Почему дивергенция указывает на сток или источник?

[t3rmin41]

TOTAL писал(а):

t3rmin41 писал(а):

Формулу-то я знаю. И что с того? Мне непонятен смысл её. Вот например с градиентом как: градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро.

А почему градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро?

Я же уже писал, наверху, но так и быть, напишу ещё раз. Скопировать нетрудно

С градиентом как: градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро. Скажем, возьмём функцию только от $x$ : $f(x)=x^2$ Дифференцируя $\frac{df}{dx}=2x$ и умножив на орты (в данном случае, только на один - $\vec i, должны получить направление возрастание функции. Если начертим график, действительно, чем больше $x$, тем

$$\mathop{\mathrm{grad}} f(x)$$

ближе к перпендикуляры с осью абсцисс. Т.е. действительно градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро.

К этому добавлю, что если например взять градиент параболы в точках x=5 и x=-5 и умножить на орт, то получатся разные ответы, но в обоих случаях - градиент направлен вверх по ветвям параболы. Думаю, не ошибусь, если скажу, что с повышением значения числа разница между соседними числами увеличивается (у параболы). Т.е. действительно, градиент показывает не тупо какое-то направление, а направление наиболее быстрого изменения функции.


К слову, возвращаясь к ротору, наверно, он всё-таки показывает не то, прямые или нет линии поля, а на то, замкнуты они или нет.
В то же время, вихревое поле - это и есть поле с замкнутыми силовыми линиями.
Возможно, термин "завихрённость" и звучит коряво, но в целом смысл уловить можно. Простите за корявость.

Поэтому, Someone в самом первом сообщении я не писал, что если ротор равен 0, то линии прямые. Я написал, "завихрены" линии или нет в таком случае. Поэтому Brukvalub никак не мог знать, что я ошибочно предполагал, что если орты линейно умножаются на координаты, значит линии - прямые.

Я не спорю, возможно, я вообще не понимаю, на что указывает ненулевой ротор, если и на замкнутость линий он не указывает.
Повторюсь, преподаватель имеет дело с дивергенциями и роторами гораздо больше времени, чем любой из студентов.

[ewert]

Это всё-таки разные вопросы. Градиент показывает направление в некотором смысле по определению (во всяком случае, по определению "наискорейшести"). А вот "расходимость" -- это всего лишь интерпретация.

Теорема Остроградского-Гаусса:

$$\iint_{\partial\Omega}\overrightarrow f\cdot\overrightarrow{dS}=\iiint_{\Omega}{\rm div}\,\overrightarrow f\;dV$$

говорит о том, что если дивергенция внутри области $\Omega$ более-менее положительна, то и поток поля через границу $\partial\Omega$ тоже положителен. Типичной ситуацией, в которой это так, будет случай, когда линии поля выходят откуда-то изнутри области. Типичной -- но вовсе не обязательной: вполне может быть и так, что на каких-то участках границы линии входят, на каких-то -- выходят. Более того, для гладких полей (когда источники "размазаны") именно так, скорее всего, и будет. Тогда дивергенцию интерпретируют как расходимость просто по аналогии.

[TOTAL]

t3rmin41 писал(а):

Я же уже писал, наверху, но так и быть, напишу ещё раз. Скопировать нетрудно

С градиентом как: градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро. Скажем, возьмём функцию только от $x$ : $f(x)=x^2$ Дифференцируя $\frac{df}{dx}=2x$ и умножив на орты (в данном случае, только на один - $\vec i, должны получить направление возрастание функции. Если начертим график, действительно, чем больше $x$, тем

$$\mathop{\mathrm{grad}} f(x)$$

ближе к перпендикуляры с осью абсцисс. Т.е. действительно градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро.

Не понял. Здесь всего лишь написано, что если функция зависит только от $x$, то она изменяется только в направлении $x$.

Когда Вы спрашиваете о том, почему в точке, где дивергенция отлична от нуля, в векторном поле имеется источник (сток), то сначала объясните, что Вы подразумеваете, когда говорите, что имеется источник. Затем это Ваше представление об источнике запишите математически. Посмотрим, что получится.

[t3rmin41]

Про поток вроде ясно, если линии входят и выходят, каких линий больше, от этого и зависит, поток положительный или отрицательный. Но вот как с этим связана дивергенция?
А именно, первая производная по координате?

Можно ссылками. Но не в Сибирь или куда подальше, всё равно туда не поеду

Добавлено спустя 13 минут 22 секунды:

TOTAL писал(а):

Не понял. Здесь всего лишь написано, что если функция зависит только от $x$, то она изменяется только в направлении $x$.

