Формула Эйлера

[maregor]

Ende
Выделено из темы «Еще один штурм основ квантовой механики (от любителя)»

Cos(x-pi/2)
После вчерашних баталий приступил к делу конкретному - восстановление своего понимания комплексного исчисления. сразу всплыл вопрос - связь между тригонометрическими функциями и числа е. число пи, создающее тригонометрию, и е - вычисление банковского процента? Существует ли классическое описание этой связи? лучше пока даже просто философское, без сложной математики? e в степени i*Pi +1=0 (думаю, позже научусь пользоваться формульным редактором). Как вы сам себе объясняете эту связь?

[Mihr]

maregor в сообщении #1727460 писал(а):

e в степени i*Pi +1=0 (думаю, позже научусь пользоваться формульным редактором). Как вы сам себе объясняете эту связь?

Разложите функцию $e^{ix}$ в ряд Маклорена. И формула Эйлера

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

станет очевидной.

[Dedekind]

maregor in post #1727460 писал(а):

Существует ли классическое описание этой связи? лучше пока даже просто философское, без сложной математики? e в степени i*Pi +1=0

Посмотрите вот тут, например. 1:51 - 9:30 https://youtu.be/-j8PzkZ70Lg?t=111 . Очень наглядно и без сложной математики.

[Mikhail_K]

maregor
Если философское, то например так.
Экспонента $e^x$ - это показательная функция, скорость изменения которой (т.е. производная) равна ей самой: $(e^x)^\prime=e^x$. Именно это главное свойство числа $e$, из которого следуют все остальные.

Синус и косинус (связанные с числом $\pi$; а также их линейные комбинации) - это функции, вторая производная от которых равна им самим со знаком минус: $(\sin x)^{\prime\prime}=-\sin x$, $(\cos x)^{\prime\prime}=-\cos x$. Если первая производная - это скорость, то вторая - это ускорение. Можно связать это с тем, что при равномерном движении по окружности, когда в каждый момент времени $t$ координаты точки $(\cos t,\sin t)$, ускорение является центростремительным и вектор ускорения имеет координаты $(-\cos t,-\sin t)$.

Из этой похожести описания синуса, косинуса и экспоненты можно получить и связь между ними, с использованием комплексных чисел. А из этой связи уже вытекает и формула Эйлера.

Но на самом деле, $e^{i\pi}=-1$ (или, в более общем виде, $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$) - это достаточно глубокое абстрактное утверждение, не стоит искать для него простых наглядных объяснений. Математика работает так: мы задаём правила игры, а затем из них получаются самые разнообразные выводы, в т.ч. далёкие от всего, что мы могли вообразить изначально. Подобно тому как из правил игры в шахматы выросли разнообразные сложнейшие стратегии игры.

[realeugene]

Mikhail_K в сообщении #1727466 писал(а):

Из этой похожести описания синуса, косинуса и экспоненты можно получить и связь между ними, с использованием комплексных чисел.

Для начала нужно доопределить экспоненту как функцию мнимого аргумента. Но как, если не через ряд?

[Geen]

realeugene в сообщении #1727472 писал(а):

Но как, если не через ряд?

Через предел?

[maregor]

Mikhail_K в сообщении #1727466 писал(а):

Из этой похожести описания синуса, косинуса и экспоненты можно получить и связь между ними, с использованием комплексных чисел. А из этой связи уже вытекает и формула Эйлера.

Mikhail_K можно я чуть чуть похулиганю - "Если первая производная - это скорость, то вторая - это ускорение." а что такое третья производная?

-- добавлено через 2 минуты --

Ende в сообщении #1727475 писал(а):

Нет уж, если вопрос требует формул, то научитесь, пожалуйста, сейчас.

Слушаюсь, господин капрал! Больше не повторится господин капрал!

[wrest]

maregor в сообщении #1727477 писал(а):

Если первая производная - это скорость, то вторая - это ускорение." а что такое третья производная?

Рывок

[Anton_Peplov]

maregor в сообщении #1727477 писал(а):

"Если первая производная - это скорость, то вторая - это ускорение." а что такое третья производная?

Если $x$ - координата материальной точки, то первая производная от $x$ - это "скорость изменения координаты" (она же просто скорость), вторая производная от $x$ - это "скорость изменения скорости" (она же ускорение), а третья, очевидно - "скорость изменения ускорения". У нее даже есть специальное название - рывок. В физике крайне редко встречаются величины, зависящие от рывка. Я сходу могу вспомнить только одну - сила реакции излучения. Впрочем, в статье википедии, на которую я сослался, приведены какие-то примеры из техники.

