x=y$, то $x \sim y$ для любого отношения эквивалентности $\sim$?

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

Я не знал слова «денотат» . Полез в Вики и вот результат: «Денотат имени — множество явлений действительности (вещей, действий, отношений, свойств, ситуаций, состояний, процессов и т. п.), которые этим именем могут именоваться.» Итак, денотат имени – множество объектов. Мы же обсуждаем один объект с различными именами.

Я же давал ссылку.

Цитата:

Отношение между собственным именем и тем, что оно обозначает, будет называться отношением называния, а вещь, обозначаемая этим именем, будет называться денотатом, или предметом имени. Так, например, мы будем говорить, что собственное имя "Рембрандт" обозначает, или называет, голландского художника Рембрандта, а сам он будет называться денотатом имени "Рембрандт". Аналогично имя "автор Вэверлея" обозначает, или называет, шотландского автора, а он есть денотат как этого имени, так и имени "сэр Вальтер Скотт".

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

пример Френкеля в книге "Set Theory and Logic" [...] нужен был Френкелю для того, чтобы обосновать наличие двух множеств.

Множество там одно. "Два" уже подразумевает какое-то различие. Абсурд возникает из-за того, что его утверждение не является предикатом, который должен являться функцией.

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

Проблема была: есть два множества (естественно с различными именами) или одно множество с как минимум двумя именами.

Одно с потенциально бесконечным числом имен: сколько дадим -- столько и будет, не будет хватать -- добавим.

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

Если же мы согласимся, что речь идет о двух именах одного и того же множества, то спор исчерпан.

Я согласен, по-другому и быть не может.

-- Пт апр 15, 2011 05:14:34 --

arseniiv
Просто не надо совать "знать" в математику и не будет проблем. Мы же не пытаемся, например, "ублажить" предикат $P(x):=\neg x(x)$, мы его просто "выкинули".

[cognize]

cognize в сообщении #434987 писал(а):

если $x=y$, то $x \sim y$ для любого отношения эквивалентности $\sim$

Ошибся. Наоборот, если $x \sim y$ для любого отношения эквивалентности $\sim$, то $x=y$.
Из этого свойства следуют все остальные свойства равенства.

[Виктор Викторов]

cognize в сообщении #434987 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

Если же мы согласимся, что речь идет о двух именах одного и того же множества, то спор исчерпан.

Я согласен, по-другому и быть не может.

cognize! Что это Вы у меня хлеб начали отбивать?

cognize в сообщении #434987 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

Так что и чему равно?

Имена. Друг другу. Чтобы было понятнее, лучше говорить не "равны", а "равносильны", ведь на самом деле они могут быть не равны (как слова, например), но равносильны (имеют один и то же денотат). Имена $2-2$ и $0$ равносильны, но не равны как слова.

Наконец-то пример $2-2=0{.}$ Да, именно так: два имени одного и того же объекта. Но Френкель с этим не совсем согласен. Я и пытаюсь понять где собака зарыта.

cognize в сообщении #434990 писал(а):

... если $x \sim y$ для любого отношения эквивалентности $\sim$, то $x=y$. Из этого свойства следуют все остальные свойства равенства.

Я не берусь минимизировать четыре вышеприведенных свойства. Знаю только, что попытки создать минимальную систему аксиом для равенства были. Я даже, что такое помню из популярной, но весьма полезной, книги Шихановича.

[cognize]

Френкель не хотел так просто включать "четвертое свойство", потому что якобы нашел "жизненный" пример предиката P для которого существуют такие x и y, что x=y и P(x) верно, а P(y) ложно. И отсюда, якобы, следует, что равенство надо понимать немного "шире", тем самым мы "подстроимся" под этот предикат, сделав ему "хорошо", а равенству "плохо" -- различить равенство в теории множеств от равенства "в логике". Я же предлагаю (и соавтор второго издания) сделать наоборот: предикату "плохо" (выкинуть его к чертям), а равенству "хорошо", чтобы теоретико множественное равенство и равенство "из логики" совпадали. А угодить и тому и другому сразу, чтобы и предикат этот оставить и равенства были "равны" -- невозможно.

И по-моему то, что я предлагаю -- "правильней" и "логичней", потому что все равно в математике подобные предикаты не встречаются, следовательно, "угождать" этому предикату нет никакой практической пользы. А Френкель, скорей всего, просто был повернут на теории множеств и считал ее "главней" всего, лежащей в самой основе математики, первичней всего остального, следовательно, он считал, что пускай логика "подстраивается" к теории множеств, а не наоборот. Он понимал, что равенства, определяемого в теории множеств, "мало" для того чтобы оно было равенством как в логике. Вот он и "наплевал" на логику, не став "исправлять" ("подстраивать") равенство в теории множеств под равенство в логике. Фанатизм его довел до "безумства".

[cognize]

Итак. Это
$A = B\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall x\colon\ (x\in A)\ \Leftrightarrow\ (x\in B)$
и это
$x = y\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall P\colon\ P(x)\ \Leftrightarrow\ P(y)$
разные подходы. Предикаты "круче" множеств, потому что не каждый предикат можно задать множеством, но каждое множество можно задать предикатом. Какое определение из этих двух "правильнее" -- вопрос "религиозный".

[arseniiv]

cognize в сообщении #434987 писал(а):

Просто не надо совать "знать" в математику и не будет проблем. Мы же не пытаемся, например, "ублажить" предикат $P(x):=\neg x(x)$, мы его просто "выкинули".

