Определение производной без использования понятия предела.

Виктор Викторов · 24.08.2010, 15:52

dmd в сообщении #346762 писал(а):

Первым производную без предела определил Лагранж. Об этом написано у Юшкевича.

Это интересно. А нет ли у Вас полной ссылки? (Названия книги).

dmd · 25.08.2010, 09:45

Виктор Викторов в сообщении #346766 писал(а):

dmd в сообщении #346762 писал(а):

Первым производную без предела определил Лагранж. Об этом написано у Юшкевича.

Это интересно. А нет ли у Вас полной ссылки? (Названия книги).

Ранее предлагал к обсуждению тему про алгебраический анализ, так же свободный от пределов. Ссылки на вики и книгу см. там же.

hurtsy · 25.08.2010, 12:29

Виктор Викторов в сообщении #346508 писал(а):

В мат. анализе хорошо известна цепочка понятий: предел функции в точке, непрерывность функции в точке, производная функции в точке. Но непрерывность функции (как в точке, так и на множестве) можно определить, не прибегая к понятию предела, с помощью открытых множеств.

А какая зависимость между непрерывностью в точке и дифференцируемостью в точке? Из существования "хорошо известной цепочки" зависимость не построишь. Я имею в виду понятие односторонних производных и несовпадение их в заданой точке. Кроме того существуют непрерывные нигде не дифференцируемые функции. С уважением,

Виктор Викторов · 25.08.2010, 16:31

hurtsy в сообщении #347085 писал(а):

Кроме того существуют непрерывные нигде не дифференцируемые функции.

Рассмотрим случай непрерывной функции не дифференцируемой в одной точке $y=|x|$ . Когда я начал составлять примеры, то пик в нуле меня смутил. Формула для приращения в нуле $\Delta y=sign({\Delta x}){\Delta x}$ и производная в нуле равна нулю. Мне стало скучно, но потом я понял, что $y=sign({\Delta x})$ не непрерывна в каждом открытом интервале нуля и (как это и должно быть) $y=|x|$ и по альтернативному определению не имеет производную в нуле . Поэтому я думаю, что всё срабатывает и в случае функции Вейерштрасса, но я этого пока не проверял.

hurtsy в сообщении #347085 писал(а):

Я имею в виду понятие односторонних производных и несовпадение их в заданой точке.

Это хороший вопрос. Но прежде чем его разбирать приглядимся к непрерывности в граничных точках области определения. Рассмотрим функцию $y=x$ на замкнутом интервале $[2, 3]$ . А почему она непрерывна в точке ${2}$ ? Ведь множество $[2, a)$ не являются открытыми в топологии вещественных чисел. Но если спуститься на подпространство $[2, 3]$ , то в индуцированной топологии подпространства $[2, 3]$ множество $[2, a)$ открыто и соответственно $y=x$ на множестве $[2, 3]$ непрерывна в точке ${2}$ . Видимо, вопрос об односторонних производных решается с помощью рассмотрения функций в «подозрительных» точках на подходящем подпространстве.

paha · 25.08.2010, 17:36

Виктор Викторов в сообщении #346508 писал(а):

Но непрерывность функции (как в точке, так и на множестве) можно определить, не прибегая к понятию предела, с помощью открытых множеств.

Разумеется, можно. Вы и предприняли удачную попытку. Удачно "зашифровали" простое понятие предела в терминах загадочных открытых множеств:)

(Оффтоп)

Тезис: нет непрерывности числовой функции без пределов:)

"Открытое" -- содержащее вместе с любой своей точкой и некоторый шар с центром в данной точке. Что есть в таком случае "непрерывность" функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ на множестве $E\subset\mathbb{R}$ ? В точности вот что:

$\square$ для любого открытого множества $V\subset\mathbb{R}$ , для любой точки $x\in f^{-1}(V)\cap E$ найдется $a>0$ , что $(x-a;x+a)\cap E\subset f^{-1}(V)\cap E$ $\square$ .

Но открытые множества, для которых $f^{-1}(V)\cap E=\emptyset$ проверять не надо, поэтому наше заклинание может быть переформулировано так:

$\square$ для любой точки $x\in E$ , для любого открытого множества $V\subset\mathbb{R}$ содержащего $f(x)$ существует $a>0$ , что $(x-a;x+a)\cap E\subset f^{-1}(V)\cap E$ $\square$ .

Стандартные аргументы, уже упоминавшиеся (база топологии)

alex1910 в сообщении #346590 писал(а):

вполне достаточно использовать не все открытые множества, а только шары

позволяют заменить $V$ на интервал $(f(x)-b;f(x)+b)$ ... и вуаля... перформулировка:
$$\square$\forall x\in E\quad, \forall b>0\quad \exists a(x,b)>0\,\,:\,\,\left\{\begin{array}{l}x'\in E\\|x-x'|<a\end{array}\right.\Rightarrow\quad |f(x)-f(x')|<b $\square$,$
т.е.
$\square\forall x\in E\quad\lim\limits_{x'\to_Ex}f(x')=f(x)\square$

Я, конечно, в истории математики не силен, но предполагаю, что "замкнутые множества" в евклидовых пространствах появились раньше "открытых" и определялись через предельные точки.

Открытые множества (= аксиомы топологического пространства) появились для того, чтобы можно было говорить о близости и "далекости" точек и множеств во всяких-разных пространствах на аналоге $\varepsilon -\delta$ -языка. Конечно, можно этим языком описывать "исходный материал"... но как-то тяжеловесно получается.

Виктор Викторов · 25.08.2010, 18:13

paha в сообщении #347185 писал(а):

"зашифровали" простое понятие предела в терминах загадочных открытых множеств:)

Открытые множества (= аксиомы топологического пространства) появились для того, чтобы можно было говорить о близости и "далекости" точек и множеств во всяких-разных пространствах на аналоге $\varepsilon -\delta$ -языка. Конечно, можно этим языком описывать "исходный материал"... но как-то тяжеловесно получается.

Я не утверждал, что моё определение проще. Не вижу ничего загадочного в открытых множествах. Это очень простые множества. Они состоят только из внутренних точек. На числовой прямой это либо открытые интервалы или объединение открытых интервалов. Вот замкнутые множества устроены много сложнее (смотрите канторово множество). И «Открытые множества (= аксиомы топологического пространства)» просто высветили суть близости, а этой близостью "питается" весь мат. анализ и много чего ещё.

paha · 25.08.2010, 18:45