Магические кубы

[Nataly-Mak]

Некоторые читатели рекомендуют мне начать исследование магических кубов. Вот прислал один корреспондент магический куб 3-го порядка, автором которого является словенец.



Да, тема, наверное, интересная. Посмотрела внимательно на этот магический куб. Магическая константа его равна 42. Он составлен из чисел от 1 до 27. В центре куба находится число 14, которое составляет треть магической константы. Сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра куба, равна одному и тому же числу - 28, это константа ассоциативности. Полная аналогия с магическим квадратом 3-го порядка.

Интересно посмотреть всё, что разработано по магическим кубам. Есть ли методы построения таких кубов?
Просьба ко всем: у кого есть конкретные примеры магических кубов или ссылки на хорошие статьи по этой теме, приведите, пожалуйста.

А кто-нибудь может сделать объёмное изображение приведённого выше магического куба? Это было бы очень неплохо для наглядности.

[Nataly-Mak]

А можно, например, метод террас применить в трёхмерном пространстве и построить этим методом, скажем, магический куб 5-го порядка (для начала)? Может быть, уже давно построен?
Ведь аналогия магического куба 3-го порядка с магическим квадратом того же порядка полная! Теперь надо просто как-то перенести метод террас в трёхмерное пространство (на примере уже готового магического куба 3-го порядка).

[Nataly-Mak]

Ну, вот - и магическими кубами тоже никто не интересуется
Так и хочется процитировать Высоцкого: "И вкусы, и запросы мои странны, я экзотичен, мягко говоря..."

Вот вчера нарисовала вручную объёмное изображение магического куба третьего порядка. Конечно, художник из меня никудышный, но это всё равно нагляднее, чем плоское изображение.



Достала с книжной полки старую подшивку журнала "Наука и жизнь", и - о счастье: нашла статью о магических кубах.

Цитата:

Подобно тому, как магические квадраты с нечётным числом клеток могут быть составлены из двух вспомогательных квадратов (имеются в виду латинские квадраты), так и магические кубы можно составить из трёх вспомогательных кубов. Таким способом составлен следующий магический куб с 5х5х5 клетками...

Вот... Значит, работает метод латинских кубов! Сейчас попробую разложить приведённый в статье магический куб 5-го порядка на три латинских куба.

А сначала я попробовала методом террас построить магический куб 5-го порядка; не получилось; единственное, что удалось правильно определить - это число, стоящее в центре куба, оно равно 63. Ну, конечно, магическую константу (315) и константу ассоциативности (126) тоже правильно определила. Кстати, константа ассоциативности магического куба определяется по формуле:

K = n^3 + 1

В статье приведена формула для определения магической константы куба порядка $n$:

S = n*(1 + n^3)/2

Форулу нетрудно вывести.
В статье нет магического куба 4-го порядка, зато есть очень интересные магические кубы порядков 7 и 8. В общем, прекрасная статья (см. журнал "Наука и жизнь", № 6, 1976 г).

Придётся самой думать, как построить магический куб 4-го порядка.

Приглашаю всех решать эту задачу!

В статье указывается очень интересная книга: Шуберт Г. Математические развлечения и игры. Перевод с немецкого. - Одесса, 1911.
Книга давно стала библиографической редкостью. Огромная просьба: если у кого-нибудь есть эта книга, отсканируйте, пожалуйста.

[Nataly-Mak]

Товарищи, да не молчите же вы! Неужели совсем неинтересно?

На другом форуме (nazva.net)
такие кубики выложили (порядков 4 и 5), просто пальчики оближешь. Магический куб 5-го порядка выложили совершенный, построен в 2003 г. В указанной выше книге Шуберта приведён магический куб 5-го порядка и в книге написано, что он совершенный. Однако автор журнальной статьи отмечает, что куб ошибочно назван совершенным.
Этот самый куб из журнала я разложила на три латинских куба. Вы где-нибудь видели описание метода латинских кубов? Если ещё не видели, то смотрите.
Вот три латинских куба 5-го порядка, надо полагать, они ортогональные.



