Равенство множеств

[Виктор Викторов]

Я Вам долго и нудно объясняю, что Ваш предикат не дает возможности судить о том где находится $x$. $P(x)=$"Вася знает, что $x$ в Барселоне". Речь идет о Васе. Если высказывание ложно, то Вася не знает. А $L(x)=$”$x$ в Барселоне" предикат об $x$. По поводу каждого человека можно проверить, «подставив» этого человека вместо переменной. А $P(x)$ не дает нам информацию где искать $x$. Следовательно и любые выводы отсюда об $x$ слегка хромают.

[cognize]

(Оффтоп)

Я удалил это сообщение

[Виктор Викторов]

Я исправил этот комментарий. Мы не можем судить по фразе "Вася знает, что Миша в Барселоне" об истинности высказывания "Миша в Барселоне".

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #432729 писал(а):

Я Вам долго и нудно объясняю, что Ваш предикат не дает возможности судить о том где находится $x$.

А этого и не требуется и я этого и не делаю. Пусть Миша и Коля - один человек, просто, например, в маске он называет себя Колей, а без - Мишей. Я говорю лишь то, что если P(Миша) истинно и P(Коля) ложно (вы не исключаете такую ситуацию?), то Миша и Коля разные личности.

[Виктор Викторов]

I am out. Это скучно. Есть же начальные условия. Рефлексивность нарушена.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #432733 писал(а):

Рефлексивность нарушена.

Где чего нарушено???

-- Сб апр 09, 2011 05:34:11 --

Вот какой я могу подвести итог. Вы говорили, что подставив в высказывание "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество D равно множеству E" (которое истинно) E вместо D, то получим абсурд. Я Вам говорю, что проблема в самом предикате, а не в определении равенства множеств. Почему? Потому что точно такую же ситуацию мы можем получить и не для множеств (например, "я не знаю, кто этот человек в маске"). А из этого следует, что проблема не зависит от определения равенства множеств.

[Droog_Andrey]

Виктор Викторов в сообщении #432731 писал(а):

Мы не можем судить по фразе "Вася знает, что Миша в Барселоне" об истинности высказывания "Миша в Барселоне".

Это некорректное утверждение. Если Вы замените слово "знает" на слово "считает", то всё будет ОК. Но вообще понятие знания предполагает некоторую информацию о действительности, поэтому "знать неправду" - это как-то мимо кассы.

[cognize]

Не имеет значения, что он знает: правду или нет.

[Droog_Andrey]

Именно по этому с точки зрения русского языка правильнее употребить слово "считает". Например: "Вася считает, что Миша в Барселоне".

[Утундрий]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #432845 писал(а):

правильнее употребить слово "считает".

или, скажем, "имеет веские основания полагать"...

[Виктор Викторов]

Droog_Andrey в сообщении #432740 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #432731 писал(а):

Мы не можем судить по фразе "Вася знает, что Миша в Барселоне" об истинности высказывания "Миша в Барселоне".

Это некорректное утверждение. Если Вы замените слово "знает" на слово "считает", то всё будет ОК. Но вообще понятие знания предполагает некоторую информацию о действительности, поэтому "знать неправду" - это как-то мимо кассы.

Есть даже такое понятие «ложное знание» и уж бытовое использование фразы: «А он знает, что ...?» врядли можно оспорить. С другой стороны, очевидно, что нельзя на основании высказывания "Вася знает, что Миша в Барселоне" считать высказывание "Миша в Барселоне" истинным.

cognize в сообщении #432732 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #432729 писал(а):

Я Вам долго и нудно объясняю, что Ваш предикат не дает возможности судить о том где находится $x$.

А этого и не требуется и я этого и не делаю. Пусть Миша и Коля - один человек, просто, например, в маске он называет себя Колей, а без - Мишей. Я говорю лишь то, что если P(Миша) истинно и P(Коля) ложно (вы не исключаете такую ситуацию?), то Миша и Коля разные личности.

