Пентадекатлон мечты

[Yadryara]

wrest в сообщении #1723083 писал(а):

Нет, а надо?

Дело ваше, но жаль что не читали. Я не привёл ссылки ещё раз, ещё и по этой причине:

Совершенно не исключал и надеялся, что, возможно, вы либо в марте, либо в апреле уже прошли по ссылкам и прочитали и ММ77, и Приложение, и Иво и Роджера, и сколько-то первых страниц темы...

Так что спрашивал скорее на всякий случай, вдруг уважаемый wrest что-то из перечисленного не читал.

Может я зря сужу по себе — когда начал вникать в тему, то прочитал и то и сё. Вы похоже, и правда, не читали, хотя задача вас заинтересовала. Ну, что тут сказать, люди разные. Вроде как логично сначала изучить то, что уже придумано и подумать, можно ли придумать что-то ещё. Или как-то улучшить существующее или найти новый подход.

А можно изобретать как вы, как бы с нуля, тем более что есть ИИ, который прям на глазах умнеет. В интересное время живём.

-- 23.04.2026, 17:15 --

wrest в сообщении #1723107 писал(а):

Но это же не отменяет того, что мы хотим чтобы tau_R было равно 4 и мы бы искали числа в которые случайно запрыгнули pq? Это универсальное же требование?

Говорю же, на практике гораздо чаще надо искать чтоб tau_R было равно 8 и нужны числа в которые случайно запрыгнули pqr.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1723108 писал(а):

Говорю же, на практике гораздо чаще надо искать чтоб tau_R было равно 8 и нужны числа в которые случайно запрыгнули pqr.

Есть небольшая проблема в том, что вот 36 такое уникальное, что не делится на 8... Но делится на 4
На D(24,6) у меня t_R=4 было чемпионом, и на 36 опять надо t_R=4

[Dmitriy40]

Ещё 60 уникальное: вместо одних квадратов нужны будут дополнительно 4-е степени в каждой позиции, lcm улетает в небеса.
А для 84 и того более - уже везде плюс 6-е степени к квадратам.
А с 108 совсем кошмар: везде к квадратам или восьмые степени или ещё два квадрата.
И так далее.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1723107 писал(а):

Так всё же (вероятности эти наши, найти цепочку) зависит от распределения простых чисел в дикой природе. Корреляций не обнаружено пока что...

Обещанное с картинками

1. Если мы наугад берем какое-то число $N$, то известна формула - с какой вероятностью это число окажется простым. Там вот, оказывается такие формулы есть не только для вероятности, что такое, взятое наугад, число окажется простым, а и для вероятности, что это число окажется произведением различных простых в первой степени.

2. Ниже на картинке приведены графики для вероятностей оказаться числу простым, произведением двух простых, и т.д. до произведения шести простых.

По оси $X$ - десятичный порядок числа, по оси $Y$ - вероятность попасть в число такого типа.



...

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1723117 писал(а):

Обещанное с картинками

Хорошие картинки. А есть такие же но с перламутровыми пуговицами с количеством делителей? Ну чтобы для 4 делителей была сумма вероятностей p^3 и pq

[EUgeneUS]

Далее.

3. Но мы не берем какое-то число наугад. Применение паттерна и фильтрации по запрещенным остаткам, гарантирует, что "взятое наугад число" не будет делиться на любое число "встроенное в паттерн".
Это эквивалентно, что мы выбираем число наугад не из всего множества натуральных чисел, а из его подмножества, просеянного через этакое конечное решето Эратосфена (по простым числам "встроенным в паттерн").

4. Это приводит к тому, что вероятность, указанную на графике выше, нужно умножить на некие коэффициенты, которые зависят:
а) от набора простых чисел, "встроенных в паттерн"
б) от типа ожидаемого числа (от количества простых в произведении)

5. Для ожидаемого простого этот множитель несложно получить аналитически - он будет равен в точности коэффициенту фильтрации по запрещенным остаткам. А вот для $pq, pqr, ...$ мне формулы для этих коэффициентов неизвестны. И их нужно получать другим способом .

6. Ниже на графике - вероятности попасть в число, являющимся произведением различных простых от одного до шести. Для $p, pq, pqr, pqrs$ взяты коэффициенты от какого-то паттерна для $D(48,21)$, а для $pqrst, pqrstu$ взяты от балды и для иллюстрации коэффициенты $1.2, 1.0$


UPD: заменил картинку. В предыдущем варианте была обрезана легенда.

[Yadryara]

EUgeneUS в сообщении #1723117 писал(а):

Ниже на картинке приведены графики для вероятностей оказаться числу простым, произведением двух простых, и т.д. до произведения пяти простых.

Я вот вижу не 5, а 6 графиков и до 6 букв в скобках справа.

В практическом смысле интересны не любые числа, а именно те pqr, где все простые числа не меньше первого свободного простого. Обозначу его f.

$ f \leqslant p < q < r $

[EUgeneUS]

как видим, точки пересечения сильно переехали. То есть кто где кого обогнал - сильно зависит от величины остатков от деления на числа в паттерне и используемого в паттерне набора простых.