Обозначим элементы первого латинского куба a_i, элементы второго куба - b_i, элементы третьего куба - c_i, а элементы магического куба, получающегося с помощью этих латинских кубов, обозначим d_i, i = 1, 2, ...125.
Тогда элементы магического куба вычисляются по элементам латинских кубов по следующей формуле:

d_i = a_i * 5^2 + b_i *5 + c_i +1

Полная аналогия с методом латинских квадратов, применяемым в построении магических квадратов.
Предлагаю желающим построить этот магический куб 5-го порядка.

Теперь у меня уже есть магические кубы порядков 3 - 8, кроме магического куба порядка 6. Для этого порядка тоже, наверное, метод латинских кубов не работает, так же, как и для магических квадратов 6-го порядка.
Кто-нибудь знает, как построить магический куб порядка 6?

[shwedka]

Nataly-Mak
Шуберта забирайте

[Nataly-Mak]

shwedka
Огромное спасибо! Раритет
Просмотрела уже бегло книгу, очень интересная, и о магических квадратах в ней тоже есть.
Однако о магическом кубе порядка 6 ничего не нашла. Не знаю, кто-нибудь построил такой куб или нет.

[Mathusic]

Кубы это уже на какое-то извращение смахивает. Кубы, а что потом? Тензоры?

[age]

Mathusic
Наоборот, что-то интересное появилось!

[maxal]

про совершенные кубы см. http://www.multimagie.com/English/Perfectcubes.htm

[Mathusic]

age в сообщении #268331 писал(а):

Mathusic
Наоборот, что-то интересное появилось!

Это Вы так тонко шутите?

[Nataly-Mak]

Mathusic в сообщении #268312 писал(а):

Кубы это уже на какое-то извращение смахивает. Кубы, а что потом? Тензоры?

Почему же извращение? Всё очень красиво и изящно! Не менее красиво, чем в магических квадратах.
Я вот искала вчера по Интернету о магических кубах, на русском языке опять же ничего! А на другом форуме ребята несколько кубиков выложили, и все они опять же с англоязычных сайтов. Значит, вот иностранцам и магические кубы тоже интересны, так же, как и магические, и латинские квадраты. Точно такая же ситуация была, когда я исследовала латинские квадраты - только англоязычные статьи, спасибо, что есть две хорошие переводные (!) книги: Холла и Райзера. О магических квадратах кое-что есть на русском языке, но крайне мало: книжки Постникова, Рудина, Чебракова. Это, кажется, всё. Всего три книжки за полвека! Ленивы русские Иваны, вот что я вам скажу.
Вчера смотрела по книжке У. Болла и Г. Коксетера "Математические эссе и развлечения" (опять же переводная!) о магических кубах. Восторг! Вы бы посмотрели, прежде чем называть это извращением. В книге Г. Шуберта тоже есть и о магических квадратах, и о магических кубах, и очень интересно и доступно написано. А книга написана в 1900 году, и опять же - спасибо, что перевели, нашлись-таки умные люди (перевод в 1911 г). Кстати, книгу возьмите, она здесь выложена. Посмотрите хотя бы в этой книге о магических кубах. Это просто чудо, это замечательно! А о развитии пространственного воображения при изучении этой темы я уже не говорю, для школьников это просто необходимо. Сама немножко страдаю отсутствием пространственного воображения (потому что не изучала в школе магические кубы , а в университете были большие проблемы с черчением, никак не могла все эти детали в пространстве вообразить, разрезы правильно делать не могла, обязательно где-нибудь ошибка вылезет; преподаватель только из-за моей невероятной старательности ставил мне "хор", вообще-то надо было ставить "уд" или даже "неуд"), потому и немного страшно было браться за магические кубы. Но вот посмотрела литературу и - ничего, всё понятно.

maxal
Спасибо за ссылку. Я так и подозревала, что опять надо искать англоязычные статьи, потому что русские ещё ничего про это не написали, они продолжают вопрошать "А зачем это нужно"?

