На пространстве

возьмем две неособые точки

и

и рассмотрим все кривые, соединяющие эти точки и непересекающиеся сами с собой.
Пусть кол-во классов таких гомотопных кривых

. (По разбивающим точкам, очевидно, можно ходить сколько угодно раз)
Вопрос 1: Может быть так, что для каких-то других точек


?
Далее, пусть существует отображение

такое, что если для кривых

и

выполняется

то и

и если

то и

.
Пусть еще существует отображение

удовлетворяющее тем же условиям.
Вопрос 2: Означает ли это, что кривые

будут иметь то же кол-во классов?
Вопрос 3: Если от

и

потребуем, чтобы

и

сохраняли кол-во классов гомотопных k-мерных поверхностей с границей

(

- две точки при

, контур при

и.т.д.) будет ли это означать, что

?
Поверхности и

сами с собой непересекаются.