Дениэль Деннет "Опасная идея Дарвина"

[mihaild]

epros в сообщении #1714761 писал(а):

Внезапно обнаруживается, что равенство углов тоже важно

Вроде бы в евклидовом случае достаточно, чтобы группа изометрий была группой Диэдра. Может быть это лучшее определение?

epros в сообщении #1714761 писал(а):

Это будет очень страшно, если я определю угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ тупо как $\arccos \frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2} \sqrt{b_x^2 + b_y^2}}$?

Ну например эта штука не инвариантна относительно изометрий.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1714765 писал(а):

группа изометрий

Отражения требуют перпендикуляры.

[mihaild]

realeugene в сообщении #1714790 писал(а):

Отражения требуют перпендикуляры

Что, простите?
Изометрии - биекции метрического пространства в себя, сохраняющие метрику.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1714791 писал(а):

Что, простите?
Изометрии - биекции метрического пространства в себя, сохраняющие метрику.

На евклидовой плоскости отражение относительно произвольной прямой сохраняет евклидову метрику. А вот если заданная квадратичной формой метрика перекошена - то и отражать плоскость изометрично относительно прямых придётся с перекосом, а не перпендикулярно. Так что для любого ромба можно подобрать подобную метрику, в которой он станет квадратом, углы у него окажутся прямыми, и у него окажется точечная группа симметрий квадрата. Ромб для иллюстрации, какие изометрии будут в $l_\infty$ понятия не имею.

[epros]

mihaild в сообщении #1714765 писал(а):

Вроде бы в евклидовом случае достаточно, чтобы группа изометрий была группой Диэдра. Может быть это лучшее определение?

Это поможет нам определить "квадрат"? Если да, то я не против, хотя определение через группы наверняка уже не получится школьным. Пожалуй я лучше останусь на школьном уровне и определю квадрат как четырёхугольник, у которого равны стороны и равны диагонали (т.е. не заморачиваясь определением углов).

mihaild в сообщении #1714765 писал(а):

Ну например эта штука не инвариантна относительно изометрий.

Да, не изометричность скалярного произведения это плохо. А есть пример конкретной изометрии в $L_\infty$, которая бы изменяла конкретный угол, определённый по формуле декартовых координат евклидовой плоскости?

[пианист]

(праздное любопытство)

Кстати, а что вообще известно о группе изометрий $l_\infty$?
С ходу нагуглить не получилось.

[mihaild]

epros в сообщении #1714849 писал(а):

Это поможет нам определить "квадрат"?

Да. Квадрат - четырехугольник (его можно определить в любом пространстве) с равными сторонами, такой, что группа изометрий пространства, переводящих его в себя, изоморфна группе Диэдра.

Но впрочем после вопроса выше я задумался и понял, что зря завел разговор об изометриях пространства :) В частности,

mihaild в сообщении #1714765 писал(а):

эта штука не инвариантна относительно изометрий

вранье.
Увы, у $l_\infty$ (и вообще у всех $l_p$ при $p \neq 2$) слишком мало изометрий.
https://mathoverflow.net/a/403100/11507 пишут, что все сюръективные линейные изометрии $l_p$ при $p \neq 2$ - это перестановки координат и домножене их на корень из единицы. Ну и для $l_\infty$ это даже попроще, потому что на единичной сфере есть не-экстремальные (внутренние для отрезка целиком содержащегося в единичной сфере) точки.
Я не очень понимаю, зачем тут ограничение на сюръективность (вроде же изометрия биективна по определению?). И понятно сдвигом можно добиться чтобы $0$ переходил в себя. Умножение на скаляр тоже автоматически сохраняется. Остался вопрос - существуют ли изометрии $l_\infty$ (или хоть какого-то банахова пространства), не сохраняющие сумму.

-- 15.01.2026, 11:00 --

epros в сообщении #1714849 писал(а):

определю квадрат как четырёхугольник, у которого равны стороны и равны диагонали

Я надеялся ссылкой на группу Диэдра определить правильные $n$-угольники. Но, видимо, не получится.