Вчера на форуме nazva.net выложили два мультипликативных куба 4-го порядка. Ну, мне бы хоть с аддитивными сначала разобраться

Вот магический куб 7-го порядка из журнала "Наука и жизнь", я ещё не разобралась с ним. Но каков красавец! Построен в 1974 г.



И где-же здесь извращение? Всё чётко, логично, наглядно и... красиво!
Если хотите, это можно назвать произведением математического искусства, так же, как, например, магический пандиагональный квадрат Франклина 16-го порядка. Я называю этот квадрат шедевром. Этот квадрат на века, понимаете? Им всегда будут восхищаться и любоваться.

[Nataly-Mak]

Начала изучать магический куб 3-го порядка.
В книге У. Бола и Г. Коксетера нашла Эйлеров куб. Как я понимаю, это аналог греко-латинского квадрата.

010 102 221   201 020 112   122 211 000
101 220 012   022 111 200   210 002 121
222 011 100   110 202 021   001 120 212

Разложила этот Эйлеров куб на три латинских куба и с помощью этих кубов построила магический куб:

4 12 26   20 7 15   18 23 1
11 25 6   9 14 19   22 3 17
27 5 10   13 21 8   2 16 24

Далее в книге написано, что латинские кубы можно циклически переставлять. Переставила сначала так: 2, 3, 1. Получила такой магический куб:

10 8 24   6 19 17   26 15 1
5 21 16   25 14 3   12 7 23
27 13 2   11 9 22   4 20 18

Затем переставила латинские кубы так: 3, 1, 2. Получила такой магический куб:

2 22 18   16 3 23   24 17 1
13 9 20   21 14 7   8 19 15
27 11 4   5 25 12   10 6 26

Это три разных куба? Или это эквивалентные кубы?
Каким преобразованиям можно подвергать магический куб? Понятно, что можно переставить верхний и нижний слои или боковые слои. Это аналогично отражению относительно оси симметрии в магическом квадрате. Сколько вариантов имеет магический куб 3-го порядка? На одном сайте нашла интересную картинку с четырьмя базовыми (если я правильно поняла) магическими кубами 3-го порядка.



Не могу разобраться в этих базовых кубах. По какому принципу они построены? Кстати, среди построенных мной выше магических кубов есть совпадающий с одним из базовых кубов на картинке с сайта.
Пожалуйста, помогите разобраться с базовыми кубами.
Сколько эквивалентных вариантов имеет каждый базовый магический куб 3-го порядка?

[Nataly-Mak]

Нашла, что магический куб 3-го порядка может быть только простой (simple cube). В простом магическом кубе порядка $n$ есть магическая сумма только в строках и столбцах всех слоёв куба (точнее так: в любом из 3n^2 рядов, параллельных рёбрам куба) и в четырёх (пространственных) диагоналях куба.
А для следующих порядков есть пандиагональные, пантриагональные, совершенные магические кубы и ещё вроде какие-то (надо разбираться с этой классификацией).

Ещё нашла, что магические константы магических кубов приведены в последовательности А027441 в OEIS. Даже и такая последовательность имеется. Что же в ней интересного или сложного? Бери формулу (очень простую) и вычисляй.

Попробовала построить магический куб 3-го порядка из чисел арифметической прогрессии, это получается. Но для построения магического куба 3-го порядка нужна арифметическая прогрессия длины 27. Из простых чисел известна только арифметическая прогрессия длины 25. Так что пока нельзя построить магический куб 3-го порядка из простых чисел, составляющих арифметическую прогрессию. Вот, например, магический куб, составленный из первых 27 нечётных чисел:

1 45 35    33 5 43    47 31 3
29 13 39   37 27 17   15 41 25
51 23 7    11 49 21   19 9 53

С кубом 3-го порядка немного разобралась, но не до конца.

S. Tognon (ice00) сообщил мне в личном письме, что он не нашёл магических кубов из простых чисел (искал несколько месяцев назад). Неужели ещё не построили такие магические кубы?

А не попробовать ли нам?
Задача: построить наименьший магический куб 3-го порядка из простых чисел.