Это не ко мне – это к брадобрею. (Брить тех и только тех солдат, которые не бреются сами). У меня множество разбито на попарно непересекающиеся непустые множества и никакой Коля не может быть без маски Мишей.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Чтобы быть равными, множества должны содержать одни и те же элементы. Но сколько у нас в этом случае множеств два или одно? Френкель знал, что рано или поздно этот вопрос будет задан. Он рассмотрел в книге "Set Theory and Logic" множество $F=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$ и множество $D$ всех степеней алгебраических уравнений разрешимых в радикалах. Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity). Или, может быть, различные имена одного и того же множества?

cognize в сообщении #432734 писал(а):

Вот какой я могу подвести итог. Вы говорили, что подставив в высказывание "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество D равно множеству F" (которое истинно) F вместо D, то получим абсурд. Я Вам говорю, что проблема в самом предикате, а не в определении равенства множеств. Почему? Потому что точно такую же ситуацию мы можем получить и не для множеств (например, "я не знаю, кто этот человек в маске"). А из этого следует, что проблема не зависит от определения равенства множеств.

cognize! Я исправил в Вашей цитате “E” на “F”. Теперь по сути. В восемнадцатом веке было известно, что существуют степени алгебраических уравнений разрешимых в радикалах. Отсчет велся от первой степени (уравнение первой степени разрешимо в радикалах). А какие были варианты? С моей точки зрения вариант был один: было известно, что существует подмножество натурального ряда такое, что каждый элемент этого подмножества степень алгебраического уравнения разрешимого в радикалах. Назовем это подмножество именем $D$. Но это только одно из его имен. В последствии выяснилось, что это подмножество имеет и другое имя $\left\{1, 2, 3, 4\right\}{.}$ Т. е. проблема крутится вокруг того, что же все-таки равенство такое? Нужно заметить, что равенство чисто математическое понятие в окружающем нас мире никакого равенства нет. В окружающем нас мире есть эквивалентность или ... один и тот же предмет. Например, верните мне ту книгу, которую я Вам дал. Имеется в виду, что эквивалент (с той или иной мерой точности книга того же автора того же названия или даже другой экземпляр того же тиража) меня не устроит. Если бы речь шла просто о словоупотреблении, то проблем бы не было (хотите говорить «два равных множества» вместо «одно и то же множество» беда не большая, говорим же мы «свобода выбора» и «аксиома выбора»), но мы говорим о сути -- два равных или одно, но с многими именами. Во втором издании книги "Основания теории множеств", вышедшем в 1973 году, уже после смерти Френкеля, появился ещё один автор Азриэль Леви, и именно он переписал параграф о равенстве (страница 22 второго издания). В основу было положено функциональное исчисление первого порядка с равенством. Но в исчислении первого порядка с равенством речь как раз и идет о именах. Там (страница 25) кроме трех свойств как эквивалентности, так и равенства (рефлексивность, симметричность и транзитивность) добавлено ещё одно специально для равенства: подстановка. “For every statement $P(x){,}$ if $P(x)$ holds and $x=x^’$ then $P(x^’)$ also holds.” Перевод: «Для каждого предложения $P(x){,}$ если выполняется $P(x)$ и $x=x^’$, то $P(x^’)$ также выполняется для $P(x^’){.}$» Тут уже деваться некуда. Действительно, если бы $x$ и $x^’$ были различны, то нашелся бы различающий их предикат.

[cognize]

Виктор Викторов в сообщении #434127 писал(а):

У меня множество разбито на попарно непересекающиеся непустые множества

Какое множество?

Виктор Викторов в сообщении #434127 писал(а):

никакой Коля не может быть без маски Мишей.

У Вас F и D - разные имена одного и того же, так же, как у меня Коля и Миша - разные имена одного человека. Что тут непонятного?

Виктор Викторов в сообщении #434172 писал(а):

Т. е. проблема крутится вокруг того, что же все-таки равенство такое?

Подождите, у Вас в рассуждениях пока никакой проблемы не возникло. А вот, когда Вы начнете использовать утверждения, содержащие "знали", "неизвестно" и т.п., то можно получить абсурд.

