Задачки по алгебре

[caxap]

5.2. А индукцией можно? В $\mathbb Z_p$ для $a=0$, $a^p-a=0$. Пусть $a^p-a=0$ верно, тогда $(a+1)^p-(a+1)=a^p+1-a-1=a^p-a=0$. Что-то слишком просто

(Про традиции)

Почему поле $\mathbb Z_p$ определяют через классы эквивалентности по отношению сравнимости остатков. Почему бы по-простому: $(\{0,1,...,p-1\},\oplus,\odot)$, где $\oplus$ -- сложение по модулю $p$, $\odot$ -- умножение по модулю $p$. Ведь всё равно же скобки $[~]_p$ опускают, так почему бы от них в корне не избавиться?

VAL в сообщении #408924 писал(а):

надо показать, что 1 принадлежит подполю.

Ну в подполе $(\mathbb Q,+,\times)$ операция $\times$ должна быть та же, то есть обычная операция умножения. И единица для неё обычная $1\in\mathbb Q$. Не?

[Xaositect]

caxap в сообщении #408956 писал(а):

А индукцией можно?

Можно.

[VAL]

caxap в сообщении #408956 писал(а):

5.2. А индукцией можно? В $\mathbb Z_p$ для $a=0$, $a^p-a=0$. Пусть $a^p-a=0$ верно, тогда $(a+1)^p-(a+1)=a^p+1-a-1=a^p-a=0$. Что-то слишком просто

Можно, наверное. Хотя индукция в $\mathbb Z_p$... - это как-то неожиданно. Оно ведь даже упорядоченным не является. Но учитывая, упорядеченность представителей класов, пожалуй можно так доказать.
Но как я советовал - точно можно :)

Цитата:

(Про традиции)

Почему поле $\mathbb Z_p$ определяют через классы эквивалентности по отношению сравнимости остатков. Почему бы по-простому: $(\{0,1,...,p-1\},\oplus,\odot)$, где $\oplus$ -- сложение по модулю $p$, $\odot$ -- умножение по модулю $p$. Ведь всё равно же скобки $[~]_p$ опускают, так почему бы от них в корне не избавиться?

(Оффтоп)

Во-первых, классическая структура факторкольца (факторгруппы, фактормодуля, факторпространства...) - это переход к классам.
А во-вторых, в корне все равно не избавиться. Иначе как по модулю считать? Для каждого модуля таблицу умножения и сложения наизусть запоминать что ли?!

Цитата:

VAL в сообщении #408924 писал(а):

надо показать, что 1 принадлежит подполю.

Ну в подполе $(\mathbb Q,+,\times)$ операция $\times$ должна быть та же, то есть обычная операция умножения. И единица для неё обычная $1\in\mathbb Q$. Не?

Почитайте еще раз мой пример. Там в подполе кольца $\mathbb Z_{20}$ операция та же самая, а единица другая. Если исходное кольцо поле - так быть не может. Но именно это и нуждается в обосновании.

[caxap]

VAL в сообщении #408993 писал(а):

Оно ведь даже упорядоченным не является.

Но мы ведь для любого $a$ можно постепенно опускаться вниз, пока не дойдём до базы индукции $a=0$, для которого утверждение верно.

(Оффтоп)

VAL в сообщении #408993 писал(а):

операция та же самая, а единица другая.

Но умножение в $\mathbb Q$ как бы "монотонное", а умножение по модулю нет. В указанном вами подкольце, умножая 4 на 16 мы получаем снова 4 из-за "переполнения", т.к. результат берём по остатку. С обычным умножением мы не можем умножить число на некоторое $e\neq1\in\mathbb Q$ и получить его же.
В этом хотя бы доля истины есть?

VAL в сообщении #408993 писал(а):

Если исходное кольцо поле - так быть не может.

Перебираю все отличия: коммутативность умножение -- наверное, нет; ассоциативность умножения -- тоже. Остаётся наличие обратных элементов. Но как это может повлиять на то, что у подполя не может единица быть другой... (Смотря на ваш пример, мне только интуитивно кажется, что различие единиц связано больше с операцией умножения, чем с самой структурой поля. )

[VAL]

caxap в сообщении #409014 писал(а):

(Оффтоп)

VAL в сообщении #408993 писал(а):

операция та же самая, а единица другая.

Но умножение в $\mathbb Q$ как бы "монотонное", а умножение по модулю нет. В указанном вами подкольце, умножая 4 на 16 мы получаем снова 4 из-за "переполнения", т.к. результат берём по остатку. С обычным умножением мы не можем умножить число на некоторое $e\neq1\in\mathbb Q$ и получить его же.
В этом хотя бы доля истины есть?

