Почему дивергенция указывает на сток или источник?

[t3rmin41]

Собственно, тема в названии. Попутно вопрос - почему ротор показывает завихрение линий?

Ссылки, где доходчиво, но в то же время математически объясняется - приветствуются.

[Brukvalub]

t3rmin41 в сообщении #177766 писал(а):

Попутно вопрос - почему ротор показывает завихрение линий?

Интересно, завихрение каких линий показывает ротор?

[t3rmin41]

возможно, я не знаю всей теории поля, но из физики я знаю такие формулы

$rot $\mathbf{E}$ = 0 $ для электростатического поля, создаваемого зарядом, силовые линии которого - прямые линии. Раз $rot $\mathbf{E}$ = 0 $, значит, они прямые. Это говорит опыт. И наоборот, для магнитного поля $rot $\mathbf{B}$ = \mu_0$\mathbf{j}$ $, а силовые линии - концентрические окружности.
В то же время, $div$\mathbf{E}$= \frac{q}{\epsilon_0}$ для электростатического поля и $div$\mathbf{B}$= 0$ для магнитного. Первая формула выражает, что источником (или стоком) электростатического поля является заряд, вторая - что никаких "магнитных зарядов" (монополей) в природе не обнаружено.

Brukvalub, если вы - математик и не знаете абсолютно никаких физических законов, то я готов простить вам ваш вопрос. А если вы придуриваетесь (к чему я склоняюсь), то не стоит - я и так знаю, кто вы такой. Придуривайтесь в другом месте.

[ewert]

не надо ни к кому придуриваться.

Собственно, по теме (мне казалось, что я уже отвечал, но -- видать не сложилось).

Так вот. Ежели дивергенция в данной точке больше нуля (к примеру), то поток вектора через бесконечно маленькую поверхность, окружающую данную точку, тоже положителен. И в этом смысле поле истекает из этой точки.

Примерно то же относится и к ротору.

Но, заметьте: это всё -- не более чем лирика. Формально же: формулы либо есть, либо их нет.

[Someone]

t3rmin41 в сообщении #177797 писал(а):

Раз $rot $\mathbf{E}$ = 0 $, значит, они прямые. Это говорит опыт.

Какой опыт?

А какой ротор и какие силовые линии у поля $\vec F=x\vec i+2y\vec j+3z\vec k$?

Формулу даже не смогли по-человечески написать: $\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{E}=\mathbf{0}$.

$\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{E}=\mathbf{0}$

[t3rmin41]

ewert писал(а):

Так вот. Ежели дивергенция в данной точке больше нуля (к примеру), то поток вектора через бесконечно маленькую поверхность, окружающую данную точку, тоже положителен. И в этом смысле поле истекает из этой точки.

Хм... Нет, наверно всё-таки стоит этот вопрос в разделе "Физика" задать. Потому что я не понял, почему именно ненулевая дивергенция в данной точке указывает, что в той точке источник поля, а не например ротор или лапласиан.

Добавлено спустя 10 минут 42 секунды:

Someone писал(а):

Какой опыт?

Электростатика. Теорема Гаусса в частности. Я конечно, не проверял, но так пишут в учебнике. В принципе, логично определяется.

Цитата:

А какой ротор и какие силовые линии у поля $\vec F=x\vec i+2y\vec j+3z\vec k$?

rot $\vec F=0

$\vec F = \vec F (x,y,z)$ линейно зависит от координат. К тому же, нет произведения координат.

Силовые линии - прямые линии, насколько мне известно.

Цитата:

Формулу даже не смогли по-человечески написать: $\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{E}=\mathbf{0}$.

$\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{E}=\mathbf{0}$

Ну где мне уж до асов написания формул В то же время, согласитесь, что это лучше, чем я бы писал div E=q0/e

[Someone]

t3rmin41 в сообщении #177814 писал(а):

Силовые линии - прямые линии, насколько мне известно.

А если без "известно", взять и рассчитать? Например, силовую линию, проходящую через точку $M(1;1;1)$. Чтобы убедиться, что она действительно прямая.

t3rmin41 в сообщении #177814 писал(а):

В то же время, согласитесь, что это лучше, чем я бы писал div E=q0/e

Модератору Ваше "лучше" может не понравиться, и тема окажется в "Карантине".

