Еще один штурм основ квантовой механики (от любителя)

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1727392 писал(а):

а это что вектор в гильбертовом прострастве...

Нет, конечно. Матрица плотности, а не вектор. Гильбертово пространство состояний существует только у полной системы. Состояние подсистемы в общем случае можно описать только матрицей плотности. Вектору состояния системы тоже естественным образом сопоставляется матрица плотности первого ранга: существует естественный изоморфизм между эрмитовыми матрицами первого ранга и ненулевыми векторами.

pppppppo_98 в сообщении #1727392 писал(а):

Вот в этом вся ваша теориия декоггерентеости и стоит - давайте щабудем о какой нибудт корреляции - это ж ведт не на что не влияет

Нет, мы ни про что не забываем просто по нашему желанию. У нас есть наблюдаемая над подсистемой. Мы наблюдаемую над подсистемой расширяем до наблюдаемой над всей системой единичным оператором над всеми остальными координатами: исходная наблюдаемая на них не действует. И измерение состояния полной системы при помощи расширенной наблюдаемой оказывается эквивалентно измерению исходной наблюдаемой матрицы плотности подсистемы, получаемой взятием частичного следа по всем остальным не интересным нашей исходной наблюдаемой координатам.

[maregor]

надеюсь, я не нарушу возникшую дискуссию, если иногда буду задавать детские вопросы. Более 40 лет назад мне довелось изучать матричный анализ. у меня возникло желание понять следующее:
1. квантовые векторы попадают под определение матриц?
2. сложность работы с матрицами в пору моего их изучения заключалась в том, что члены матриц выражались вовсе не единицами и нулями, и операции с ними убивали всякое желание иметь с ними дело. В популярных материалах по КМ векторы содержат в своих определениях единицы и нули. Это всегда так, или мне надо подготовиться к тому, что понадобятся сложные вычисления?

[realeugene]

maregor в сообщении #1727410 писал(а):

Это всегда так, или мне надо подготовиться к тому, что понадобятся сложные вычисления?

Гораздо более сложные, чем вы думаете. Во-первых, все числа комплексные. Во-вторых, матрицы нередко бесконечные...

[maregor]

с комплексными числами я надеюсь справиться (при условии что это будет комплексная единица). но перемножать дроби - до сих пор в памяти уныние, калькуляторы были далеко не у всех

[realeugene]

maregor в сообщении #1727413 писал(а):

но перемножать дроби - до сих пор в памяти уныние, калькуляторы были далеко не у всех

Если вас страшит перемножение дробей, то ваш уровень знания школьной математики совершенно не достаточен для ныряния в кванты. Забудьте, это не ваше.

[maregor]

realeugene в сообщении #1727414 писал(а):

Забудьте, это не ваше.

Спасибо на добром слове. вообще то вопрос был "Это всегда так, или мне надо подготовиться к тому, что понадобятся сложные вычисления?"

[realeugene]

maregor в сообщении #1727415 писал(а):

Спасибо на добром слове. вообще то вопрос был "Это всегда так, или мне надо подготовиться к тому, что понадобятся сложные вычисления?"

Это объективно. Ваш нынешний математический уровень очевидно недостаточен для квантов, и подготовиться к сложности этих вычислений вы уже не сможете: вы опоздали, у вас уже нет ни мозгов, ни мотивации юного студента, который смог бы это достаточно быстро и эффективно освоить.

[maregor]

realeugene в сообщении #1727416 писал(а):

вы опоздали, у вас уже нет ни мозгов, ни мотивации юного студента, который смог бы это достаточно быстро и эффективно освоить.

я легко перенесу ваше пренебрежение состоянием моих мозгов. Но что вы сможете предложить что бы я не стал сомневаться в состоянии ваших? что вы умеете, кроме как доносить студентам то, что уже написано в книгах, написанных не вами?

[Ende]

Убедительная просьба к обоим участникам диалога прекратить обмен любезностями.

[Cos(x-pi/2)]

maregor
Если поначалу ограничиться только упомянутыми выше сюжетами (про отсутствие или наличие интерференции и т.п.), то операции с матрицами не понадобятся. Важно будет не бояться и не лениться думать о действиях с комплексными числами, а также о действиях с векторами, которые кое в чём аналогичны школьной векторной алгебре. Сложных вычислений не будет; в основном будут действия с символическими записями (похожие на школьную алгебру - типа перемножить буквенные выражения, написанные в скобках; т.е. надо будет просто не лениться подставлять одни выражения в другие выражения и раскрывать скобки).

Если желаете попробовать двигаться к КМ таким путём, то советую для начала вообще не думать о КМ, а сначала потренироваться действовать с комплексными числами.