Выхожу из подполья :) Поскольку никакого оффтопика не вижу.
"Переполнение" тут не причем. Возьмите, например кольцо квадратных 2х2 матриц с элементами из $\mathbb R$, а в нем подполе из матриц, в которых единственный ненулевой элемент будет в левом верхнем углу. Там тоже появится новая единица, отличная от единичной матрицы, хотя никакого переполнения нет.

Цитата:

VAL в сообщении #408993 писал(а):

Если исходное кольцо поле - так быть не может.

Перебираю все отличия: коммутативность умножение -- наверное, нет; ассоциативность умножения -- тоже. Остаётся наличие обратных элементов. Но как это может повлиять на то, что у подполя не может единица быть другой...

Может, может!

-- 04 фев 2011, 17:23 --

[caxap]

Пусть элемент $a$ принадлежит полю и его подполю, тогда и в поле и в подполе будет $a\cdot a^{-1}=1$.

[VAL]

caxap в сообщении #409230 писал(а):

Пусть элемент $a$ принадлежит полю и его подполю, тогда и в поле и в подполе будет $a\cdot a^{-1}=1$.

Аккуратнее так:
Пусть $e$ - единица поля, $\epsilon$ - единица подполя и $a$ - ненулевой элемент подполя. Тогда $a=ae=a\epsilon$, откуда умножением на обратный к $a$ получим $e=\epsilon$.
В кольце такое рассуждение не пройдет. Посмотрите мои примеры (и $\mathbb Z_{20}$, и с матрицами), там всякий раз все элементы подполя не являются обратимыми в основном кольце.

[caxap]

Спасибо. Ещё задачка 5.1 осталась (в ней я забыл написать: там рассматривается кольцо $\mathbb Z_n$).

-- 05 фев 2011, 11:16 --

VAL в сообщении #409235 писал(а):

откуда умножением на обратный к $a$

Извиняюсь за тупизм, но то, что $a^{-1}$ в поле и подполе одинаковы, должно быть очевидно?.. Обратный в поле -- это такое $a^{-1}$, то $a\cdot a^{-1}=e$, а в подполе -- такое $a^{-1}$, то $a\cdot a^{-1}=\epsilon$. Но то, что $e=\epsilon$ ещё не доказано.

[VAL]

caxap в сообщении #409237 писал(а):

Спасибо.

"Спасибом" не отделаетесь! :) Вот задачка на закрепление:
Сколько подполей в кольце $\mathbb Z_n$?

Цитата:

Ещё задачка 5.1 осталась (в ней я забыл написать: там рассматривается кольцо $\mathbb Z_n$).

Я догадался.
Там по сути все правильно. Я бы написал так.
И необходимость и достаточность являются очевидными следствиями основного свойства взаимно простых целых чисел (более обще, взаимно простых элементов области главных идеалов): элементы взаимно просты тогда и только тогда, когда единица представляется в виде их линейной комбинации.

[caxap]

VAL, а там дополнил предыдущее сообщение. Посмотрите, пожалуйста.

VAL в сообщении #409242 писал(а):

Сколько подполей в кольце $\mathbb Z_n$?

По-моему, каждое подполе только названиями элементов отличается от какого-то $\mathbb Z_p$ (???). Например, $\{[0]_{20},[4]_{20},[8]_{20},[12]_{20},[16]_{20},\}$ аналогично $\{[0]_5,[4]_5,[3]_5,[2]_5,[1]_5\}$. Но $\mathbb Z_p$ поле $\iff$ $p$ простое. То есть подполей столько же, сколько простых чисел $\le n$.

-- 05 фев 2011, 11:51 --

А хотя нет. Все элементы подполя должны быть кратны минимальному элементу подполя, т. к. из этого минимального элемента $a$ можно получить $a+a$, $a+a+a$,... То есть из всех простых чисел $\le n$ нужно выбрать те, на которые делится $n$. Их число = количеству подполей. (Для $\mathbb Z_{20}$ получается два подполя (из двух и пяти элементов) + ещё одно, равное всему $\mathbb Z_{20}$.) Не?

[VAL]

caxap в сообщении #409251 писал(а):

VAL, а там дополнил предыдущее сообщение. Посмотрите, пожалуйста.

А чем Вам не понравилось мое доказательство?

Цитата:

VAL в сообщении #409242 писал(а):

Сколько подполей в кольце $\mathbb Z_n$?

По-моему, каждое подполе только названиями элементов отличается от какого-то $\mathbb Z_p$ (???). Например, $\{[0]_{20},[4]_{20},[8]_{20},[12]_{20},[16]_{20},\}$ аналогично $\{[0]_5,[4]_5,[3]_5,[2]_5,[1]_5\}$. Но $\mathbb Z_p$ поле $\iff$ $p$ простое. То есть подполей столько же, сколько простых чисел $\le n$.