-- 23.04.2026, 19:54 --

Yadryara в сообщении #1723120 писал(а):

Я вот вижу не 5, а 6 графиков и до 6 букв в скобках справа.

В практическом смысле интересны не любые числа, а именно те pqr, где все простые числа не меньше первого свободного простого. Обозначу его f.

$ f \leqslant p < q < r $

Ваше мнение в этих вопросах вообще неинтересно.
Ваши вопросы, кстати - тоже. На них отвечать не собираюсь.

-- 23.04.2026, 19:56 --

wrest в сообщении #1723118 писал(а):

Ну чтобы для 4 делителей была сумма вероятностей p^3 и pq

Нет. Считаем вероятность с большими степенями пренебрежимо малой по сравнению с...
Хотя просто формул у меня нет для больших степеней

-- 23.04.2026, 20:03 --

Кстати, на графике с вероятностями, умноженными на коэффициенты, пара графиков при малых степенях порядках $N$ улетела в значения больше единицы.

Почему так получилось - это домашнее задание со звездочкой
Для желающих постичь этот дзен, конечно.

[Yadryara]

wrest в сообщении #1723118 писал(а):

А есть такие же но с перламутровыми пуговицами с количеством делителей? Ну чтобы для 4 делителей была сумма вероятностей p^3 и pq

Да, есть такая статистика. Я буквально 3 дня назад постил:

Yadryara в сообщении #1722740 писал(а):

В первой колонке примерное значение разлагаемых чисел, во второй — количество чисел из миллиона, не имеющих простых делителей меньше чем 67. А дальше как раз доли 2, 4, 8 и 16 делителей, для которых самые популярные сборки p, pq, pqr и pqrs соответственно.

(Таблица)

10^       1e6         2       4       8      16

   8   131593       413     492      92       0
   9   131596       364     495     133       4
  10   131591       330     487     169      11
  11   131587       299     479     198      21
  12   131575       277     464     222      33
  13   131586       253     457     242      44
  14   131610       236     442     257      57
  15   131577       220     431     273      68
  16   131611       206     419     283      80
  17   131604       193     407     293      91
  18   131579       182     397     301     101
  19   131593       174     387     304     111
  20   131590       166     375     310     120
  21   131597       157     366     315     128
  22   131580       151     355     318     138
  23   131588       144     349     319     143
  24   131572       138     341     322     151
  25   131573       135     329     323     159
  26   131583       127     325     323     165
  27   131581       123     319     324     170
  28   131573       118     311     324     176
  29   131597       115     306     323     180
  30   131592       110     299     325     185
  31   131587       108     293     322     191
  32   131593       104     287     321     196
  33   131580       101     282     322     198
  34   131571        96     278     319     202
  35   131600        94     272     319     205
  36   131596        92     266     321     207
  37   131589        89     262     319     212
  38   131601        88     258     316     213
  39   131582        86     254     314     216
  40   131600        83     250     312     218
  41   131593        80     244     315     219
  42   131577        77     244     312     224
  43   131565        77     236     309     227
  44   131564        74     234     307     228
  45   131590        73     232     305     230
  46   131585        72     229     302     231
  47   131595        72     223     301     233
  48   131571        68     221     300     236
  49   131576        68     220     298     235
  50   131574        67     217     296     236
  51   131585        65     213     295     240
  52   131581        64     210     295     238
  53   131608        61     207     294     241
  54   131575        62     204     292     241
  55   131598        59     201     290     244
  56   131585        59     198     291     242
  57   131578        58     196     288     245
  58   131606        57     195     284     244
  59   131590        55     191     285     247

Как видим, примерно на высоте 1e27 8 делителей совершают обгон 4 делителей и дальше уже не уступают первое место. Но позже уступят.

И 8 делителей, в случае бо́льших чисел, уступят 16 делителям. Здесь $f=67$.

И в последних 4 колонках, как раз $t_R=2$, $t_R=4$, $t_R=8$, $t_R=16$, в ваших обозначениях. Если я правильно понял ваши обозначения.

[wrest]

Yadryara в сообщении #1723123 писал(а):

Да, есть такая статистика. Я буквально 3 дня назад постил:

Вот я и хотел - сравнить. Например для $n \approx 10^{20}$ у вас вероятность 4 делителей 0,38 а 8 делителей 0,31
А на обоих графиках EUgeneUS на вертикальной линии $n \approx 10^{20}$ между 0,30 и 0,40 пустота...

[EUgeneUS]

wrest

wrest в сообщении #1723124 писал(а):

Вот я и хотел - сравнить. Например для $n \approx 10^{20}$ у вас вероятность 4 делителей 0,38 а 8 делителей 0,31
А на обоих графиках EUgeneUS на вертикальной линии $n \approx 10^{20}$ между 0,30 и 0,40 пустота...

Тут нет ничего удивительного.

1. Мой первый график - это "база". Вероятности, если выбирать число наугад из всего множества натуральных чисел.