(Вот основные сведения о комплексных числах:)

Символ $i$ (он изображает комплексное число, называемое мнимой единицей) по определению обладает характерным для него свойством:

$i\cdot i=-1.$

Здесь точкой обозначено умножение числа $i$ на число $i$, но обычно такую точку (обозначающую умножение чисел или выражений с числовыми величинами) не пишут; просто пишут сомножители рядом друг с другом.

Любое комплексное число $z$ задаётся действительной частью $\operatorname{Re}(z)$ и мнимой частью $\operatorname{Im}(z)$, либо - своими так называемыми модулем $|z|$ и фазовым множителем $e^{i\alpha}$ по формулам:

$z=\operatorname{Re}(z)+i\operatorname{Im}(z)=|z|e^{i\alpha}$

В таком равенстве число $\alpha$ действительное, в физике оно обычно называется "фазой" числа $z$ (или "аргументом" в математической литературе). Число $|z|$ тоже действительное и притом положительное для любого не равного нулю $z.$

У числа $z=0$ модуль равен нулю, а фаза не определена.

Всегда верна формула Эйлера (в ней $e$ есть число Непера, основание натурального логарифма, но численное его значение нам пока не понадобится):

$e^{i\alpha}=\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)$

(Эта формула нам будет важна для изучения интерференции, потому что синусы и косинусы хорошо подходят в качестве основы для описания интерференционных паттернов.)

Число, сопряжённое к $z$, обозначается в физике звёздочкой (а в математике чертой), оно по определению получается заменой $i$ на $(-i)$, т.е.:

$z^*=\operatorname{Re}(z)-i\operatorname{Im}(z)=|z|e^{-i\alpha}$

И вот теперь в качестве очень важного упражнения попробуйте самостоятельно сам себе вывести ответы на вопросы:

1. Чему равно произведение числа на его сопряжённое, т.е. $zz^*.$
Ответ:
$zz^*=(\operatorname{Re}(z))^2+(\operatorname{Im}(z))^2=|z|^2$

2. Для числа $z$ чему равно отношение мнимой части к действительной (если она не равна нулю), и как из этого отношения найти фазу?
Ответ:
$\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tg(\alpha)$
$\alpha=\arctg\left(\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}\right)$
К $\alpha$ можно ещё прибавить $2\pi k$, где $k=0,\pm 1, \pm 2, ...$, но число $z$ не изменяется от такого слагаемого у фазы, поэтому не пишем его (т.е. полагаем $k=0$).

Вот несколько совсем простых упражнений, для тренировки получения численных ответов и чтобы в итоге не бояться комплексных величин:

3. Напишите себе, чему равны действительная и мнимая части, модуль и фаза числа $1$.
4. Те же вопросы для числа $-1$.
5. Те же вопросы для чисел $i$ и $-i$.
6. Те же вопросы для $1+i$, для $1-i$, и для их произведения, т.е. для $(1+i)(1-i)$.

Обобщение:

7. Для числа $z=a+ib$ (где $a$ и $b$ - заданные действительные величины) напишите выражение его модуля и фазы, и то же для $z^*$.

8. Даны $z_1=|z_1|e^{i\alpha_1}$ и $z_2=|z_2|e^{i\alpha_2}$. Напишите выражение для $z_1z_2$

9. С этими же исходными данными напишите выражение для $z_1+z_2$

10. С этими же исходными данными напишите выражение для $|z_1+z_2|^2$. Привычка к написанию выражений именно такого типа нам потребуется для описания интерференции.

Если с этим разберётесь, то сообщите о таком успехе, тогда перейдём ко второму этапу - к векторам; а если нет, но желание разобраться сохранится, то задавайте вопросы (хоть детские, хоть не детские).

[maregor]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1727422 писал(а):

(Вот основные сведения о комплексных числах:)

Базовые представления о комплексных числах есть, все таки технический вуз я когда то закончил. тем не менее удобно иметь под рукой такой краткий справочник. Спасибо. Если есть такое про векторы - буду благодарен.

[eslitak]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1727376 писал(а):

Формула же (4) там на фрагменте очень удобна для разных пояснений

Оно так. Но у этой формулы есть интересная особенность: не смотря на кажущуюся простоту, её физический смысл с большим трудом укладывается в неподготовленные мозги. Тут реципиенту главное осознать, что внутри кет-скобок стоят не числа, и не векторы, и не ещё что-то такое математическое, а просто обозначения предполагаемых будущих событий. А последовательность скобок сопоставляется комбинации событий. Я, например, когда приспичило разобраться с этими квантовыми штучками, довольно долго доходил до этой простой идеи.

И насчёт комплексных чисел предложу небольшой лайфхак для начинающих "штурм" КМ: иногда комплексное число полезно осознавать как вектор двухмерного пространства (но не переусердствовать в этом!). Особенно "доставляет" красоты представление умножения одного комплексного числа на другое с единичным модулем как поворота соответствующего вектора на соответствующий угол.