Смело! :)

Цитата:

-- 05 фев 2011, 11:51 --

А хотя нет. Все элементы подполя должны быть кратны минимальному элементу подполя, т. к. из этого минимального элемента $a$ можно получить $a+a$, $a+a+a$,... То есть из всех простых чисел $\le n$ нужно выбрать те, на которые делится $n$. Их число = количеству подполей.

Уже лучше. Но...

Цитата:

(Для $\mathbb Z_{20}$ получается два подполя (из двух и пяти элементов) + ещё одно, равное всему $\mathbb Z_{20}$.) Не?

Тогда приведите в $\mathbb Z_{20}$ пример подполя из двух элементов.

[caxap]

VAL в сообщении #409262 писал(а):

А чем Вам не понравилось мое доказательство?

Не то, чтобы не понравилось, но

caxap в сообщении #409237 писал(а):

то, что $a^{-1}$ в поле и подполе одинаковы, должно быть очевидно?.. Обратный в поле -- это такое $a^{-1}$, то $a\cdot a^{-1}=e$, а в подполе -- такое $a^{-1}$, то $a\cdot a^{-1}=\epsilon$. Но то, что $e=\epsilon$ ещё не доказано.

VAL в сообщении #409262 писал(а):

Тогда приведите в пример в $\mathbb Z_{20}$ подполя из двух элементов.

Наверно нет такого. Ну там у меня хотя бы что-то в верном направлении было?

Про связь с $\mathbb Z_p$: получается, что больше чем $\pi(n)$ (кол-во простых чисел, не больших $n$) подполей у $\mathbb Z_n$ быть не может. Далее, из числа этих простых чисел исключаются те, что не делят $n$. До сюда верно?

-- 05 фев 2011, 14:33 --

Ой, про $\mathbb Z_p$ вообще пурга. Оказывается, бывают поля и не простой мощности....

[VAL]

caxap в сообщении #409288 писал(а):

VAL в сообщении #409262 писал(а):

А чем Вам не понравилось мое доказательство?

Не то, чтобы не понравилось, но

caxap в сообщении #409237 писал(а):

то, что $a^{-1}$ в поле и подполе одинаковы, должно быть очевидно?.. Обратный в поле -- это такое $a^{-1}$, то $a\cdot a^{-1}=e$, а в подполе -- такое $a^{-1}$, то $a\cdot a^{-1}=\epsilon$. Но то, что $e=\epsilon$ ещё не доказано.

Я это читал.
А Вы - вот это? (В порядке войны цитат )

Цитата:

Пусть $e$ - единица поля, $\epsilon$ - единица подполя и $a$ - ненулевой элемент подполя. Тогда $a=ae=a\epsilon$, откуда умножением на обратный к $a$ получим $e=\epsilon$.

Что тут не доказано?

Цитата:

VAL в сообщении #409262 писал(а):

Тогда приведите в пример в $\mathbb Z_{20}$ подполя из двух элементов.

Наверно нет такого. Ну там у меня хотя бы что-то в верном направлении было?

Про связь с $\mathbb Z_p$: получается, что больше чем $\pi(n)$ (кол-во простых чисел, не больших $n$) подполей у $\mathbb Z_n$ быть не может. Далее, из числа этих простых чисел исключаются те, что не делят $n$. До сюда верно?

Ну, разумеется, имеет смысл рассматривать только делители $n$.

Цитата:

-- 05 фев 2011, 14:33 --

Ой, про $\mathbb Z_p$ вообще пурга. Оказывается, бывают поля и не простой мощности....

Бывают. Но не в $\mathbb Z_n$.

[caxap]

VAL в сообщении #409334 писал(а):

Ну, разумеется, имеет смысл рассматривать только делители $n$

А можно маааленькую подсказку, как их всех делителей отобрать подходящие? Не получается ничего

(Про обозначения)

Я верно понимаю, что векторное пространство над полем $K$ -- это четвёрка $(V,K,+,\cdot)$ ($V$ -- мн. векторов, $+$ сложение векторов, $\cdot$ умножение в-ра на скаляр). А алгебра над $K$ -- это $(V,K,+,\times,\cdot)$ ($\times$ -- умножение векторов)?