[Nataly-Mak]

В минуты отдыха от магических квадратов из чисел Смита, которые никак не хотят строиться, пишу статью “Магические кубы 3-го порядка”.
Восхищает полная аналогия с магическими квадратами 3-го порядка. В точной аналогии с общей формулой магического квадрата 3-го порядка я получила общую алгебраическую формулу магического куба 3-го порядка. Формула составлена на основе классического магического куба, взятого из книги Болл. У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. (М.: Мир, 1986) (стр. 236, рис. 7.26):

18 23 1   20 7 15   4 12 26
22 3 17   9 14 19   11 25 6
2 16 24   13 21 8   27 5 10

Куб представлен в виде трёх горизонтальных слоёв: верхний, средний, нижний.
Будем называть магический куб порядка $n$ традиционным (или классическим), если он составлен из различных натуральных чисел от 1 до n^3, и нетрадиционным, если он составлен из произвольных натуральных чисел.
В нетрадиционном магическом кубе числа могут повторяться.

Утверждение: для того чтобы из заданных 27 произвольных чисел можно было составить магический куб 3-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы эти числа разбивались на три арифметические прогрессии длины 9 с одинаковой разностью, а первые члены этих прогрессий тоже образовывали арифметическую прогрессию.
Или эквивалентный вариант: числа заданного массива должны разбиваться на девять арифметических прогрессий длины 3 с одинаковой разностью, а первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию.

Приведу общую алгебраическую формулу магического куба 3-го порядка для первого варианта - три прогрессии длины 9:

a+c+8b a+2c+4b a   a+2c+b a+6b a+c+5b   a+3b a+c+2b a+2c+7b
a+2c+3b a+2b a+c+7b   a+8b a+c+4b a+2c   a+c+b a+2c+6b a+5b
a+b a+c+6b a+2c+5b   a+c+3b a+2c+2b a+7b   a+2c+8b a+4b a+c

Здесь $a$, $b$, $c$ – любые целые числа. Если брать только натуральные значения переменных в этой формуле, то магические кубы будут составляться из натуральных чисел. Можно брать любые целые значения переменных и ноль, но $b$ и $c$ не равны нулю одновременно. Тогда в кубе могут содержаться отрицательные числа, но от них легко избавиться, увеличив все элементы куба на одно и то же число.

Магическая константа и константа ассоциативности куба, построенного по приведённой формуле, вычисляются так: S = 3(a + c + 4b), K_a = 2(a + c + 4b) (или K_a = 2S/3).

Легко видеть, что при a = 1, b = 1, c = 9 по этой формуле получается классический куб, показанный выше. Магическая константа этого куба равна $42$, константа ассоциативности равна $28$.

Мне не удалось найти нужные прогрессии ни из простых чисел, ни из смитов.
Но при a = 199, b = 210, c = 0 получаю следующий магический куб из простых чисел, в котором фигурируют числа одной и той же арифметической прогрессии длины 9:

1879 1039 199   409 1459 1249   829 619 1669
829 619 1669   1879 1039 199   409 1459 1249
409 1459 1249   829 619 1669   1879 1039 199

Для этого куба S = 3*(199 + 0 + 4*210) = 3117, K_a = 2*3117/3 = 2078.

Подобный куб составила и из чисел Смита.

А это магический куб, в котором фигурируют три простых числа:

5 7 3   7 3 5   3 5 7
7 3 5   3 5 7   5 7 3
3 5 7   5 7 3   7 3 5

Этот куб получается по той же формуле при a = 3, b = 0, c = 2

Предлагается
Задача: построить наименьший магический куб 3-го порядка из различных простых чисел (и из различных чисел Смита).

Что касается задачи построения такого куба из последовательных (различных) простых чисел (или из последовательных (различных) чисел Смита), то она в несколько раз сложнее аналогичной задачи для магических квадратов. А квадрат 3-го порядка из последовательных чисел Смита не найден до сих пор.