Пара долларов, окружающих формулу, должна быть только одна: $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{E}=\frac{q_0}e$.

$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{E}=\frac{q_0}e$

Добавлено спустя 1 минуту 45 секунд:

Someone в сообщении #177823 писал(а):

Ну где мне уж до асов написания формул

Почитайте темы http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html.

[t3rmin41]

Someone писал(а):

t3rmin41 в сообщении #177814 писал(а):

Силовые линии - прямые линии, насколько мне известно.

А если без "известно", взять и рассчитать? Например, силовую линию, проходящую через точку $M(1;1;1)$. Чтобы убедиться, что она действительно прямая.

Но она-то прямая. Да, можно составлять детерминант и считать, но я же вижу, что орты линейно (пусть и с разными коэфициентами) умножаются на координаты.

Насчёт написания формул согласен, буду стараться писать их корректно. У меня просто не так много сообщений (=опыта), чтобы отличать, когда надо два $, когда один.

Тем не менее, вопрос остаётся для меня открытым:
Почему именно дивергенция указывает на источник поля (причём векторного), а не например лапласиан или ротор?

[Gafield]

Цитата:

Хм... Нет, наверно всё-таки стоит этот вопрос в разделе "Физика" задать. Потому что я не понял, почему именно ненулевая дивергенция в данной точке указывает, что в той точке источник поля, а не например ротор или лапласиан.

Ну, формулу надо знать, уже упоминавшуюся

Цитата:

Так вот. Ежели дивергенция в данной точке больше нуля (к примеру), то поток вектора через бесконечно маленькую поверхность, окружающую данную точку, тоже положителен. И в этом смысле поле истекает из этой точки.

Все та же теорема Гаусса. Если же поле - градиент от потенциала, то дивергенция от него (градиента) - лапласиан, что интерпретируется как плосность источников.

А divergence означает расходимость. Если внутри маленькой сферы сумма зарядов не равна нулю, то векторное поле на ее поверхности будет смотреть в разные стороны - расходиться.
Или, можно сказать, расстояние между точками, движущимися со сферы по соседним интегральным линиям, будет увеличиваться.

[t3rmin41]

$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$

Формулу-то я знаю. И что с того? Мне непонятен смысл её. Вот например с градиентом как: градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро. Скажем, возьмём функцию только от $x$ : $f(x)=x^2$ Дифференцируя $\frac{df}{dx}=2x$ и умножив на орты (в данном случае, только на один - $\vec i, должны получить направление возрастание функции. Если начертим график, действительно, чем больше $x$, тем

$$\mathop{\mathrm{grad}} f(x)$$

ближе к перпендикуляры с осью абсцисс. Т.е. действительно градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро.

А с дивергенцией как?

[Someone]

t3rmin41 в сообщении #177825 писал(а):

Но она-то прямая.

А что такое "силовая линия поля"?

Мне кажется, чем хамить Brukvalubу, который наверняка знает физику лучше Вас, Вам следовало бы разобраться, что такое силовая линия и следует ли её "прямизна" из равенства ротора нулю.

t3rmin41 в сообщении #177825 писал(а):

Насчёт написания формул согласен, буду стараться писать их корректно. У меня просто не так много сообщений (=опыта), чтобы отличать, когда надо два $, когда один.

Сравните $\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{E}=\frac{q_0}e$ и

$$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{E}=\frac{q_0}e$$

.

$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{E}=\frac{q_0}e$ и $$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{E}=\frac{q_0}e$$

[t3rmin41]

"Силовые линии электрического поля - воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электрического поля в этой точке."(c)

Так хорошо?

По-моему, вы ушли от темы.

Я уверен на 99%, что Brukvalub знает физику лучше меня, тем не менее делает вид, что не понимает, о чём речь. Встречал я и таких преподавателей. Ничего хорошего о них сказать не могу, а если начну говорить, то будет слишком грубо. Если человек хорошо знает свою область знаний, из этого совсем не следует, что человеческие качества у него на высоте. Приходилось встречать и таких, и таких. На форуме я о человеке сужу со стороны человеческих качеств. Если бы я принимал на работу, то судил бы несколько по-другому.