А как же градиент в точке? Когда в симметричных точках с разными знаками берём градиент, то он показывает разные стороны, но в обоих случаях - вверх по параболе.
Да, если просто найти производную - может, и не совсем ясно. Но если производную в точке, всё становится на свои места.

Цитата:

Когда Вы спрашиваете о том, почему в точке, где дивергенция отлична от нуля, в векторном поле имеется источник (сток), то сначала объясните, что Вы подразумеваете, когда говорите, что имеется источник. Затем это Ваше представление об источнике запишите математически. Посмотрим, что получится.

Если

$$\oint_S \vec F d\vec S \neq 0 $$

то внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью S находится источник векторного поля

$$ \vec F $$

. Т.е. по сумме векторов через площадь. В предельном случае - по интегралу. По-моему правильно.

[Someone]

t3rmin41 в сообщении #177766 писал(а):

Попутно вопрос - почему ротор показывает завихрение линий?

t3rmin41 в сообщении #177875 писал(а):

Поэтому, Someone в самом первом сообщении я не писал, что если ротор равен 0, то линии прямые. Я написал, "завихрены" линии или нет в таком случае. Поэтому Brukvalub никак не мог знать, что я ошибочно предполагал, что если орты линейно умножаются на координаты, значит линии - прямые.

А Brukvalub не делал никаких предположений. Вы сформулировали бессмысленный вопрос. Вопрос это совершенно бессмысленный, поскольку невозможно понять, ни какие линии Вы имеете в виду, ни что такое "завихрение" линий.

t3rmin41 в сообщении #177844 писал(а):

Я знаю, что Brukvalub любит ехидничать, но как правило, дальше этого дело не доходит.

Это неправда. Если вопрос сформулирован вразумительно, то Brukvalub не ехидничает и отвечает также вразумительно.

Но хватит про Brukvalubа.

t3rmin41 в сообщении #177875 писал(а):

К этому добавлю, что если например взять градиент параболы в точках x=5 и x=-5 и умножить на орт, то получатся разные ответы, но в обоих случаях - градиент направлен вверх по ветвям параболы.

Вы снова начинаете формулировать непонятные утверждения. Что такое "градиент параболы"?

t3rmin41 в сообщении #177875 писал(а):

К слову, возвращаясь к ротору, наверно, он всё-таки показывает не то, прямые или нет линии поля, а на то, замкнуты они или нет.

Это неверно.

t3rmin41 в сообщении #177881 писал(а):

Про поток вроде ясно, если линии входят и выходят, каких линий больше

В каком смысле "больше"?

t3rmin41 в сообщении #177881 писал(а):

от этого и зависит, поток положительный или отрицательный. Но вот как с этим связана дивергенция?

Формулой Гаусса. Вам ведь это неоднократно говорилось.

t3rmin41 в сообщении #177881 писал(а):

А именно, первая производная по координате?

В одномерном случае формула Гаусса превращается в формулу Ньютона - Лейбница. Если интерпретировать разность значений функции на концах отрезка как "поток" через границу отрезка, то он равен интегралу от производной функции по этому отрезку. Если производная ("дивергенция") положительна, то интеграл положителен, и "поток" тоже положителен, то есть, "выходит" из отрезка больше, чем "входит". Когда "выходит" больше, чем "входит", то избыток того, что "выходит", откуда-то должен браться, то есть, внутри есть "источник".

t3rmin41 в сообщении #177844 писал(а):

Хм... Вы не могли бы привести вычисления и формулы, которыми пользовались?

Для векторного поля $\vec F=u(x,y,z)\vec i+v(x,y,z)\vec j+w(x,y,z)\vec k$ линии тока определяются системой дифференциальных уравнений $\frac{dx}{u(x,y,z)}=\frac{dy}{v(x,y,z)}=\frac{dz}{w(x,y,z)}$. Кстати, я давал ссылку (щёлкните по слову "ссылку").

[Gafield]

t3rmin41 писал(а):

Формулу-то я знаю. И что с того? Мне непонятен смысл её. Вот например с градиентом как: градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро. Скажем, возьмём функцию только от $x$ : $f(x)=x^2$ Дифференцируя $\frac{df}{dx}=2x$ и умножив на орты (в данном случае, только на один - $\vec i, должны получить направление возрастание функции. Если начертим график, действительно, чем больше $x$, тем

$$\mathop{\mathrm{grad}} f(x)$$

ближе к перпендикуляры с осью абсцисс. Т.е. действительно градиент показывает направление, в котором функция меняется наиболее быстро.

А с дивергенцией как?

