Что Вас потрясло в математике?

[EEater]

Осмелюсь вставить свое: в 60 лет решил начать изучать функциональный анализ (с основами теории множеств). Я и не подозревал, как это великолепно! Оказывается, я по-настоящему не понимал вузовскую математику, и убедился, что многие не понимают. Допекал окружающих решенными задачами из Антоневича, казалось, что все должны разделить восхищение: как это красиво.

[Un1verse]

Комплексные числа.

[Xaositect]

Алгоритм Карацубы. Собственно, это удивление/восхищение во многом определило мою дальнейшую научную дятельность после первого курса.

[mihailm]

Чуваки, обнаруженные на мехмате, которые в сто раз лучше меня шарили в математике,
типа Лени Посицельского, до этого я про себя в математике еще что то хорошее думал ...

[zkutch]

Профессор Снэйп в сообщении #427902 писал(а):

Вы насколько профессионально интересуетесь теорией вычислимости?

очень красиво. Всю жизнь, как к красивой девушке, не могу подойти ...

по теме - антиномии нервируют. Который раз из-за них первый том Бурбаков перечитываю...

[Профессор Снэйп]

Вот, кстати, ещё такой загадочный феномен, как неполнота.

К примеру, исчисление предикатов второго порядка не полно. И, в-принципе, не пополняемо разумным способом. Другими словами, как бы мы не выёживались, в математике всегда будет оставаться не познанная, и даже хуже, непознаваемая истина.

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #428156 писал(а):

Вот, кстати, ещё такой загадочный феномен, как неполнота.

К примеру, исчисление предикатов второго порядка не полно. И, в-принципе, не пополняемо разумным способом. Другими словами, как бы мы не выёживались, в математике всегда будет оставаться не познанная, и даже хуже, непознаваемая истина.

Да, еще есть такая интересная вещь, что арифметика действительных чисел полна и разрешима, а натуральных(целых, рациональных) - нет.

[Crutoy Pazan]

был поражен красотой комплексных чисел!-так естественно и прекрасно, почему их раньше не изучили?
также приятно удивила теория операторов и теория групп(какой простор для разнообразных конструкций!)
Дифференциальное и интегральное исчисление(с ТФКП-вещь!)
Не особа порадовала ТЧ и теория множеств(но все-таки с мог с ней примириться!)
алгоритмы и теория вычислимости пришлись не по нраву-плохой из меня дискретик

[serval]

Я совсем не математик, но сейчас читаю вот это http://biblio.mccme.ru/node/1931 и оно кажется мне очень красивым.

[Dialectic]

Профессор Снэйп в сообщении #428156 писал(а):

Вот, кстати, ещё такой загадочный феномен, как неполнота.

К примеру, исчисление предикатов второго порядка не полно. И, в-принципе, не пополняемо разумным способом. Другими словами, как бы мы не выёживались, в математике всегда будет оставаться не познанная, и даже хуже, непознаваемая истина.

Как говорил А.Б. Сосинский на этот счет "на этой оптимистической ноте я и заканчиваю свое повествование, поскольку этот факт оправдывает отчасти наше с вами существование".

Меня потрясло в математике больше всего то, что существуют счетные неперечислимые множества. Мне казалось, что если множество счетно, то оно обязанно быть перечислимым. Но это оказалось не так.

[vek88]

Меня очаровывал любой новый раздел математики. С института запомнил ощущение очарования от ТФКП - как много там получается неожиданно легко и просто и изящно. Группы/алгебры Ли - это тоже пунктик для очарования - как там все просто и изящно (впервые столкнулся на 4-м курсе).

Функциональный анализ (изучал самостоятельно) - помню очарование принципа сжатых отображений (потрясла общность и мощь) - через несколько десятилетий применил этот принципа для поиска семантики нефинитной формальной системы.

