Показания манометра холодной и горячей воды

[Solaris86]

Получается, что в модели идеальной жидкости происходит так: в любом сечение трубки тока содержится бесконечное число точек и, соответственно, бесконечное число линий тока, если только площадь сечения $S > 0$; если площадь сечения $S = 0$, это сечение содержит только одну точку, и соответственно, одну линию тока. И при этом, по идее, эти бесконечности равны, так как в пределах трубки тока любого сечения количество линий тока одинаковое. А вот как эти линии тока сжимаются или расширяются, это вообще представить невозможно...

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1723193 писал(а):

если площадь сечения $S = 0$, это сечение содержит только одну точку

То оно не содержит ни одной точки. Нуль есть нуль, и бесконечно малые величины - это не нуль.

Вам следует оставить попытки рассуждать про "число линий тока" пока вы не изучите или не вспомните математический анализ первого курса института. Бесконечности, даже счётные - это очень нетривиальная штука, отсутствующая в бытовом опыте.

-- 25.04.2026, 09:30 --

Solaris86 в сообщении #1723137 писал(а):

Давайте ещё раз.

Не надо. Чтобы понять физическую модель жидкости вам просто не хватает базового математического образования. Или проходите/вспоминайте математический анализ первого курса института, или смиритесь с тем, что любые бесконечности - это чудо, которое выше вашего понимания.

-- 25.04.2026, 09:34 --

sergey zhukov в сообщении #1723167 писал(а):

Это как толпа народу проходит через узкие двери. Они не все разом туда вжимаются, как-то по очереди нужно.

Да все разом сжимаются, одновременно удлиняясь. Частицы ведь жидкие. Сдавили по краям - они вытянулись вперёд.

Да и люди, протискиваясь в дверь, могут бочком развернуться, хоть они и не жидкие снаружи.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1723197 писал(а):

То оно не содержит ни одной точки. Нуль есть нуль, и бесконечно малые величины - это не нуль.

Но ведь любые размеры точки - всегда 0, поэтому и площадь точки в сечении - всегда 0, и объём точки в пространстве - всегда 0. Тогда почему сечение с площадью 0 не может содержать одну точку с площадью 0?

realeugene в сообщении #1723197 писал(а):

Не надо. Чтобы понять физическую модель жидкости вам просто не хватает базового математического образования. Или проходите/вспоминайте математический анализ первого курса института, или смиритесь с тем, что любые бесконечности - это чудо, которое выше вашего понимания.

А чем тут поможет матанализ?
1. Есть 0 и есть бесконечность
2. Есть стремление к 0 - бесконечно малая величина и стремление к бесконечности - бесконечно большая величина.
3. Есть конечные величины
Всё таки точка как частица жидкости в модели идеальной жидкости - это ноль, бесконечно малая величина или конечная величина?

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1723198 писал(а):

А чем тут поможет матанализ?

Тем что именно в курсе матанализа формулируются определения и теоремы, правильно определяющие понятие бесконечности. Кстати, бесконечности тоже бывают разными. Натуральные и действительные числа бесконечны по-разному. Некоторые свойства у них общие, а некоторые - совершенно разные. Что такое мощность множества вы помните?

Solaris86 в сообщении #1723198 писал(а):

1. Есть 0 и есть бесконечность

Нюанс ещё в том, что бесконечности как числа в классическом анализе нет. Это понятие, скрывающее под собой кучу теорем про пределы. Если небольшие натуральные числа ещё можно проиллюстрировать количеством яблок на столе, и даже нуль проиллюстрировать отсутствием яблок на столе (что само по себе уже настолько концептуально сложно, что греческим философам было ещё не доступно), то рассуждать про бесконечности можно только подразумевая эти теоремы, и никак иначе.

-- 25.04.2026, 10:19 --

Solaris86 в сообщении #1723198 писал(а):

точка как частица жидкости

Частица жидкости это не точка. Это выбираемый условно бесконечно малый объём жидкости.

И слово "бесконечно малый" в этой фразе означает, что вы выбираете целую бесконечную сходящуюся к точке последовательность объёмов жидкости, и рассматриваете их свойства в пределе этой последовательности. Осмысленными оказываются свойства, не зависящие от конкретного путия взятия предела. Конечно же, это всё ужасно сложно.

[Cos(x-pi/2)]

Solaris86 в сообщении #1723198 писал(а):

А чем тут поможет матанализ?

Solaris86
Математика тут вот какая. Не интерпретируйте изображения линий тока как траектории частиц, а воспринимайте картинки с линиями тока так же, как, например, изображения силовых линий электрического поля в вакууме в электростатике.

Есть точное математическое понятие - "поток заданного векторного поля через заданную поверхность" (предполагаю, Вы уже это проходили). Эта величина выражается каким-то числом (в единицах, соответствующих заранее выбранным единицам измерения поля и площади). И люди просто для наглядности условились это число, или ему пропорциональное число, изображать "количеством силовых линий поля, проходящих через данную поверхность". Получается, что там, где векторы поля больше, там количество линий в расчёте на единицу площади больше, т.е. силовые линии идут гуще.