А вот как раз не стоит упираться в формулу. Имеет смысл разобраться с геометрическим (безкоординатным) подходом. Формулу ewert уже писал. В предельном варианте:

$$\mathop{\mathrm{div}}\bar f(x)=\frac1{|V_r|}\lim_{r\to+0}\int_{S_r(x)}(\bar f,\bar n)\,ds$$

, где $V_r$ - объем сферы $S_r(x)$. То есть, если на поверхности очень маленькой сферы $S_r(x)$ векторное поле $f$ торчит преимущественно наружу, то дивергенция (расходимость) поля в точке положительна, внутрь - отрицательна. У параллельного поля в один бок сферы векторы входят, в другой выходят, и дивергенция равна нулю. Ну, а формула получается, какая получается. И будет она такой только для декартовых координат. А если не знать, откуда она берется, то извлекать из нее что-то это отдельный труд. Например, еще надо проверять, что эта величина - инвариант вроде градиента (не меняется при поворотах системы координат).

[t3rmin41]

Someone писал(а):

t3rmin41 в [url=http://dxdy.ru/post177766.html]сообщении

Но хватит про Brukvalubа.

Согласен, и в правду хватит. Поймите, я не хочу ни защищать, ни оправдывать. У каждого преподавателя свой подход, как в принципе, у любого человека. Просто я открыто выражаю собственное мнение, что подход Brukvalubа с моей точки зрения иррационален. Преподаватель не обязан быть как бы другом студенту. Но и ехидничая, такой преподаватель, на мой взгляд, опускается не то что до уровня студента, а ещё и ниже. Мне всё-таки хочется верить, что профессура, люди с высшим образованием, так скажем, сливки общества, а не всякие там Собчак или "Дом-2".
Ладно, это моё последнее замечания касательно Brukvalubа. И не провоцируйте

[quote]
[quote="t3rmin41 в сообщении #177875 писал(а):

К этому добавлю, что если например взять градиент параболы в точках x=5 и x=-5 и умножить на орт, то получатся разные ответы, но в обоих случаях - градиент направлен вверх по ветвям параболы.

Вы снова начинаете формулировать непонятные утверждения. Что такое "градиент параболы"?

[Brukvalub]

t3rmin41 в сообщении #178170 писал(а):

Просто я открыто выражаю собственное мнение, что подход Brukvalubа с моей точки зрения иррационален. Преподаватель не обязан быть как бы другом студенту. Но и ехидничая, такой преподаватель, на мой взгляд, опускается не то что до уровня студента, а ещё и ниже. Мне всё-таки хочется верить, что профессура, люди с высшим образованием, так скажем, сливки общества, а не всякие там Собчак или "Дом-2".
Ладно, это моё последнее замечания касательно Brukvalubа.

вы, деточка, хам и сопляк, не вам меня воспитывать.
Сначала поучитесь вежливости, ума наберитесь, научитесь учить других, а потом философствуйте на темы методик обучения.
А то, видишь ли, явился на форум со своим уставом, сразу начал всех поучать: "здесь мне не так сказали, там меня не так научили". А все вокруг него бегают, в рот ему заглядывают, "что еще вашему высочеству, t3rmin41, не понравилось, где еще нам вашему преосвященству угодить надобно? Сначала неплохо бы выучить пословицу: "яйца курицу не учат".
НЕ НРАВИТСЯ - НЕ ЕШЬ!

[t3rmin41]

Brukvalub писал(а):

t3rmin41 в сообщении #178170 писал(а):

Просто я открыто выражаю собственное мнение, что подход Brukvalubа с моей точки зрения иррационален. Преподаватель не обязан быть как бы другом студенту. Но и ехидничая, такой преподаватель, на мой взгляд, опускается не то что до уровня студента, а ещё и ниже. Мне всё-таки хочется верить, что профессура, люди с высшим образованием, так скажем, сливки общества, а не всякие там Собчак или "Дом-2".
Ладно, это моё последнее замечания касательно Brukvalubа.

вы, деточка, хам и сопляк, не вам меня воспитывать.
Сначала поучитесь вежливости, ума наберитесь, научитесь учить других, а потом философствуйте на темы методик обучения.
А то, видишь ли, явился на форум со своим уставом, сразу начал всех поучать: "здесь мне не так сказали, там меня не так научили". А все вокруг него бегают, в рот ему заглядывают, "что еще вашему высочеству, t3rmin41, не понравилось, где еще нам вашему преосвященству угодить надобно? Сначала неплохо бы выучить пословицу: "яйца курицу не учат".
НЕ НРАВИТСЯ - НЕ ЕШЬ!

