0,(9)=1

[LetsGOX]

Виктор Викторов Память действительно ограничена, и компьютер не может складывать бесконечные ряды, и т.д.
Но есть алгоритмы, которые представляют эти числа в конечной форме, и зная их свойства, проводят точные операции
Никто не говорит, что это программа сложит $\pi+e$ с точностью до бесконечного знака, но зная их свойства, она делает вычисления как будто это бесконечнве числа

[Pripyat]

Каким алгоритмом можно представить бесконечную непериодическую дробь в конечной форме, и что то за форма? и что это за точные операции которые всё равно не сложат $\pi+e$ до бесконечного знака. Да они сложат их до какого то очень большого, но конечного знака. Но в этом никто и не сомневается. Просто математика в силу своей абстрактности может позволить себе работать с бесконечностью в отличие от любой техники.

[Профессор Снэйп]

Бесконечных знаков не бывает

Хотя, конечно, можно написать программу, которая по двум программам, каждая из которых вычиляет некоторое число с точностью до любого наперёд заданного разряда, выдают программу, вычисляющую сумму этих чисел с точностью до любого наперёд заданного разряда.

[AGu]

Ребят, вы чо? Речь ведь идет о символьных вычислениях. Разумеется, там есть все эти $e$ и $\pi$ -- хотя бы как просто константы, символы. И там зашиты некоторые соотношения между этими константами. И там можно «точно вычислить», например, $\pi+\pi$ -- и получится... да, вы угадали, $2\pi$. И разумеется, все что хошь там «точно не вычислишь». И причина -- ровно та же, ограниченность памяти. Можно добавлять и добавлять новые константы и новые соотношения между ними, но всякий раз вычислительные способности ограничены.

[ellipse]

Цитата:

Теперь решим вопрос, всякому ли символу вида $a_p ... a_o ...$ отвечает некоторое число $x\in E$. Оказывается, нет.

Заметим, что в силу описанного алгоритма последовательного получения
чисел $a_{p-n}\in \{0,1,..., q - 1\}$ не может случиться так, что все они, начиная с некоторого, будут одинаковы и равны $q - 1$

Математический анализ, Зорич. Гл 2, § 2, пункт Позиционная система исчисления.

0,(9)=1 либо такое число не существует?

Тема слита с существующей. // maxal

[LetsGOX]

Господа Pripyat и Профессор Снэйп!
Как я уже говорил, речь идет немного а другом, а именно о том что когда программе встречаются СИМВОЛЫ, обозначающие бексонечные непериодические десятичные дроби (Типа $\pi$ или $e$), то она работает с ними не как с бескононечными, а как с символическими записями
То есть при подсчеты выражения ${e}^{i\cdot \pi}$ не будут подставлять значения 2,71828182459045 и 3,1415926, а будут учитываться свойства этих чисел, и ответ будут ТОЧНО -1

P.S. Спасибо AGu, подправил

[LetsGOX]

ellipse По стандартным моделям теории чисел 0,(9) строго равно 1

[AGu]

LetsGOX в сообщении #232187 писал(а):

Как я уже говорил, речь идет немного а другом, а именно о том что когда программе встречаются бексонечные непериодические десятичные дроби (Типа $\pi$ или $e$), то она работает с ними не как с бескононечными, а как с символическими записями

LetsGOX неудачно выразился. Программе никаким боком не могут встретиться «бексонечные непериодические десятичные дроби», но могут встретиться символы типа $\pi$ и $e$.

[ИСН]

О господи, только не это. Явилось ещё 0.(9) чел. с теми же вопросами...

[AGu]

ellipse в сообщении #232185 писал(а):

0,(9)=1 либо такое число не существует?

По-моему, из приведенной цитаты ясно, что согласно рассматриваемому определению «символу 0,(9) не отвечает никакое число».

[LetsGOX]

AGu Да ну, а вот какое число тогда отвечает сивмолу $\pi$, или символу $e$,или вообще символу $i$ ?

[AGu]

LetsGOX в сообщении #232255 писал(а):

AGu Да ну, а вот какое число тогда отвечает сивмолу $\pi$, или символу $e$,или вообще символу $i$ ?

LetsGOX, Вы выпали из контекста. Речь идет о конкретном определении, используемом во фрагменте, процитированном в сообщении ellipse.

[Sergey-Cop]

ellipse в сообщении #232185 писал(а):

Цитата:

Теперь решим вопрос, всякому ли символу вида $a_p ... a_o ...$ отвечает некоторое число $x\in E$. Оказывается, нет.

Математический анализ, Зорич. Гл 2, § 2, пункт Позиционная система исчисления.

Чертовски трудно понять, что здесь написано. «Всякому ли символу отвечает число».
Видимо, типа того: для обозначения «1234», состоящему из нескольких цифр, нету никакого числа.

«В силу описанного», но не представленного в цитате алгоритма:

ellipse в сообщении #232185 писал(а):

Цитата:

… в силу описанного алгоритма получения чисел … не может, чтобы все они, начиная с некоторого, будут одинаковы и равны $q - 1$

Видимо, не может быть такого: «25,49999» с четырьмя девятками на конце, т.е. $q - 1$ при $q=10$.