Вспомните, для примера, картинку силовых линий от точечного заряда: линии торчат из заряда во все стороны примерно как иголки из ежа. Допустим, поток электрического поля через замкнутую поверхность, окружающую данный заряд, равен 16 единицам. На рисунке будет 16 линий. И Вы ведь не думаете, будто поле отлично от нуля только на самих этих линиях, а между линиями поля нет. Вы просто смотрите на густоту нарисованных линий. Вблизи заряда они идут гуще, чем вдали. Так условно изображён тот факт, что вблизи заряда поле больше, чем вдали.

В случае жидкости речь идёт о векторном поле скорости $\vec{v}$ или о пропорциональном ему (считаем жидкость несжимаемой) векторном поле "плотности потока" жидкости $\vec{j}=\rho\vec{v}.$ Если буквой "ро" обозначена плотность массы жидкости, то $\vec{j}$ это плотность потока массы жидкости. Допустим, в объёме V содержится N молекул жидкости, масса одной молекулы есть m. Тогда "ро" есть mN/V (извините, где возможно, я не пишу формулы-картинки (требуемые правилами форума), чтобы снизить вероятность теперешних проблем с загрузкой страниц форума).

Обозначим как $d\vec{S}=\vec{n}\,dS$ векторный элемент площади заданной ориентированной поверхности S, не обязательно замкнутой. Здесь $\vec{n}$ это единичный вектор нормали к данному элементу площади. Тогда, по определению, поток поля $\vec{j}$ через поверхность S есть (точка означает скалярное произведение векторов):

$$\int_S \vec{j}\cdot d\vec{S}$$

Так как размерность плотности потока массы есть "масса/(площадь·время)", то указанная интегральная величина, поток, имеет размерность "масса/время". Т.е. она показывает, какое количество массы жидкости протекает через данную поверхность за единицу времени.

Можно всё определить немного иначе - поделить всё на постоянную m. Тогда речь пойдёт о плотности потока частиц (молекул), а интеграл даст количество частиц жидкости, проходящих через данную поверхность за единицу времени. Можно всё поделить ещё и на постоянную концентрацию частиц (это N/V), тогда в роли векторного поля $\vec{j}$ останется само векторное поле $\vec{v}.$ Тогда интеграл даст просто поток этого поля скорости. Все эти варианты потока отличаются только постоянными множителями, и поэтому могут быть изображены одной и той же условной картинкой с каким-то количеством "линий тока", пропорциональным величине потока.

Во всех этих вариантах смысл и назначение картины линий тока один и тот же - картинка показывает, что там, где линии тока идут гуще, там скорость течения жидкости больше.

Понятно, что можно ввести в дело и картинки с трубками тока. Притом с поперечными сечениями трубок, изменяющимися вдоль трубки либо не изменяющимися, - это зависит от деталей конкретной картины поля скорости. Смысл трубок тока в общем такой же, как у линий тока: это наглядное условное изображение того факта, что, поток через любое поперечное сечение трубки тока не меняется вдоль трубки, а скорость течения увеличивается там, где трубка сужается и линии идут гуще.

[sergey zhukov]

Solaris86 в сообщении #1723193 писал(а):

А вот как эти линии тока сжимаются или расширяются, это вообще представить невозможно...

Это трубки тока сжимаются, а не линии тока. Трубки тока имеют конечное сечение. Например, поделим сечение трубы на 100 частей, вот у нас 100 трубок тока. Если сечение трубы сжимается, трубок по прежнем 100, просто их сечение уменьшается, а скорость течения жидкости в них возрастает.

Что тут вообще может быть не понятного?

[realeugene]

Solaris86

Cos(x-pi/2) в сообщении #1723228 писал(а):

Смысл трубок тока в общем такой же, как у линий тока: это наглядное условное изображение того факта, что, поток через любое поперечное сечение трубки тока не меняется вдоль трубки, а скорость течения увеличивается там, где трубка сужается и линии идут гуще.

Смысл трубки тока в том, что скорость потока направлена всюду вдоль поверхностей воображаемых стенок трубки тока, и жидкость не перетекает сквозь эти стенки. Так что в случае идеальной жидкости с нулевой вязкостью можно заменить эту воображаемую трубку тока твёрдой трубой переменного вдоль длины сечения, и течение жидкости внутри трубки не изменится: в соответствии с уравнением неразрывности жидкость будет в узких местах течь быстрее, а в широких - медленнее.

[amon]

realeugene в сообщении #1723246 писал(а):

в случае идеальной жидкости с нулевой вязкостью можно заменить эту воображаемую трубку тока твёрдой трубой переменного вдоль длины сечения, и течение жидкости внутри трубки не изменится

Так будет в случае стационарного течения. Для нестационарного траектории "частиц жидкости" не совпадают с линиями тока.

[realeugene]

amon в сообщении #1723248 писал(а):

Для нестационарного траектории "частиц жидкости" не совпадают с линиями тока.

В случае нестационарного течения понятие линий тока IMHO становится вообще мало осмысленным. В случае стационарного - это линии, вдоль которых перемещаются частицы жидкости, при этом в картине течения ничего вообще не меняется, кроме каких-то уникальных меток на них.

Линии тока - это мгновенный снимок, построенный по мгновенному полю скоростей, а траектории частиц - это развитие картины течения во времени. Как их вообще можно сравнивать?

[Theoristos]

realeugene: отдельная история, что для случая шарика обтекаемого жидкостью, течение - стационарно, а для шарика пролетающего через неподвижную жидкость - вроде как нет.
Хотя это один и тот же случай.