Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

horda2501 в сообщении #1726230 писал(а):

$b^2^n \cdot b^-^2$ будет тоже $b^n$, также как и $\frac{b \cdot b \cdot b^n}{b \cdot b}$. Я всё правильно понимаю?

Подставьте например b=2, n=3 и проверьте. Это вы можете сделать?
Ну, чтобы не гадать на кофейной гуще-то
Подсказка 1. Если $b=2,n=3$, то $2n=6$, $b^{2n}=2^6=64$, ну а $b^{-2}=2^{-2}=1/2=0,5$
Подсказка 2. Если $b=2,n=3$, то $b^n=2^3=8$

[wrest]

wrest в сообщении #1726236 писал(а):

Подсказка 1. Если $b=2,n=3$, то $2n=6$, $b^{2n}=2^6=64$, ну а $b^{-2}=2^{-2}=1/2=0,5$

Правильно:
Подсказка 1. Если $b=2,n=3$, то $2n=6$, $b^{2n}=2^6=64$, ну а $b^{-2}=2^{-2}=1/4=0,25$

[EUgeneUS]

horda2501 в сообщении #1726230 писал(а):

$b^2^n \cdot b^-^2$ будет тоже $b^n$, также как и $\frac{b \cdot b \cdot b^n}{b \cdot b}$. Я всё правильно понимаю?

Нет. И мне кажется, что понял в чем Ваше недопонимание.

запись $b^{2n}$ означает, что сначала вычисляется $2n$, а уже потом $b$ возводится в получившуюся степень.
Иными словами: $b^{2n} \equiv b^{(2n)}$, где значок $\equiv$ означает "тождественно равно", то есть выражения справа и слева - это одно и то же.

Вы же пытаетесь вычислить $b^{2n}$ следующим образом:
1. Возводите $b$ в степень $2$
2. Возводите $b$ в степень $n$
3. Получившиеся результаты перемножаете.

Фактичекски Вы возводите $b$ в степень $2+n$, то есть фактически вычисляете $2^{(2+n)} \equiv 2^{2+n}$, вместо $2^{2n}$.

[horda2501]

Да, поняла ошибку в следующем примере: $(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^2^p$. Здесь дальше $(\frac{1}{b})^2^p \cdot b^2$ уже ничего нельзя сделать или можно? Попыталась "расщепить" $((\frac{1}{b})^2)^p \cdot b^2$ и далее $b^-2^p \cdot b^2 = b^p$, но не уверена что это правильно.

[mihaild]

$\left(\frac 1 b\right)^{2p} \cdot b^2$ действительно равно $b^{-2p}\cdot b^2$. А вот дальше - как перемножать степени с одинаковым основанием?

[EUgeneUS]

horda2501 в сообщении #1726373 писал(а):

и далее $b^{-2p} \cdot b^2 = b^p$, но не уверена что это правильно.

Нет, это неправильно. Даже после исправления ошибки набора формул (я её исправил в Вашей цитате)

Правильно так, на этом примере:
1. Удобно приводить к одинаковому основанию степени:
$(\frac{1}{b})^2^p \cdot b^2 = b^{-2p} \cdot b^2 $
В принципе, Вы до этого дошли.

2. Далее. Если степени с одинаковым основанием перемножаются, то показатели степеней - складываются. (Это просто выводится, но можно просто запомнить)
$(\frac{1}{b})^2^p \cdot b^2 = b^{-2p} \cdot b^2 = b^{-2p+2}$

3. Далее, выражение в показатели степени можно привести к более красивому виду:
$(\frac{1}{b})^2^p \cdot b^2 = b^{-2p} \cdot b^2 = b^{-2p+2} = b^{2(1-p)}$

И всё. Что-то более красивое\простое тут уже не получить.

[horda2501]

(Оффтоп)

$b^{-2p}$ Хм, так значит для того, чтобы отрицательный показатель степени корректно отображался, нужно его в фигурные скобки брать Заранее извиняюсь, если я забуду такие вещи, пока нет возможности вести активную форумную жизнь и, к сожалению, эти нюансы могут вылетать из памяти.

Спасибо! Досадная ошибка со сложением показателей степени.

[horda2501]

$(5a\sqrt[3]{a})^2$
Далее $25a^2 \cdot a^\frac{2}{3}$ и ответ: $25a^\frac{8}{3}$. Вроде всё просто, но на данный момент не проходились дробные показатели степени. Это правильный ответ?

-- добавлено через 18 минут --

В следующем задании такая формулировка: "Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительное значение". И далее примеры, вроде: $\sqrt[4]{x^2}$ и $\sqrt[10]{a^5}$. Я не поняла, что нужно делать и почему акцентированно внимание на "только положительных значениях"?

[yesterday]

horda2501
Здравствуйте. Я lore пропустил, помню, что вы была школьница, ученица 7 класса в 23 году. Заглянул, опять решаем алгебру 5 класса. Вы уже в Колледже быть должны. В чём прикол, что я не понимаю? Да и раньше не такие примитивные задания хоть были.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1726484 писал(а):

почему акцентированно внимание на "только положительных значениях"?

Это из-за ОДЗ. Потому, что корни чётных степеней определены только для неотрицательных чисел, а возведение в чётную степень любого числа даёт неотрицательный результат. В отрицательную степень, дополнительно к этому, нельзя возводить ноль (т.к. это деление на ноль). Вот поэтому и оговорка, что все числа положительные.

[horda2501]

yesterday, здравствуйте. Задания простые потому что это тема такая. И я их все подряд решаю с элементарных, так как у меня ещё в 8 классе данная тема вызывала затруднения, так же пришлось все подряд задания решать чтобы хоть как-то зафиксировалось на уровне автоматизмов (количественный подход ). Ещё сейчас лето и я немного расслабилась и занимаюсь более простыми предметами, так как мозг потребовал отдыха, да и постоянное занятие только техническими предметами несколько меняет психику, я не готова полностью отказаться от гуманитарного (по крайней мере пока). Кстати, темы 5 и 6 класса у меня тоже в планах повторить по книжке Гелфанда и Шеня, так что не удивляйтесь и таким вопросам, если пойдут

wrest, а на практике что нужно сделать? Ответов к таким заданиям нет, поэтому и спрашиваю совсем простое. Представьте что будет, если я что-то усвою неправильно даже на таком базовом уровне. Вот в этих же примерах, сводящихся к $\sqrt[2]{x}$, что должно быть в качестве итога? Или их вообще не так нужно решать?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1726519 писал(а):

а на практике что нужно сделать?

На практике делать то что написано: считать что под буквами скрыты положительные числа, и применять правила не думая об ОДЗ. Давайте я поясню на примере, хотя вы упорно отказываетесь видеть за буквами числа, ну тем не менее.
Пусть дан пример
$\sqrt[2]{x^6}$
Подставим туда $x=-2$, получим: $\sqrt[2]{(-2)^6}=\sqrt[2]{64}=8$

Теперь решим пример (упростим)
$\sqrt[2]{x^6}=x^{\frac{6}{2}}=x^3$
и подставим $x=-2$, получим $\sqrt[2]{x^6}=(-2)^3=-8$ -- это неверно, выше мы посчитали что получается $8$ а не $-8$.

Вот чтобы не разбирать возможные варианты при отрицательных/положительных значениях, и делается оговорка.

Более простой пример. Упростим $\sqrt{x^2}=\sqrt[2]{x^2}=x^{\frac22}=x^1=x$ Но если мы подставим например $x=-1$, то получим неверный ответ. А верный, с учётом того что $x$ может быть как положительным так и отрицательным, будет $\sqrt{x^2}=|x|$ (модуль, надеюсь вы помните что это).

[yesterday]

[quote="horda2501 в сообщении #1726519"]yesterday, здравствуйте. Задания простые потому что это тема такая. И я их все подряд решаю с элементарных, так как у меня ещё в 8 классе данная тема вызывала затруднения, так же пришлось все подряд задания решать чтобы хоть как-то зафиксировалось на уровне автоматизмов (количественный подход ). Ещё сейчас лето и я немного расслабилась и занимаюсь более простыми предметами, так как мозг потребовал отдыха, да и постоянное занятие только техническими предметами несколько меняет психику, я не готова полностью отказаться от гуманитарного (по крайней мере пока). Кстати, темы 5 и 6 класса у меня тоже в планах повторить по книжке Гелфанда и Шеня, так что не удивляйтесь и таким вопросам, если пойдут

Не надо. Вы же не нейролингвистическая модель, чтоб обучаться до уровня автоматизмов. Там есть некоторые правила, которые надо запомнить, немного потренироваться в их применении и всё. Давайте честно, обычная школа это не про знания как таковые, это такой вариант "детского сада" для старших детей, где их пытаются занять чем-то полезным, научить дисциплине и подготовить к взрослой жизни, пока родители на работе.

[Gagarin1968]

horda2501 в сообщении #1726411 писал(а):

значит для того, чтобы отрицательный показатель степени корректно отображался, нужно его в фигурные скобки брать

horda2501
Немного не так. В фигурные скобки нужно брать любой показатель степени, если он состоит более чем из одного символа (всё равно какого — буквы, цифры, минуса и т.д.)

[Someone]

wrest в сообщении #1726523 писал(а):

применять правила

horda2501, а Вы правила действий со степенями и корнями помните? А то я заглядываю иногда в тему, и у меня каждый раз возникают ужасные подозрения…
Сможете, никуда не подсматривая, дописать формулы?
$a^p\cdot a^q=$
$\frac{a^p}{a^q}=$
$(a^p)^q=$
$(a\cdot b)^p=$
$\left(\frac ab\right)^p=$
$\sqrt[n]{a}=a^{\text{?}}$
Как говорил один заслуженный участник форума, "Учите матчасть, а то вас разбудят ночью, а вам и сказать нечего".