2. Для второго графика я использовал коэффициенты, на которые умножаются числа в первом графике:

EUgeneUS в сообщении #1723119 писал(а):

Для $p, pq, pqr, pqrs$ взяты коэффициенты от какого-то паттерна для $D(48,21)$, а для $pqrst, pqrstu$ взяты от балды и для иллюстрации коэффициенты $1.2, 1.0$

А Yadryara, видимо, считал статистику по какому-то из Ваших паттернов для коротких цепочек. Только не сказал по какому.

Это хорошая иллюстрация, что:

EUgeneUS в сообщении #1723121 писал(а):

кто где кого обогнал - сильно зависит от величины остатков от деления на числа в паттерне и используемого в паттерне набора простых.

-- 23.04.2026, 20:44 --

EUgeneUS в сообщении #1723125 писал(а):

А Yadryara, видимо, считал статистику по какому-то из Ваших паттернов для коротких цепочек. Только не сказал по какому.

Или просто фильтровал числа, которые не делятся на простые меньше $67$. То есть его статистика подходит для паттернов, где используются все простые числа до $67$, в этом случае. И только для таких.

-- 23.04.2026, 20:48 --

EUgeneUS в сообщении #1723119 писал(а):

Для $p, pq, pqr, pqrs$ взяты коэффициенты от какого-то паттерна для $D(48,21)$,

Кстати, проверил, что в паттерне, от которого взял эти коэффициенты, использовались все простые числа до $59$ включительно.
Вот и смотрите, как точки пересечения "гуляют" если в паттерне все простые до $59$ или до $67$.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1723125 писал(а):

Вот и смотрите, как точки пересечения "гуляют" если в паттерне все простые до $59$ или до $67$.

Посмотрел более подробно статистику из этого поста.

1. По $p$ - почти идеальное совпадение с результатами в моих постах выше. Даже не смотря на разницу между $67 \#$ и $53 \#$.
2. Для $pq, pqr, pqrs$ - существенное расхождение, которое не объясняется разницей между $67 \#$ и $53 \#$

[Yadryara]

Я и для других значений считал:

Yadryara в сообщении #1722752 писал(а):

Yadryara в сообщении #1722740 писал(а):

По-хорошему надо посчитать и для других первых свободных простых, не только для 67.

Посчитал не шибко высоко для первого свободного простого 53 — 71. Отклонения от показанной статистики незначительные. Чем больше первое свободное простое, тем позже происходит обгон 8-ю делителями 4-х делителей:

first
free
prime    10^       1e6         2       4       8      16

   53     25    138684       128     319     323     168
   59     25    136068       130     323     323     164
   61     26    133774       125     322     323     168
   67     27    131581       123     319     324     170
   71     27    129629       125     321     323     168

EUgeneUS в сообщении #1723131 писал(а):

2. Для $pq, pqr, pqrs$ - существенное расхождение, которое не объясняется разницей между $67 \#$ и $53 \#$

Напомню, что считались не только $pq, pqr, pqrs$, а и другие сборки, в том числе экзотические, для 4, 8 и 16 делителей соответственно.

Собственно, вот программа, это не самый быстрый вариант, но уж какой нашёлся. Кому угодно, может посчитать с разными параметрами.

{t0=getwalltime();print;

ogrp = 71;
ogrfac = precprime(ogrp);

for (ste = 8, 30,

t1=getwalltime(); kol = vector(4); kpod = 0;

forstep( n = 10^ste - 1 * 10^6 - 1, 10^ste - 1, 2,

if(factor(n,ogrfac)[1,1] < ogrp, next);

fac = factor(n); kunp = matsize(fac)[1];

if(fac[1,1] >= ogrp,

kpod++; kdel = 1;

for(i = 1, kunp, kdel *= fac[i,2] + 1);

if(kdel ==  8, kol[3]++;next);
if(kdel ==  4, kol[2]++;next);
if(kdel == 16, kol[4]++;next);
if(kdel ==  2, kol[1]++);

));

print1("  ", ste,"   ", kpod,"       ");
for(i=1,4,print1(round(kol[i]/kpod*1000),"     "));
print(,"        ", strtime(getwalltime()-t1));

);

print;print(strtime(getwalltime()-t0));print;
}quit

[EUgeneUS]

Yadryara в сообщении #1723134 писал(а):

Напомню, что считались не только $pq, pqr, pqrs$, а и другие сборки, в том числе экзотические, для 4, 8 и 16 делителей соответственно.

Это мелочи, поправки к вероятностям во втором-третьем значащем знаке (или даже дальше).

[Yadryara]

Ну да, возможно дело именно в том что (как это следует из программы) считаются доли от подходящих чисел, а не от всего натурального ряда, то есть надо принимать во внимание то число которое в 3-м столбце. Как видим, подходящими являются примерно 12-14% от всего натурального ряда.

И именно такой подход пока что представляется правильным, потому что в полосе паттерна, после 3-х начальных фильтраций, вроде бы остаются именно такие числа.