Несколько вопросов по топологии

[Munin]

Bulinator в сообщении #383889 писал(а):

Как формально записать выражение "нельзя наматывать кривые вокруг чего-либо"?

Никак. Можно сказать, что вы рассматриваете серию многократных намоток как единое целое. Это единое целое - обладает структурой группы $\mathbb{Z},$ то есть в нём есть "нуль оборотов", "один оборот", "два оборота"... "минус один оборот"... и так далее. Ещё немного покопаться (чтобы правильно ввести групповую операцию) - и у вас получится группа гомотопии или группа гомологии (за уточнениями не ко мне). А дальше, вы рассматриваете вообще все кривые в своём пространстве, и раскладываете их общую группу по таким $\mathbb{Z}$-изоморфным составляющим (в прямую сумму групп). Получается, что каждая составляющая имеет $\aleph_0$ элементов (классов эквивалентности кривых), но самих таких составляющих - обозримое число, например, в случае $R^3$ с выброшенными (непересекающимися) прямыми - такое число, сколько прямых выброшено.

[paha]

Munin в сообщении #383925 писал(а):

что каждая составляющая имеет $\aleph_0$ элементов (классов эквивалентности кривых)

бывает и кручение... так что число это может быть конечным

Вот в $\mathbb{R}P^2$ есть всего два класса гомотопности замкнутых кривых

Munin в сообщении #383925 писал(а):

но самих таких составляющих - обозримое число, например, в случае $R^3$ с выброшенными (непересекающимися) прямыми - такое число, сколько прямых выброшено

это то, что называется "наименьшее число образующих"... но в общем случае -- поди его отыщи

[Bulinator]

paha в сообщении #383906 писал(а):

тогда у гомотопически эквивалентных пространств (например, $\mathbb{R}^2\setminus\{O\}$ и $S^1$) , будут разные эти числа $n_1^{x_1,x_2}(X)$...(((

Это как???
На $\mathbb{R}^2\setminus\{O\}$ берем две точки, понятно, что $n_1(\mathbb{R}^2\setminus\{O\})=2$(наматывать нельзя!!!). С другой стороны, если взять 2 точки на $S^1$, то у нас будут только две кривые соеденяющие эти точки- сверху и снизу. Т.е. $n_1(S^1)=2$.

[paha]

Bulinator в сообщении #383934 писал(а):

На $\mathbb{R}^2\setminus\{O\}$ берем две точки, понятно, что $n_1(\mathbb{R}^2\setminus\{O\})=2$(наматывать нельзя!!!).

а порисуйте картинки... бесконечно много негомотопных кривых без самопересечений!

-- Вс дек 05, 2010 19:16:01 --

что такое "наматывать" -- я не понимаю (вернее -- Вы не объяснили, т.к. это -- Ваша попытка определения)... вот "без самопересечений" -- понятно

[Bulinator]

paha в сообщении #383958 писал(а):

бесконечно много негомотопных кривых без самопересечений!

Есть только два класса. Один обходит точку слева, другой справа.

[paha]

Bulinator в сообщении #383960 писал(а):

Есть только два класса. Один обходит точку слева, другой справа.

определите "класс" и "обходит" -- в топологическом пространстве нет права и лева

-- Вс дек 05, 2010 19:21:47 --

вот определите так: две кривые без самопересечений с началом в $x$ и концом в $y$ принадлежат одному классу, если [ВАШЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ]

[Padawan]

paha
Я вчера писал про $n_1(\mathbb R^2\setminus 0)$. Действительно 2 получается. Покажите третью кривую?

[Bulinator]

paha в сообщении #383963 писал(а):

две кривые без самопересечений с началом в $x$ и концом в $y$ принадлежат одному классу, если [ВАШЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ]

ну тут я должен сказать, "... если они гомотопны друг другу". Но если я скажу, вы начнете наматывать кривые на точку и утверждать, что таких классов бесконечно много.
Я же говорю, наматывать нельзя.

-- Вс дек 05, 2010 21:40:30 --

paha в сообщении #383963 писал(а):

в топологическом пространстве нет права и лева

Я образно.

[paha]

Bulinator в сообщении #383970 писал(а):

Я же говорю, наматывать нельзя.

так откройте тайну скажите, что такое "наматывать"

-- Вс дек 05, 2010 20:11:39 --

Padawan в сообщении #383966 писал(а):

Я вчера писал про $n_1(\mathbb R^2\setminus 0)$. Действительно 2 получается. Покажите третью кривую?

в этом пространстве можно нарисовать бесонечно много попарно негомотопных кривых (негомотопных отображений $[0;1]\to X$ с данным началом и концом) без самопересечений

[Bulinator]

paha в сообщении #383995 писал(а):

скажите, что такое "наматывать"

А я знаю??

[Padawan]

paha в сообщении #383995 писал(а):

в этом пространстве можно нарисовать бесонечно много попарно негомотопных кривых (негомотопных отображений $[0;1]\to X$ с данным началом и концом) без самопересечений

Три нарисуйте, пожалуйста.

