Пентадекатлон мечты

[Yadryara]

Пока насчёт замеченных ошибок по датам напишу.

На 1-й странице.
D(48, 23) найдена в январе 26-го.

В Марафоне
D(96, 19) найдена в марте 26-го.

[Yadryara]

EUgeneUS в сообщении #1719831 писал(а):

У меня считалось задание для улучшения D(24,20) (кстати, найденная Демисом цепочка на первой страницы темы ещё не отражена) примерно в 15 раз.
По всем 400 паттернам, со всеми перестановками простых до $100$.
Досчиталось, улучшение не найдено.

Приплыли. Опять считали одно и то же? И вместо предварительного согласования, об этом сообщается уже пост-фактум: "досчиталось".

Почему думаю, что одно и то же считали. Да потому что различных подходящих серий паттернов для D(24,20) гораздо меньше. И речь, видимо, про те самые 400 комплектов, которые в серии 2-12-6-8!

EUgeneUS в сообщении #1719831 писал(а):

По всем 400 паттернам, со всеми перестановками простых до $100$.

Вроде переставлять простые для 24 делителей это совсем глупо. Возможно, участник имел в виду всё-таки перестановки квадратов простых.

И выполнять именно все перестановки квадратов простых до $100$ весьма странно. Разве не очевидно что надо смотреть именно по величине шага, чтобы было больше попыток.

Вот первые 80 перестановок.

(Оффтоп)

pors8[1] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53];  \\ 0
pors8[2] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59];  \\ 23
pors8[3] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 61];  \\ 32
pors8[4] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 59];  \\ 57
pors8[5] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67];  \\ 59
pors8[6] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 61];  \\ 68
pors8[7] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 71];  \\ 79
pors8[8] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59];  \\ 88
pors8[9] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 73];  \\ 89
pors8[10] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 61];  \\ 101
pors8[11] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 67];  \\ 103
pors8[12] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59];  \\ 107
pors8[13] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 59, 61];  \\ 108
pors8[14] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 61];  \\ 121
pors8[15] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 79];  \\ 122
pors8[16] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 71];  \\ 128
pors8[17] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 73];  \\ 141
pors8[18] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 67];  \\ 142
pors8[19] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 83];  \\ 145
pors8[20] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 59, 61];  \\ 149
pors8[21] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 59, 67];  \\ 151
pors8[22] = [23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59];  \\ 154
pors8[23] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 67];  \\ 167
pors8[24] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 67];  \\ 169
pors8[25] = [23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61];  \\ 171
pors8[26] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 71];  \\ 172
pors8[27] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 59, 61];  \\ 174
pors8[28] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 89];  \\ 181
pors8[29] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 79];  \\ 182
pors8[30] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 59, 71];  \\ 182
pors8[31] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 73];  \\ 188
pors8[32] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 59, 73];  \\ 198
pors8[33] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 71];  \\ 199
pors8[34] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 59, 67];  \\ 200
pors8[35] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 71];  \\ 202
pors8[36] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 83];  \\ 211
pors8[37] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 73];  \\ 217
pors8[38] = [23, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 61];  \\ 217
pors8[39] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 73];  \\ 219
pors8[40] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 61, 67];  \\ 221
pors8[41] = [23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 67];  \\ 227
pors8[42] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 59, 67];  \\ 230
pors8[43] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 97];  \\ 234
pors8[44] = [23, 29, 31, 41, 43, 47, 59, 61];  \\ 236
pors8[45] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 59, 71];  \\ 237
pors8[46] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 79];  \\ 237
pors8[47] = [23, 29, 31, 37, 43, 53, 59, 61];  \\ 248
pors8[48] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 59, 79];  \\ 250
pors8[49] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 61, 67];  \\ 253
pors8[50] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 59, 73];  \\ 257
pors8[51] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 89];  \\ 258
pors8[52] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 61, 71];  \\ 261
pors8[53] = [23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59];  \\ 262
pors8[54] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 101];  \\ 263
pors8[55] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 67, 71];  \\ 264
pors8[56] = [23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 71];  \\ 268
pors8[57] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 79];  \\ 271
pors8[58] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 59, 71];  \\ 271
pors8[59] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 83];  \\ 272
pors8[60] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 79];  \\ 274
pors8[61] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 103];  \\ 277
pors8[62] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 61, 73];  \\ 281
pors8[63] = [23, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 67];  \\ 282
pors8[64] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 67, 73];  \\ 285
pors8[65] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 59, 83];  \\ 286
pors8[66] = [23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 61];  \\ 287
pors8[67] = [23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 73];  \\ 289
pors8[68] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 59, 73];  \\ 292
pors8[69] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 61, 71];  \\ 297
pors8[70] = [23, 29, 31, 41, 43, 47, 59, 67];  \\ 306
pors8[71] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 107];  \\ 307
pors8[72] = [23, 29, 31, 37, 41, 53, 61, 67];  \\ 308
pors8[73] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 83];  \\ 309
pors8[74] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 83];  \\ 313
pors8[75] = [23, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59];  \\ 313
pors8[76] = [23, 29, 31, 37, 47, 53, 59, 61];  \\ 316
pors8[77] = [23, 29, 31, 37, 41, 47, 59, 79];  \\ 318
pors8[78] = [23, 29, 31, 37, 43, 47, 61, 73];  \\ 319
pors8[79] = [23, 29, 31, 37, 43, 53, 59, 67];  \\ 320
pors8[80] = [23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 109];  \\ 322

Справа указан прирост шага в %. Видно же, что уже здесь начали появляться числа превышающие 100:
В 54-й расстановке — 101.
В 61-й расстановке — 103.
В 71-й расстановке — 107.
В 80-й расстановке — 109.