Так я его в математику и не сую, я формализовал метатеорию вокруг этого предиката.

cognize в сообщении #434987 писал(а):

А чем не подходит такое свойство: если $x=y$, то $x \sim y$ для любого отношения эквивалентности $\sim$?

Это нехорошо. Нам придётся разбираться с множеством всех отношений эквивалентности на данном множестве, это куда неудобнее и непрозрачнее.

cognize в сообщении #435004 писал(а):

Это
$A = B\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall x\colon\ (x\in A)\ \Leftrightarrow\ (x\in B)$
и это
$x = y\ \ \Leftrightarrow\ \ \forall P\colon\ P(x)\ \Leftrightarrow\ P(y)$

В логике первого порядка первое можно задать одной аксиомой, тогда как второе придётся задавать схемой, порождающей бесконечное количество аксиом.

[cognize]

arseniiv в сообщении #435059 писал(а):

Так я его в математику и не сую, я формализовал метатеорию вокруг этого предиката.

Зачем? Какая в этом практическая польза?

arseniiv в сообщении #435059 писал(а):

Это нехорошо. Нам придётся разбираться с множеством всех отношений эквивалентности на данном множестве, это куда неудобнее и непрозрачнее.

Это смотря как посмотреть. А "там" придется разбираться со всеми предикатами или множествами.

arseniiv в сообщении #435059 писал(а):

В логике первого порядка первое можно задать одной аксиомой, тогда как второе придётся задавать схемой, порождающей бесконечное количество аксиом.

И что?

[arseniiv]

cognize в сообщении #435067 писал(а):

Зачем? Какая в этом практическая польза?

Если Виктору Викторову это тоже не пригодится — что ж, я зря потратил те десять минут.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

cognize в сообщении #435067 писал(а):

arseniiv в сообщении #435059 писал(а):

Так я его в математику и не сую, я формализовал метатеорию вокруг этого предиката.

Зачем? Какая в этом практическая польза?

arseniiv в сообщении #435100 писал(а):

Если Виктору Викторову это тоже не пригодится — что ж, я зря потратил те десять минут.

Ещё как пригодится!

[almost]

cognize в сообщении #432721 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #432720 писал(а):

Именно разница. "Вася знает, что я в Барселоне" предложение о Васе (знает, не знает), а где я совершенно другой вопрос.

Ну... это, вообще говоря, не важно. Важно лишь то, что он действительно это знает, даже если то, что он знает не правда. Дело же совсем не в этом.
Рассмотрим такой пример. P(x)="Вася знает, что x в Барселоне". Допустим Вася знает Вас, но не знает, как Вас зовут. P("я") - истинно (под "я" подразумеваетесь Вы), но Вы на самом деле может и не в Барселоне. Просто Васе кто-то это сказал и теперь он знает, но не факт, что правду. Так же, пусть P(Виктор Викторов) - ложь. Он теперь не знает, но, опять же, нам не важна правдивость или ложность того, что он не знает. Итак, мы получили, что если Виктор Викторов и "я" - одно и то же, то P("я") одновременно истинно и ложно. Значит, Виктор Викторов и "я" не одно и то же, что противоречит условию задачи. Теперь понятно?
Можно же взять и другой пример чтобы Вам понятней было: $P(x):=$"в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $x$ равно множеству $F$".
Получаем, что P(E) - ложь, а P(D) - истина, но т.к. E=D, то получаем, что P(E) и верно и не верно одновременно. Вывод: выкинуть такой предикат из теории, иначе она будет противоречивой. Вот и все. И определение равенства множеств тут абсолютно не причем.

Предикат тут в роли невинно осужденного, он совершенно не причем.
Чем Вам не понравился предикат "знает", а как насчет предиката "доказывает", "бреет", "лжет" и вообще, как Вы к глаголам относитесь ?

cognize в сообщении #434987 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434763 писал(а):

arseniiv в сообщении #368111 писал(а):

Равенство — это такая эквивалентность, точнее которой нам сейчас ничего не нужно. Отношение равенства на классе - это минимальное (содержащееся в любом другом) отношение эквивалентности на этом классе. В чем, собственно, проблема?

Свойство равенства быть самой «эквивалентной» эквивалентностью очевидно. А проблема вот в чем: Эквивалентность – это разбиение. А эквивалентность, содержащаяся в любой другой эквивалентности, - это разбиение каждый класс, которого содержит один и только один элемент. Так что и чему равно? Так что и чему равно?

Имена. Друг другу. Чтобы было понятнее, лучше говорить не "равны", а "равносильны", ведь на самом деле они могут быть не равны (как слова, например), но равносильны (имеют один и то же денотат). Имена $2-2$ и $0$ равносильны, но не равны как слова.
Отношение равенства на классе - это минимальное (содержащееся в любом другом) отношение эквивалентности на этом классе. В чем, собственно, проблема?

cognize в сообщении #434990 писал(а):

Ошибся. Наоборот, если $x \sim y$ для любого отношения эквивалентности $\sim$, то $x=y$.
Из этого свойства следуют все остальные свойства равенства.

О чем Вы говорите ?
При таком определении равенство невозможно.
Ну, задайте Вы отношение эквивалентности "не быть равными".
Так о каком "любом" отношении эквивалентности может идти речь ?

[arseniiv]

(Оффтоп)

almost в сообщении #435247 писал(а):

Предикат тут в роли невинно осужденного, он совершенно не причем.

Такой предикат допустим в метатеории, но не в теории, потому что это предикат от элемента $\mathcal V$, в то время как в не-мета-теории предикатов от таких объектов (имён) быть не может.