Допустим, я $\in$ множеству $X$ на Brukvalubовом пространтсве, определённом "хам и сопляк". А кто после этого вы? И после этого вы утверждаете, что достойны звания "человек с высшим образованием"?
Не собираюсь воспитывать, воспитывать вас должны были мама с папой. Смотрю, не очень-то ... ну да ладно.
Никого не заставляю бегать, меня эта тема заинтересовала не потому что "памагите заффтра игзамин, а этат вапрос в билете", а чисто из любопытства.
Яйца курицу-то может и не учат, но я не яйцо и не курица.


Вопрос про ротор не снимается.

[ewert]

А с ротором -- ровно та же песня. Если силовые линии закручены, то циркуляция по малому контуру ненулевая, а циркуляции по формуле Стокса отвечает ненулевой ротор.

Gafield в сообщении #178169 писал(а):

Например, еще надо проверять, что эта величина - инвариант вроде градиента (не меняется при поворотах системы координат).

Между прочим, не больно-то и надо. Инвариантность дивергенции (как и ротора) по существу следует из инвариантности градиента.

(Ну или из ф-лы Остроградского-Гаусса, да.)

[Brukvalub]

t3rmin41 в сообщении #178181 писал(а):

Никого не заставляю бегать, меня эта тема заинтересовала

Да вас, голубчик, не тема заинтересовала, вас заинтересовало меня "построить". Вместо обсуждения сути вопроса вы целую страницу здесь "распинаетесь" о том, как плохо я вас учу, какой я язвительный и "дерзкий". При этом, еще никого ничему сам не научив, вы вдаетесь в пространные наставления для других, как они должны учить вас, не замечая, что все это - "дерзкий офтопик" в этой теме. А, чтобы не быть голословным, вот выдержки из ваших "монологов":

t3rmin41 в сообщении #177797 писал(а):

Brukvalub, если вы - математик и не знаете абсолютно никаких физических законов, то я готов простить вам ваш вопрос. А если вы придуриваетесь (к чему я склоняюсь), то не стоит - я и так знаю, кто вы такой. Придуривайтесь в другом месте.

t3rmin41 в сообщении #177838 писал(а):

Я уверен на 99%, что Brukvalub знает физику лучше меня, тем не менее делает вид, что не понимает, о чём речь. Встречал я и таких преподавателей. Ничего хорошего о них сказать не могу, а если начну говорить, то будет слишком грубо. Если человек хорошо знает свою область знаний, из этого совсем не следует, что человеческие качества у него на высоте. Приходилось встречать и таких, и таких. На форуме я о человеке сужу со стороны человеческих качеств. Если бы я принимал на работу, то судил бы несколько по-другому.

t3rmin41 в сообщении #177838 писал(а):

С этой точки зрения мне ещё больше непонятна позиция Brukvalubа, потому что делая вид что не понимает о чём речь в моём сообщении, создаётся впечатление, что он сам не понимает, о чём говорит. Я - может быть, до конца и не понимаю, но я-то учусь дивергенциям, роторам и градиентам только второй год, а преподаватель сколько лет имеет с ними дело? За такое время, знаете ли, медведя можно научить решать диф. уравнения.

t3rmin41 в сообщении #177844 писал(а):

Я знаю, что Brukvalub любит ехидничать, но как правило, дальше этого дело не доходит.
Я понимаю, что Brukvalub тоже не умеет читать мысли, но если утверждение неправильное - надо доказать, что оно неправильное. Иначе до того момента оно может быть и правильным, и неправильным.

Так вот, еще раз МЕДЛЕННО объясняю: с того момента, как вы оторвались от горшка, прошло слишком мало времени, чтобы вы имели право поучать меня, как мне нужно учить других. Сначала сами хоть чего-нибудь достигните в этой жизни, а потом беритесь учить методике преподавания человека с 27-летним педагогическим стажем.

[вздымщик Цыпа]

Что-то в этой теме происходит не то. И хоть заклинание призыва модератора и относится к разряду неспортивных, но читать это дальше без него не представляется возмозможным.
Модератор! Модератор! Модератор! Модератор!

[Brukvalub]

вздымщик Цыпа в сообщении #178196 писал(а):

Модератор! Модератор! Модератор! Модератор!

См: http://dxdy.ru/topic16163.html

[ewert]

а чего там смотреть?

Я вот тоже предлагаю "брейк".

[вздымщик Цыпа]

Brukvalub в сообщении #178198 писал(а):

См: http://dxdy.ru/topic16163.html

Дык, читал. И даже писал.

Модератор безусловно полезен. Вот Вы можете в один хук урезонить такого придурка, как pc20b? Я не могу. Это нужна многолетняя тренировка, чтоб стремительной контр-троллинговой операцией привести дискуссию в правильное русло. Или сдетектировать условия собственного неввязывания в нее. Не у всех она есть, и в помощь тем, у кого ее нет и есть модераторы