P.S. Вы напрасно задаете в одной теме множество разных вопросов. За тремя производными от координаты погонишься...

[Mihr]

maregor в сообщении #1727477 писал(а):

Слушаюсь, господин капрал! Больше не повторится господин капрал!

Вот это вы совершенно напрасно.

[maregor]

Mihr в сообщении #1727480 писал(а):

Вот это вы совершенно напрасно.

я не специально. просто хулиган, извините

-- добавлено через 6 минут --

Anton_Peplov в сообщении #1727479 писал(а):

P.S. Вы напрасно задаете в одной теме множество разных вопросов. За тремя производными от координаты погонишься...

Это не совсем обычная тема(прошу простить меня за нескромность) старый дед изучает КМ. некоторые шалости можно простись. если вы удовлетворены состоянием интереса современной молодежи к КМ, напишите, я закончу.

-- добавлено через 7 минут --

Dedekind в сообщении #1727464 писал(а):

Посмотрите вот тут, например. 1:51 - 9:30 https://youtu.be/-j8PzkZ70Lg?t=111

Вы очень высоко оценили мое знание великобританского языка. увы, я был совком, им и останусь.

[wrest]

maregor в сообщении #1727481 писал(а):

увы, я был совком, им и останусь.

Если у вас есть яндекс браузер - вы больше не совок. Там будет кнопка "Перевести и озвучить" и внезапно ролик станет по-русски.

[maregor]

wrest в сообщении #1727485 писал(а):

Там будет кнопка "Перевести и озвучить" и внезапно ролик станет по-русски

нашел вариант с понятными субтитрами. Спасибо.

[Евгений Машеров]

maregor в сообщении #1727477 писал(а):

"Если первая производная - это скорость, то вторая - это ускорение." а что такое третья производная?

Гостированный термин - "рывок" (встречается, например, в ГОСТе на лифты, слишком сильная смена ускорения может привести к падению пассажира). Более высокие производные в русском языке специального названия не имеют (хотя и появляются в расчётах). В английском языке jerk, причём предложены термины для четвёртой, пятой и шестой производных - snap (или jounce), crackle, pop (рывок - альтернативный для третьей производной "тряска", щелчок, треск, хлопок)

[Евгений Машеров]

maregor в сообщении #1727460 писал(а):

Как вы сам себе объясняете эту связь?

Ну, на уровне не "философа", а, как я сам, человека, изучавшего базовый курс математики в обычном техническом ВУЗе и далее разбиравшемся "по потребности" - проще всего выписать ряды для экспоненты, синуса и косинуса, затем подставить в экспоненту мнимый аргумент и обратить внимание, что $i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$ и далее "пони бегают по кругу". То есть в ряду для экспоненты (а представление через ряд нужно, поскольку умножение и сложение для мнимых комплексных величин определено, а что есть $e^i$ - пока неясно) появляются последовательно действительные и мнимые слагаемые, причём знаки чередуются. Сгруппировав действительные отдельно и мнимые отдельно, вдруг видим ряд для косинуса и (умноженный на i) ряд для синуса, так что $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
Это доказательно, но "нефилософично".
Другой путь, проясняя, "что общего между трудолюбивым банкиром, заставляющим клерков начислять проценты ежесекундно и доблестным артиллерии капитаном, переводящим прицел и доворот в прямоугольные координаты на топокарте", что, полагаю, достаточно "философично" - найти способы определения экспоненты и тригонометрических функций, максимально схожие.
В качестве таковых - определения через дифференциальные уравнения, $y'=ay$ для экспоненты, $y''= -ky$ для тригонометрии. Вторая производная это дважды первая (правда, товарищ дважды майор подполковник?), но при попытке выразить $y'' = a(ay')'$ мы обнаруживаем, что $a^2=-k$, то есть показатель экспоненты мнимый...
А далее искать приложения. Квантовой механикой не занимался, увы. А прилагал в электротехнике, политэкономии и нейрофизиологии. Работает! (а "практика - критерий познания").
Политэкономия: https://sanitareugen.livejournal.com/22287.html
Нейрофизиология: https://link.springer.com/article/10.1134/S0006350919030138