Следовательно, в этой системе не существует числа для 0,(9).

Давайте разберем.
В позиционной системе счисления алгоритм получения чисел таков:
$199=100+90+9$
В этом алгоритме есть всё, т.е. для каждого сочетания цифр есть число (хоть сколько бы там ни было девяток на конце). Лишь бы только количество цифр было бы вполне конкретно.

Более того, в этой системе счисления
значение старшего разряда строго больше суммы всех младших,
т.е. $1000>900+90+9+0.9+0.09+…$.
И строго по этой системе счисления (позиционной) работает вычислительная (алгоритмическая) техника.

Следовательно, в этой системе, как я уже показывал ранее
$1.(0)>0.(9)$
Строгое неравенство, вследствие неравенства старших разрядов. Вот так.

И не слушайте капризных грамотеев (не будем показывать пальцем), которым, в случае бесконечного стремления к пределу, подавай конкретное значение, а там, где есть конкретное значение им, видите ли, бесконечность недоступна. Ха-ха , сами не знают, чего хотят, капризничают.

Надо ж, всё-таки, понимать, что бесконечности свойственно, что для сколь угодно большого значения существует еще большее, для сколь угодно малого значения есть еще меньше, и для сколько угодно близкого к пределу — всегда есть еще более близкое.

Это означает, что для условия $1-x=10^{-n}$ при $n \to \infty$ существует $y$, такое что $1-y=10^{-(n+1)}$.

Ха , и не надо «ля-ля», что этого $y$ никто не найдет .

-- 07 авг 2009, 14:51 --

Далее.
Ну а при соблюдении правил вычисления и по определению предела.
$x = 0,(9)$
$10x - x = 8,999...991$
Оно получается именно так, поскольку одно из слагаемых ближе к пределу, а другое дальше (каким бы способом не вычислялось, а способов несколько).

Ха-ха , «здесь ваша смерть на кончике иглы», якобы бессмертного Кощея. Аналогично получаем величину $y$.
$x = 0,(9)$
$y=0,9+0,1x$
И это самое $y$ расположено, ха-ха-ха , между значением $x = 0,(9)$ и единицей. Вот так вот.
$x<y<1$

-- 07 авг 2009, 14:53 --

Далее.

LetsGOX в сообщении #232191 писал(а):

ellipse По стандартным моделям теории чисел 0,(9) строго равно 1

Ха-ха . Кто знает русский язык, тот поймет: стандартные — модели и прочее по-русски называют словом «предрассудки».

В математике как-то принято полагаться на доказательства, а не на «стандартные модели». Но, наверное, кому как.

Ну а доказательств типа «1= –1», «0,(9)=1» предостаточно, и общее им название «математические софизмы».

Ну, и математические софизмы — тоже собирают и учитывают, но как курьезы.

-- 07 авг 2009, 14:58 --

Далее.
Непонятно, а зачем, собственно, приравнивать 0,(9) к единице.
Похоже, только лишь одна «фишка» и более ничего:

AGu в сообщении #228294 писал(а):

MGM, Вы, кажись, просто не просекли фишку. Pripyat попросил помочь убедить его собеседников

Доказательства основаны лишь на том, что, мол, в учебнике написано 1/3=0,(3). И более ничего. И нет никаких доказательств именно строгого равенства.

Ну дак, в учебнике, например, написано, что $\pi=3,14$
А еще в учебнике написано, что $\pi=3,1415$ — «хороший» повод из этого вывести целую теорию, рассматривая два выражения как строгое равенство. Ха ха ха .

Доказательства нужны, а не ссылки на «святое писание».
Вот зачем и почему нужно приравнять 0,(3) к одной трети, и что здесь применимо именно строгое равенство и т.д.
Да и вообще, следовало бы знать, какой смысл вкладывается в равенство 1/3=0,(3). Вы будете делить, делить, делить, и никогда не разделите единицу на три. Ха ха ха . Держу пари, что в «вашем» учебнике примерно так и сказано, ведь тема-то на иррациональные числа (а до понятия бесконечности и предела ученикам еще о-ох как долго).

[Vallav]

Выполняется ли 0,(9) =1?
Все зависит от того, что понимается под строкой 0,(9).
Если так обозначен предел рациональной последовательности типа
0; 0,9; 0.99; 0,999 ...
То этот предел в точности равен 1.
Если строкой 0,(9) обозначено что то другое, тогда - что именно?

[Коровьев]

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

Ха-ха , сами не знают, чего хотят, капризничают.

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

Ха , и не надо «ля-ля», что этого $y$ никто не найдет

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

Ха-ха , «здесь ваша смерть на кончике иглы»

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

расположено, ха-ха-ха

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

Ха-ха . Кто знает русский язык

Sergey-Cop в сообщении #233527 писал(а):

как строгое равенство. Ха ха ха .

Vallav в сообщении #233543 писал(а):

не разделите единицу на три. Ха ха ха

Не понял, что за символ ха применённый 15 раз? И не ошибся ли автор форумом?