Или вот, например, в конце 60-х (тогда занимался теоретической физикой) знакомый физик-теоретик посоветовал почитать книгу Наймарка Нормированные кольца. Серьезной практической потребности в ней у меня не было, а читал взахлеб - потрясала алгебраическая красота.

Ну и, конечно, трудно избежать чар теории верятностей, математической статистики и теории игр.

А теория формальных систем - ведь это кладезь премудрости - взять хотя бы понятие геделевской нумерации и построение диагонального множества (похоже на канторовское диагональное построение, но не совсем).

Профессор Снэйп в сообщении #428156 писал(а):

Вот, кстати, ещё такой загадочный феномен, как неполнота.

К примеру, исчисление предикатов второго порядка не полно. И, в-принципе, не пополняемо разумным способом. Другими словами, как бы мы не выёживались, в математике всегда будет оставаться не познанная, и даже хуже, непознаваемая истина.

А вот к теоремам о неполноте отношусь с интересом, но без умиления. По простой причине - а с чего это вдруг мы должны все бросить и заниматься финитной формализацией? Гильберт велел? Извините, с огромным уважением отношусь к Гильберту, но в данном вопросе он мне не указ. Меня, например, устраивает нефинитная формализация, конкретно, в К-системах - см. post428113.html#p428113.

К примеру, в К-системах арифметика полна.

Кстати, неполнота финитной формализации - это ИМХО не есть непознаваемость.

[Профессор Снэйп]

Dialectic в сообщении #428170 писал(а):

...существуют счетные неперечислимые множества.

В смысле алгоритмически неперечислимые

А если эффективным алгоритмом перечисления не заморачиваться, то перечисляй неэффективно сколько влезет. На то оно и счётное, чтоб его перечислять

-- Пн мар 28, 2011 01:34:03 --

vek88 в сообщении #428193 писал(а):

Меня, например, устраивает нефинитная формализация

Ну, вроде как считается, что финитные вещи самоочевидны и в обоснованиях не нуждаются. А нефинитная формализация может, конечно, устраивать, более того, и так почти всех устраивает... Но откуда возьмётся уверенность в её непротиворечивости?

[vek88]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #428212 писал(а):

Ну, вроде как считается, что финитные вещи самоочевидны и в обоснованиях не нуждаются. А нефинитная формализация может, конечно, устраивать, более того, и так почти всех устраивает... Но откуда возьмётся уверенность в её непротиворечивости?

Просто так такая уверенность ниоткуда не возьмется. Ни в финитном случае, ни в нефинитном случае. К примеру, для аксиоматических теорий множеств их непротиворечивость, кажется, пока еще не доказана? А без доказательства этого, только из убежденности ... как-то не очень вяжется с математикой?

Но мы ИМХО мыслим в нефинитных категориях, следовательно - при правильном построении нефинитной теории - ее непротиворечивость будет обеспечена автоматически. В К-системах правильность построения теории обеспечена условием полноты определений.

В меру сил пытаюсь рассмотреть эти вопросы в теме Основания математики - элементарное рассмотрение - см. post428113.html#p428113.

[caxap]

Ещё довольно шокируют ребёнка типа меня некоторые топологические теоремки (к сожалению, пока только знаком в популярной форме) типа теоремы о неподвижной точке (берём карту, крутим её, комкаем, бросаем случайным образом на землю и хотя бы одна точка упадёт на то же место, что она изображает на карте), теоремы о ёжике (какие бы катаклизмы на Земле не происходили, всегда найдётся точка, в которой не дует ветер), теоремы Борсука--Улама (опять же, как ни крути, но на Земле всегда найдутся две диаметрально противоположные точки с одинаковыми температурой и давлением) и т. д. Ещё в Кванте была заметка про расцепление зацепленных пальцев -- тоже удивило.

[Padawan]

Меня поразила возможность решать дифференциальные уравнения с частными производными. На примере обычных уравнения колебаний и теплопроводности.

Функциональный анализ и ТФКП просто восхищают. Тем, что "ниоткуда" получается "всё".