-- добавлено через 11 минут --

realeugene в сообщении #1727416 писал(а):

и подготовиться к сложности этих вычислений вы уже не сможете: вы опоздали

ИМХО, не стоит отпугивать любознательных граждан подобными декларациями. Да, чтобы стать профессиональным квантовым механиком, надо, наверное, иметь "мотивацию юного студента". Но чтобы разобраться в квантовой запутанности на уровне, например, понимания смысла неравенств Белла, вовсе не требуется академических знаний по математике.

[Cos(x-pi/2)]

eslitak, всё так :)

(Но только сюжетов с неравенствами Белла лучше в этой ветке не касаться. Это сложные сюжеты. Выводятся неравенства Белла сложно, и не в КМ, а в некоторых гипотетических теориях скрытых параметров (ТСП), которые не содержатся в стандартной КМ. И, как уже известно, неравенства Белла, а с ними и эти ТСП не подтвердились квантовыми экспериментами. То есть, строго говоря, неравенства Белла относятся вообще не к КМ, которая надёжно подтверждена опытом и применима на практике, а к заведомо ошибочным теориям. Такие теории тоже по-своему интересны - в философском плане, притом специалистам; но, очевидно, начинать изучать КМ лучше не с них.)

maregor

maregor в сообщении #1727425 писал(а):

удобно иметь под рукой такой краткий справочник

Ну, на "справочник" оно не тянет. Там просто некоторые примеры того, что и в каком духе следует обдумать, и потренироваться выводить себе одно из другого. Придумывайте сам себе и решайте ещё примеры, чтобы в дальнейшем подобные действия легко выполнять без справочника, предвидеть их результат в уме. Когда дело дойдёт до КМ, там главная задача будет - вникать в неочевидную физику, излагаемую математическим языком. К тому моменту такой язык должен стать уже "родным". А если на каждом шагу лазить в справочник, то это будет пытка похуже чтения непонятного иностранного текста с поисками в словаре каждого слова.

(Вот на всякий случай ответ к упражнению 10, оно очень важное:)

$$|z_1+z_2|^2\,=\,|z_1|^2\,+\,|z_2|^2\,+\,2\cdot |z_1|\cdot |z_2|\cdot \cos(\alpha_1-\alpha_2)$$

Чтобы на эту формулу было легче смотреть, я написал в ней точки, означающие умножение. Их можно не писать, и обычно их не пишут. Нетрудно заметить также, что $|z_1|\cdot |z_2|=|z_1z_2|$, т.е. в таком виде тоже можно написать зависящий от $|z_1|$ и $|z_2|$ сомножитель перед косинусом.

Про векторы постараюсь написать, но не знаю, как скоро получится; на это потребуется много времени.

[pppppppo_98]

eslitak в сообщении #1727431 писал(а):

Но чтобы разобраться в квантовой запутанности на уровне, например, понимания смысла неравенств Белла, вовсе не требуется академических знаний по математике.

нене. там нужно знание тензорных произведений (ибо пара то экспериментальных частиц сцепленная ). Ежели чо, у нас на курсе линейной алгебры этого не было, ужо на курсе квантовой механике это появлялось, и понимали далеко не все... А я в МФТИ учился... Отдельная еще песня о бра и кет векторах (ака формы т собственно вектора состояний). На курсе линейной алгебры их упоминали, но ввиду того,что на линейной алгебре учат то конечномерные пространства, то как бы и отличи то особо нет (но препы как сейчас помню - они наверное мехмат заканчивали - задумчиво поднимали головы вверх когда рассказывали о формах)...И только через полтора года начинался функан, и начинали вылезать все косяки связанные с различием векторов и форм... правда все это снова же для бесконечномерных систем, для конечномерных систем косяков нет

[Ende]

maregor в сообщении #1727460 писал(а):

После вчерашних баталий приступил к делу конкретному - восстановление своего понимания комплексного исчисления. сразу всплыл вопрос - связь между тригонометрическими функциями и числа е. число пи, создающее тригонометрию, и е - вычисление банковского процента? Существует ли классическое описание этой связи? лучше пока даже просто философское, без сложной математики?

Выделена тема «Формула Эйлера»
Если хотите задать вопрос по математике, создайте тему в разделе «Помогите решить / разобраться (М)».

maregor в сообщении #1727460 писал(а):

думаю, позже научусь пользоваться формульным редактором

Нет уж, если вопрос требует формул, то научитесь, пожалуйста, сейчас. Кошмар в стиле "e в степени i*Pi +1=0" читать невозможно. У нас такие темы переносятся в Карантин до приведения формул в нормальный вид.