[Munin]

paha в сообщении #383930 писал(а):

бывает и кручение... так что число это может быть конечным

Согласен, я говорил о своём простейшем случае, но не оговорил это.

paha в сообщении #383930 писал(а):

это то, что называется "наименьшее число образующих"... но в общем случае -- поди его отыщи

Поскольку я случайно немного знаю о задаче, которая интересует Bulinator, могу сказать, что совсем общий случай его не интересует.

paha в сообщении #383958 писал(а):

что такое "наматывать" -- я не понимаю (вернее -- Вы не объяснили, т.к. это -- Ваша попытка определения)...

Я полагаю, это примерно так:
i. Кривую с фиксированным началом и концом можно непрерывно деформировать так, чтобы в ней возникла точка самопересечения. После этого от кривой можно "отрезать петлю".
ii. Проделав это несколько раз, мы обнаружим, что некоторые петли стягиваются в нуль, а некоторые - нет, и разбиваются на классы гомотопически переводимых друг в друга.
iii. Действуя аналогичной операцией ("доведение до самопересечения, и разрезание в точке самопересечения другим образом"), получим операции над такими петлями (классами петель), вида $L_1\mapsto L_2,$ $L_1\mapsto L_2\cup L_3,$ $L_1\cup L_2\mapsto L_3.$ Далее, обнаружим, что один класс порождает другие классы последовательностью операций $L_1\cup L_1\mapsto L_2,$ $L_2\cup L_1\mapsto L_3,\ldots$ образуя свободную группу.
iv. Взяв все такие группы, рассмотрим те из них, которые не являются подгруппами других групп. После этого назовём образующие элементы этих групп "намотанными 1 раз", а элементы степени $n$ - "намотанными $n$ раз".

Предложение "наматывать нельзя" как-то мне кажется соотносящимся с предложением рассматривать классы, "намотанные 1 раз", и не рассматривать классы, "намотанные более 1 раза".

[Bulinator]

Munin в сообщении #384042 писал(а):

Поскольку я случайно немного знаю о задаче, которая интересует Bulinator, могу сказать, что совсем общий случай его не интересует.

Вы правы, меня интересуют только $R^n$ с выколотыми точками и, может быть, прямыми. Но в любом случае, хотелось бы понять что я делаю. Т.е. понять на пальцах определение гомотопической эквивалентности. Или хотя бы убедить себя что понял.

Munin в сообщении #384042 писал(а):

Я полагаю, это примерно так:
i. Кривую с фиксированным началом и концом можно непрерывно деформировать так, чтобы в ней возникла точка самопересечения. После этого от кривой можно "отрезать петлю".
ii. Проделав это несколько раз, мы обнаружим, что некоторые петли стягиваются в нуль, а некоторые - нет, и разбиваются на классы гомотопически переводимых друг в друга.
iii. Действуя аналогичной операцией ("доведение до самопересечения, и разрезание в точке самопересечения другим образом"), получим операции над такими петлями (классами петель), вида $L_1\mapsto L_2,$ $L_1\mapsto L_2\cup L_3,$ $L_1\cup L_2\mapsto L_3.$ Далее, обнаружим, что один класс порождает другие классы последовательностью операций $L_1\cup L_1\mapsto L_2,$ $L_2\cup L_1\mapsto L_3,\ldots$ образуя свободную группу.
iv. Взяв все такие группы, рассмотрим те из них, которые не являются подгруппами других групп. После этого назовём образующие элементы этих групп "намотанными 1 раз", а элементы степени $n$ - "намотанными $n$ раз"

.
Точно!
А я думал ввести что-то типа крючка, который "натягивает" кривую и она касается выколотой прямой/точки. Ну да ладно.

-- Пн дек 06, 2010 00:47:55 --

Мы можем деформировать "ненамотанную" кривую так, что она сделает один оборот вокруг прямой и коснется себя. получившаяся петля не стягивается. А если ее разрезать, мы перейдем в другой класс.

[Munin]

Bulinator
У вас как, многомерная геометрическая интуиция хорошо развита? Вы понимаете, что в $R^4$ на выколотую прямую "намотать" кривую нельзя, соскочит, а можно "намотать" только на выколотое 2-мерное подпространство? Это я к вашему замечанию, что вас интересуют только выколотые точки и, может быть, прямые.

Bulinator в сообщении #384061 писал(а):

Мы можем деформировать "ненамотанную" кривую так, что она сделает один оборот вокруг прямой и коснется себя. получившаяся петля не стягивается. А если ее разрезать, мы перейдем в другой класс.

Правильно. А ещё можем разрезать кривую, "намотанную" 1 раз, на кривые, "намотанные" 2 раза и -1 раз. И можем разрезать кривую так, что останется снова одна кривая. Я все эти примеры перебирал, пока формулировал пп. ii, iii и iv. И эта вся мутотень - только для кривых, представляете, как усложняются попытки для более многомерных контуров. Так что алгебраические определения намного компактней и мощней, хотя и приходится поморщить лоб, пытаясь понять, какую геометрическую суть они выражают.

[paha]

блин... Где разум?
Не путайте гомологии с гомотопиями