Виктор Викторов в сообщении #434172 писал(а):

мы говорим о сути -- два равных или одно, но с многими именами.

"Два равных объекта F и D" - это лишь сокращенная запись "две переменные F и D, у которых один денотат". Объект (денотат) один, никак не два. Кстати, у Чёрча в книге "Введение в математическую логику" во введении раскрывается эта тема, про имена и прочее.

Виктор Викторов в сообщении #434172 писал(а):

“For every statement $P(x){,}$ if $P(x)$ holds and $x=x^’$ then $P(x^’)$ also holds.”

Смешно, потому что по другому и быть не может. Допустим, что есть такой предикат P, что если P(x) и x=y, то не P(y). Тогда P не является функцией, а предикат - это функция.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Штрих и так хорошо смотрится: $a'$ (точнее, даже намного лучше, чем $a^'$). Тогда и скобки назад опустятся.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #434285 писал(а):

Штрих и так хорошо смотрится: $a'$ (точнее, даже намного лучше, чем $a^'$). Тогда и скобки назад опустятся.

Слегка зарапортовался. Исправлюсь.

cognize в сообщении #434257 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434127 писал(а):

никакой Коля не может быть без маски Мишей.

У Вас F и D - разные имена одного и того же, так же, как у меня Коля и Миша - разные имена одного человека. Что тут непонятного?

Всё непонятно. Во-первых, не у меня, а у Френкеля. Во-вторых, давайте пойдем немного дальше и модифицируем фразу: «в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$» так «в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество с именем $D$ имеет имя $F$». Смысл остался, а абсурд исчез. Вы же с Колей и Мишей разыгрываете историю брадобрея: они у Вас входят в непересекающиеся множества, а множества пересекаются. Проблема брадобрея в «тех и только тех», которые не бреются сами. Т. е. множество солдат разбито на два непересекающихся множества. Но разбить-то так нельзя на непересекающиеся множества. В приведенном выше примере Френкеля этой проблемы нет, а в Вашем примере с Колей и Мишей ровно тот же парадокс.

cognize в сообщении #434257 писал(а):

"Два равных объекта F и D" - это лишь сокращенная запись "две переменные F и D, у которых один денотат".

Теперь моя очередь пользоваться Википедией. Я говорю о различных именах одного и того же множества, а Вы об одном имени двух множеств. Чувствуете разницу?

cognize в сообщении #434257 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #434172 писал(а):

“For every statement $P(x){,}$ if $P(x)$ holds and $x=x’$ then $P(x’)$ also holds.”

Смешно, потому что по другому и быть не может. Допустим, что есть такой предикат P, что если P(x) и x=y, то не P(y). Тогда P не является функцией, а предикат - это функция.

Ничего смешного не вижу. Дело в том, что если заменить $x=x’$ на эквивалентность, то наверняка можно найти такой предикат, что $P(x)$ истинно, а $P(x’)$ -- ложно. Есть ещё и такая точка зрения:

arseniiv в сообщении #368111 писал(а):

Равенство — это такая эквивалентность, точнее которой нам сейчас ничего не нужно. Такая самая конкретная из эквивалентностей (а по самой общей эквивалентности все вещи эквивалентны ). То есть, например, у нас есть множество $A$. Тогда рассмотрим множество $A' = A \times B$. Можно определить на нём эквивалентными те пары, у которых первые элементы равны. Получим отображение равенства в $A$ в эквивалентность в $A'$. А в этом множестве уже есть более "точная" эквивалентность — равенство не первых элементов пар, а пар. Таким образом, мы всегда можем, увеличивая число свойств у рассматриваемых объектов, уточнять равенство, и то, что было равно раньше, станет не равно потом. Просто некоторые уточнения не нужны и не имеют никакого смысла, вот мы и останавливаемся на какой-то хорошей эквивалентности, называя её равенством и добавляя аксиому неотличимости элементов, эквивалентнх по равенству. И тогда мы называем их равными.