[Huz]

Dmitriy40 в сообщении #1719841 писал(а):

Например для M(60) и M(84) каковы U(60) и U(84)?

Assuming $U(n)$ means the value we have proven $M(n)$ cannot exceed, my records say $U(60) = 23$ and $U(84) = 15$. For $12n < 200$, I have: $U(12n) = [ 15, 31, 15, 31, 23, 31, 15, 31, 21, 107, 21, 31, 21, 31, 26, 31 ]$.

-- 11.03.2026, 02:03 --

Yadryara в сообщении #1719868 писал(а):

Пока насчёт замеченных ошибок по датам напишу.

На 1-й странице.
D(48, 23) найдена в январе 26-го.

В Марафоне
D(96, 19) найдена в марте 26-го.

I'm confused, I see $D(48,23)$ reported by Eugene on 31st January; and we haven't yet reached 26th March. Is this a translation error? Yandex is showing them as the 26th day of January/March, but perhaps they were supposed to be "January/March 2026"?

[EUgeneUS]

Huz в сообщении #1719871 писал(а):

Yandex is showing them as the 26th day of January/March, but perhaps they were supposed to be "January/March 2026"?

Yandex is wrong here.
Right:
"в январе 26-го" -> "in January 2026"
but:
"26-го января" -> "on 26th day of January"

-- 11.03.2026, 07:00 --

Yadryara в сообщении #1719870 писал(а):

Приплыли.

Yadryara в сообщении #1719870 писал(а):

это совсем глупо.

Yadryara в сообщении #1719870 писал(а):

странно. Разве не очевидно

Идите к чёрту.

-- 11.03.2026, 07:29 --

Huz
About FORMULA in the A119479
Currently, the OEIS lists two long-known cases:

Цитата:

a(2n+1) = 1, since numbers with an odd number of divisors must be squares. If n is not divisible by 3, a(2n) <= 7.

But in 2022, other important cases were proven by Denis Shatrov. What is reflected on the first page of this topic

Specifically:
1. $a(12n+6) \leqslant 5$
2. For $a(12n \pm 2)$: $a(2P) \leqslant 3$, where $P=\prod_{i=1}^s p_i$, and $p_i$ - prime numbers such that $gcd_{i=1}^s(p_i-1) > 2$.

There are also known restrictions that complement point 2 above (for $a(12n \pm 2)$):
2.1. $a(2p) \le 3$, where $p$ - prime number, greater than 3;
2.2. $a(2pq) \le 3$, where $p,q$ - prime numbers greater than 3 (not necessarily distinct);

This gives a nearly complete picture of the upper bounds, with two exceptions:
1. For $a(12n \pm 2)$, where $P=\prod_{i=1}^s p_i$, and $p_i$ - prime numbers such that $gcd_{i=1}^s(p_i-1) = 2$.
2. For $a(12n)$, the maximum length of such chains is not bounded from above according to the Erdős conjecture. AFAIK.

Perhaps it makes sense to reflect these results in the OEIS?

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1719873 писал(а):

This gives a nearly complete picture of the upper bounds, with two exceptions:
1. For $a(12n \pm 2)$, where $P=\prod_{i=1}^s p_i$, and $p_i$ - prime numbers such that $gcd_{i=1}^s(p_i-1) = 2$.

Correction:
1. For $a(12n \pm 2)$: $a(2P)$ where $P=\prod_{i=1}^s p_i$, and $p_i$ - prime numbers such that $gcd_{i=1}^s(p_i-1) = 2$, and $p_i > 3$

[VAL]

Huz в сообщении #1719871 писал(а):

Assuming $U(n)$ means the value we have proven $M(n)$ cannot exceed, my records say $U(60) = 23$ and $U(84) = 15$. For $12n < 200$, I have: $U(12n) = [ 15, 31, 15, 31, 23, 31, 15, 31, 21, 107, 21, 31, 21, 31, 26, 31 ]$

Добавлю, что числа 15 и 31 - наверняка точные значения соответствующих $M(k)$. Это следует из гипотезы Диксона, в справедливости которой серьезные (а также несерьезные, вроде, меня) математики не сомневаются.
В то же время, полагаю, $M(60)=17$. Более длинные цепочки могут получиться только при условии разрешимости экзотических систем диофантовых уравнений, разрешимость которых вызывает большие сомнения.

[EUgeneUS]

VAL
По оформлению первого поста предложение: вытащить в таблицу все $k=12n$, например, до $k < 200$ без пропусков.