[Nataly-Mak]

Получила аналогичную алгебраическую формулу для совершенного магического куба 4-го порядка. Эта формула не является общей формулой магических кубов 4-го порядка, она позволяет строить только некоторую группу магических кубов 4-го порядка, все кубы этой группы являются совершенными. Формула получена на основе классического совершенного куба 4-го порядка, взятого из указанной в предыдущем посте книги (стр.238, рис. 7.29). Этот магический куб интересен тем, что он получается из магического квадрата 8-го порядка, вот этого:

1 8 61 60 48 41 20 21
62 59 2 7 19 22 47 42
52 53 16 9 29 28 33 40
15 10 51 54 34 39 30 27
32 25 36 37 49 56 13 12
35 38 31 26 14 11 50 55
45 44 17 24 4 5 64 57
18 23 46 43 63 58 3 6

Угловые квадраты 4х4 этого магического квадрата и являются слоями магического куба.
Формула получена следующая:

a a+7b a+3c+12b a+3c+11b   a+2c+15b a+2c+8b a+c+3b a+c+4b   a+3c a+3c+7b a+12b a+11b   a+c+15b a+c+8b a+2c+3b a+2c+4b
a+3c+13b a+3c+10b a+b a+6b   a+c+2b a+c+5b a+2c+14b a+2c+9b   a+13b a+10b a+3c+b a+3c+6b   a+2c+2b a+2c+5b a+c+14b a+c+9b
a+3c+3b a+3c+4b a+15b a+8b   a+c+12b a+c+11b a+2c a+2c+7b   a+3b a+4b a+3c+15b a+3c+8b   a+2c+12b a+2c+11b a+c a+c+7b
a+14b a+9b a+3c+2b a+3c+5b   a+2c+b a+2c+6b a+c+13b a+c+10b   a+3c+14b a+3c+9b a+2b a+5b   a+c+b a+c+6b a+2c+13b a+2c+10b

Куб представлен в виде четырёх горизонтальных слоёв, считая по порядку слева направо: 1-ый (верхний), 2-ой, 3-ий, 4-ый.
При $a = 1, b = 1, c = 16$ по данной формуле получаем классический совершенный куб, тот самый, на основе которого и получена формула. При любых других значениях переменных будем получать нетрадиционные совершенные магические кубы. Значения переменных – любые целые числа и нуль, но $b, c$ не равны нулю одновременно (в этом случае получается тривиальный куб, заполненный одним и тем же элементом $a$).
Магическая константа куба, построенного по данной формуле, вычисляется так: $S = 2(2a + 3c + 15b)$.

Интересно, что данная формула одновременно является формулой магических квадратов 8-го порядка, подобных показанному выше.

При $a = 627, b = 0, c = 9$ получаем по представленной формуле следующий совершенный магический куб, в котором фигурируют четыре cмита:

627 627 654 654   645 645 636 636   654 654 627 627   636 636 645 645
654 654 627 627   636 636 645 645   627 627 654 654   645 645 636 636
654 654 627 627   636 636 645 645   627 627 654 654   645 645 636 636
627 627 654 654   645 645 636 636   654 654 627 627   636 636 645 645

Можно построить куб из 16 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию. Понятно, что в этом кубе числа тоже будут повторяться. Для построения кубов из различных чисел нужны 4 арифметические прогрессии длины 16 с одинаковой разностью $b$ такие, что первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию (с разностью $c$). Из простых чисел и из чисел Смита мне неизвестны такие прогрессии (из чисел Смита не построена даже одна прогрессия длины 16).
Во множестве натуральных чисел таких арифметических прогрессий бесконечно много. Следовательно, и нетрадиционных совершенных кубов 4-го порядка по представленной формуле можно построить бесконечно много. Вот, например, один из них, при $a = 2, b = 10, c = 11$:

2 72 155 145   174 104 43 53   35 105 122 112   163 93 54 64
165 135 12 62   33 63 164 114   132 102 45 95   44 74 153 103
65 75 152 82   133 123 24 94   32 42 185 115   144 134 13 83
142 92 55 85   34 84 143 113   175 125 22 52   23 73 154 124

Магическая константа этого куба вычисляется так: $S = 2*(2*2 +3*11 + 15*10) = 374$.