Не подскажите какой-нибудь учебник (если вообще такой есть, мои поиски не увенчались успехом) уровня Винберга и Кострикина, где бы не опускались строгости (типа поле рац. чисел -- это не $\mathbb Q$, а $(\mathbb Q,+,\cdot)$, или в определении изоморфизма: не $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$, а $\varphi(a+b)=\varphi(a)\oplus\varphi(b)$ (где $+,\oplus$ -- операции сложения в рассматриваемых структурах), а если и опускались, то с оговоркой. Авторы, как алгебраисты с опытом, такие тонкости опускают, но лично мне, как впервые знакомящимся с алгеброй, лучше чтобы они хотя бы на первых порах присутствовали. А то сразу небольшая каша в голове: у того же Винберга смешиваются обозначения чисел и векторов (в частности, $0$), разные операции обозначаются одинаково (в частности, сложение векторов и скаляров) и т. д. В задачах типа "доказать, что двумерная алгебра над полем $\mathbb Z_2$ с базисом бла-бла-бла и таблицей умножения бубубу является полем" мне требуется несколько минут, чтобы просто понять -- что от меня хотят (как это алгебра может быть полем? это же разные структуры вообще: потом доходит, что надо выбрать из структуры алгебры необходимые элементы (в смысле множество и две операции) и показать, что они образуют поле) и т. д. Я просмотрел почти весь список литературы из Винберга и Кострикина. Во всех учебниках пишут в таком же вольном стиле.

Вот мой идеал изложения: http://www.fipm.ru/affinpr.shtml , ищу что-то в этом роде.

[VAL]

caxap в сообщении #409420 писал(а):

VAL в сообщении #409334 писал(а):

Ну, разумеется, имеет смысл рассматривать только делители $n$

А можно маааленькую подсказку, как их всех делителей отобрать подходящие? Не получается ничего

1. Каждому делителю числа n соответствует ровно одно кодкольцо кольца $\mathbb Z_n$.
2. Для того, чтобы подкольцо было полем в нем:
a) должна быть единица;
б) не должно быть делителей нуля.
Роль единицы должен исполнять идемпотент, т.е. элемент, квадрат которого равен ему.
Делителей нуля не должно быть именно внутри подкольца. При этом элементы подкольца, рассматриваемые в исходном кольце, вполне могут быть делителями нуля.

Цитата:

(Про обозначения)

Я верно понимаю, что векторное пространство над полем $K$ -- это четвёрка $(V,K,+,\cdot)$ ($V$ -- мн. векторов, $+$ сложение векторов, $\cdot$ умножение в-ра на скаляр). А алгебра над $K$ -- это $(V,K,+,\times,\cdot)$ ($\times$ -- умножение векторов)?
Не подскажите какой-нибудь учебник (если вообще такой есть, мои поиски не увенчались успехом) уровня Винберга и Кострикина, где бы не опускались строгости (типа поле рац. чисел -- это не $\mathbb Q$, а $(\mathbb Q,+,\cdot)$, или в определении изоморфизма: не $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$, а $\varphi(a+b)=\varphi(a)\oplus\varphi(b)$ (где $+,\oplus$ -- операции сложения в рассматриваемых структурах), а если и опускались, то с оговоркой. Авторы, как алгебраисты с опытом, такие тонкости опускают, но лично мне, как впервые знакомящимся с алгеброй, лучше чтобы они хотя бы на первых порах присутствовали. А то сразу небольшая каша в голове: у того же Винберга смешиваются обозначения чисел и векторов (в частности, $0$), разные операции обозначаются одинаково (в частности, сложение векторов и скаляров) и т. д. В задачах типа "доказать, что двумерная алгебра над полем $\mathbb Z_2$ с базисом бла-бла-бла и таблицей умножения бубубу является полем" мне требуется несколько минут, чтобы просто понять -- что от меня хотят (как это алгебра может быть полем? это же разные структуры вообще: потом доходит, что надо выбрать из структуры алгебры необходимые элементы (в смысле множество и две операции) и показать, что они образуют поле) и т. д. Я просмотрел почти весь список литературы из Винберга и Кострикина. Во всех учебниках пишут в таком же вольном стиле.

Вот мой идеал изложения: http://www.fipm.ru/affinpr.shtml , ищу что-то в этом роде.

(Оффтоп)

Ну сложение практически везде одинаково означают. Может, быть есть книжки, где это не так. Но я таковых не припоминаю. Мне кажется важнее, не строгость обозначений, а понятность последующих примеров и разъяснений. Сам я изучал алгебру сначала по лекциям, а по позже по классике: Ван дер Варден и Ленг. Позже (уже преподавая) использовал книжки Куликова и Калужнина. Из более поздних Глухов, Елизаров, Нечаев, вроде бы, неплохая книжка. "Вроде бы" - потому что толком не читал, так, по диагонали. Очень хорошее алгебраическое введение в двухтомнике Лидла и Нидеррайтера"Конечные поля".