Нет, не следует, если например $ \vec F = x^2 \vec i + 3y \vec j + z^2 \vec k$ то хоть и $\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{F}=0$ линии непрямые.

В принципе, мне не очень нужно математически полностью строгое доказательство. У вас-то опыта побольше в этих делах, наверняка приходилось встречаться с материалами, в которых достаточно понятно описываются эти вещи.

С этой точки зрения мне ещё больше непонятна позиция Brukvalubа, потому что делая вид что не понимает о чём речь в моём сообщении, создаётся впечатление, что он сам не понимает, о чём говорит. Я - может быть, до конца и не понимаю, но я-то учусь дивергенциям, роторам и градиентам только второй год, а преподаватель сколько лет имеет с ними дело? За такое время, знаете ли, медведя можно научить решать диф. уравнения.

[Someone]

t3rmin41 в сообщении #177838 писал(а):

Нет, не следует, если например $ \vec F = x^2 \vec i + 3y \vec j + z^2 \vec k$ то хоть и $\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{F}=0$ линии непрямые.

В моём примере силовые линии (они же - векторные линии, они же - линии тока) тоже не прямые. В частности, линия, проходящая через точку $M(1;1;1)$, имеет уравнение

$$\begin{cases}y=x^2\text{,}\\ z=x^3\text{.}\end{cases}$$

Видите, Вы сформулировали неправильное утверждение, и, основываясь на нём, нахамили Brukvalubу. А он отметил действительно малоосмысленную фразу в Вашем сообщении. Brukvalub всего лишь хочет, чтобы Вы сформулировали вопрос более внятно.

t3rmin41 в сообщении #177833 писал(а):

$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$

Формулу-то я знаю.

Это не та формула. Имелась в виду, как я понимаю, формула Гаусса. Это ведь она связывает поток векторного поля с дивергенцией.

[t3rmin41]

Someone писал(а):

В моём примере силовые линии (они же - векторные линии, они же - линии тока) тоже не прямые. В частности, линия, проходящая через точку $M(1;1;1)$, имеет уравнение

$$\begin{cases}y=x^2\text{,}\\ z=x^3\text{.}\end{cases}$$

Хм... Вы не могли бы привести вычисления и формулы, которыми пользовались?

Цитата:

Brukvalub всего лишь хочет, чтобы Вы сформулировали вопрос более внятно.

Видите ли, тут есть такая небольшая проблема. Я не умею читать чужие мысли и "кто что хочет сказать", знать не могу. Телепаты, быть может, есть в другом месте. Если вопрос задан некорректно - так и скажите. Я знаю, что Brukvalub любит ехидничать, но как правило, дальше этого дело не доходит.
Я понимаю, что Brukvalub тоже не умеет читать мысли, но если утверждение неправильное - надо доказать, что оно неправильное. Иначе до того момента оно может быть и правильным, и неправильным. Повторюсь, с дивергенциями и роторами хорошо не знаком, поэтому и прошу доступно объяснить. Если нету времени объяснять, но есть ссылки - всегда пожалуйста. Нету ни того, ни другого - не обижусь

t3rmin41 в сообщении #177833 писал(а):

Цитата:

$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$

Формулу-то я знаю.

Это не та формула. Имелась в виду, как я понимаю, формула Гаусса. Это ведь она связывает поток векторного поля с дивергенцией.

Нет, это именно та формула, с которой я хочу разобраться. Необязательно с электростатическим или магнитным полем - с ними физически можно разобраться, даже без всяких формул. Фарадей в конечном счёте свой закон об индуцированной ЭДС открыл безо всяких формул, роторов и дивергенций. Насколько помню, Фарадею никто не говорил, что $\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{E}=\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ Меня интересует, почему первая производная от вектора (если принять, что y,z=const а меняется только x), если она не равна нулю, показывает, что там источник этого векторного поля. Ведь векторным полем может быть и скорость течения жидкости.

[TOTAL]

t3rmin41 писал(а):

Формулу-то я знаю. И что с того? Мне непонятен смысл её. Вот например с градиентом как: градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро.

А почему градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро?