Элементарная алгебра для отстающих

[Booker48]

horda2501
А объяснения к параграфу, подозреваю, в книжке Мордковича "Учебник"? Что там пишут про предел функции в точке?

[horda2501]

Да, я по этому учебнику занимаюсь. В том-то и дело, что именно о пределе функции в точке там конкретно ничего. Мне пришлось задумываться о том, что это такое самой Как я это для себя поняла на пока простейших примерах -> это некое конечное значение функции при стремлении аргумента к определённой точке (числу). Само число не входит в область определения, однако, подставляя его в выражение можно найти предел данной функции при данном условии (стремлении $x$ к такому-то числу). Это пока всё что я понимаю (и не уверена что верно).

Но совершенно не ясно как читать график и отвечать на эти вопросы. Объяснение из учебника чертовски непонятное

Вот здесь на стр. 315: https://djvu.online/file/lj7V1rIuOROsN

[wrest]

horda2501 в сообщении #1722850 писал(а):

Вот, например, рисунки 23 и 25. Как их "прочесть"? Графики похожи, разница только в $y=3$ и $y=4$.

Разница не только в этом. Функция на рисунке 23 не определена для x=3

-- 21.04.2026, 15:58 --

horda2501
На понятии предела строится почти вся дальнейшая порция "высшей математики" (то что называется "анализ").
Без его максимально ясного понимания вас дальше ждут большие проблемы, увы.

-- 21.04.2026, 16:05 --

horda2501 в сообщении #1722866 писал(а):

Но совершенно не ясно как читать график и отвечать на эти вопросы.

Линия означает что функция непрерывна на том участке, где идёт линия. Кружочек с дыркой означает, что функция "выколота" в этой точке, то есть линия эту точку не содержит. Закрашенный кружочек означает что функция чему-то равна в конкретной точке. Что значают стрелки не знаю.

Но вот понятие "непрерывности" оно тоже того... сложное и важное.

[RIP]

wrest в сообщении #1722867 писал(а):

Что значают стрелки не знаю.

Стрелка значит, что точка в конце стрелки выкалывается.

[wrest]

RIP в сообщении #1722871 писал(а):

Стрелка значит, что точка в конце стрелки выкалывается.

То есть это эквивалент кружочка с дыркой?

-- 21.04.2026, 16:59 --

wrest в сообщении #1722867 писал(а):

На понятии предела строится почти вся дальнейшая порция "высшей математики" (то что называется "анализ").
Без его максимально ясного понимания вас дальше ждут большие проблемы, увы.

Хотя...раз в 10-11классе что-то такое рассказывают без особых премудростей, то наверное можно сейчас и по-простому воспринимать, без высшей математики Так что расслабьтесь, всё норм.

[EUgeneUS]

horda2501 в сообщении #1722866 писал(а):

Но совершенно не ясно как читать график и отвечать на эти вопросы. Объяснение из учебника чертовски непонятное

Вот здесь на стр. 315: https://djvu.online/file/lj7V1rIuOROsN

Уважаемый wrest всё объяснил (с учетом уточнения от уважаемого RIP)

Но разберем на этих примерах.

С простого. Рис. 201. Линия на графике без всяких кружочков и стрелочек. Не прерывается. Значит
а) функция определена на всей области, для которой построен график (часть графика выходит за область рисунка - что там неизвестно вообще ).
б) на всей области, для которой построена линия на графике, значения функции определяется этой линией на графике.

Рис.199. На линии на графике "пустой" кружок. Значит линия на графике эту точку не содержит.
Это значит:
а) функция определена на всей области, для которой построена линия на графике, кроме точки, обозначенной пустым кружком, что соответствует значению аргумента $x=a$.
б) на всей области, для которой построена линия на графике, значения функции определяется этой линией на графике. Это область не содержит значение аргумента $x=a$
в) Для значения аргумента $x=a$ значение функции не определено.

Рис 200.
На линии графика "пустой" кружок. Значит линия на графике эту точку не содержит. Однако, для этого значения аргумента ($x=a$) нарисован закрашенный кружок вне линии. Это означает:
а) функция определена на всей области, для которой построена линия на графике. А также в точке обозначенной закрашенным кружком, что соответствует значению аргумента $x=a$.
б) на всей области аргументов, для которой построена линия на графике, значения функции определяется этой линией на графике. Это область не содержит значение аргумента $x=a$
в) Для значения аргумента $x=a$ значение функции определено точкой, обозначенной закрашенным кружком и равно $f(a)$, при этом $f(a) \ne b$

[horda2501]

Всем большое спасибо за ответы! Теперь я начала кое-что понимать в тексте учебника. Однако, в том тексте, который по ссылке Это издание какое-то немного другое (более раннее). А именно в моей книге (печатной за 22 год) при том же тексте дважды продублированы картинки с выколотой точкой, а третья с двумя точками, где должна была быть обычная кривая. Интересно, возможно ли что-то понять при таких обстоятельствах в принципе

[horda2501]

Это, пожалуй, самая запутанная тема на данный момент Выглядит так, словно у функции при значении $x=a$, вроде бы как зафиксированном на графике, откуда ни возьмись берётся другое (чёрная точка) значение. Думаю, что не стоит даже пытаться всё это объяснять сейчас. Давайте лучше попробуем решать вопросы, которые поступают в ум при попытке ответить на вопросы из этого примера с графиками, стр.80: https://drive.google.com/file/d/0B_8Cuk ... Vre_dLzwiQ

Вот рисунок 23. Требуется ответить на вопрос, какая из функций имеет предел при $x\to 3$ и "чему равен этот предел"? В чём заключается связь между стремлением $x$ к какому-либо числу и пределом последовательности? С алгебраической точки зрения ПП можно найти, если в выражение подставить значение этой точки, к которой стремится максимально допустимое значение аргумента. Но как всё это понимать при чтении графика? Вот, например, на рисунке 23 этой "выколотый" кружок означает, что это и есть иллюстрация $x\to 3$, мол, последовательность здесь заканчивается. Правильно я понимаю? Однако как отвечать на вопрос "чему равен этот предел"? Ведь неизвестно само выражение.

(Хотелось бы сразу сообщить, что у меня много вопросов накопилось и большая путаница. Скорее всего я буду много глупостей писать и долго. Но я очень хочу пойти дальше и вынуждена это делать. Благодарю всех за понимание ).

[Someone]

horda2501 в сообщении #1723093 писал(а):

Выглядит так, словно у функции при значении $x=a$, вроде бы как зафиксированном на графике, откуда ни возьмись берётся другое (чёрная точка) значение. Думаю, что не стоит даже пытаться всё это объяснять сейчас.

А там и объяснять нечего. Просто такая функция попалась, что в предельной точке у неё оказалось "не то" значение, которое Вам "хотелось".

[Dedekind]

horda2501
Если по графику, то ведете ручкой вдоль графика приближаясь по оси $x$ к $3$ сначала слева, а потом справа. Если в обоих случаях пришли в одну и ту же точку на графике - то ее $y$-координата и будет пределом функции при $x\to 3$. При этом значение функции в точке $x= 3$ может оказаться совершенно другим, это нормально. И более того, его даже вообще может и не быть (как в вашем случае на рисунке 23). Существованию предела это не мешает.

[horda2501]

Что значат эти две точки на рисунке 24?

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1723113 писал(а):

Что значат эти две точки на рисунке 24?

Белая (называется "выколотая точка") значит, что в этой точке графика не существует. На рисунке 23 это означает, что если бы Вы захотели найти $f(3)$, то не смогли бы этого сделать. Не существует значения функции в этой точке.
Но на рисунке 24 есть черная точка (иногда говорят "закрашенная точка"). Это значит, что если тут Вы хотите найти $f(3)$, то нужно смотреть не на то место, где вы бы его ожидали (то есть, в "выколотую точку"), а именно в черную точку. В данном случае, $f(3)=3$.

Так вот, это задание призвано проиллюстрировать тот факт, что для наличия предела функции совершенно неважно, существует значение функции в $x=3$, или нет, находится оно в "ожидаемом" месте, или нет.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1723113 писал(а):

Что значат эти две точки на рисунке 24?

Вот это значат:

wrest в сообщении #1722867 писал(а):

Кружочек с дыркой означает, что функция "выколота" в этой точке, то есть линия эту точку не содержит. Закрашенный кружочек означает что функция чему-то равна в конкретной точке.

[horda2501]

Каково значение "стрелочек" на рисунке 29? Первый раз такое изображение увидела на графике функции.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1723214 писал(а):

Каково значение "стрелочек" на рисунке 29? Первый раз такое изображение увидела на графике функции.

Вот такое:

RIP в сообщении #1722871 писал(а):

Стрелка значит, что точка в конце стрелки выкалывается.