ВТФ(3)-малой теоремой Ферма+варьируемыми основаниями с/с, p.

[ozheredov]

transcendent в сообщении #1714482 писал(а):

у нас ниже Вы/вы увидите только $n$, есть просьбы рассматривать букву $n$, как число $3$

Два вопроса: 1) у кого - у НАС? и 2) а чего не $2$?

[transcendent]

waxtep,

waxtep в сообщении #1714488 писал(а):

Но ведь тогда и $C=c^n$ будет делиться на $p$, что противоречит условию леммы из раздела 2. Непонятно, можете разъяснить это место?

Нет противоречия. Дело в том, что Разделы 2 и 3 говорят не совсем об одном и том же. Лемма-это о модульной форме уравнения ВТФ, когда простое число не делит то, что задано не делить. Поскольку, в противном случае, это модульное уравнение можно свести к тривиальным решениям. Тривиальные решения исключены, поскольку $a$, $b$, $c$ имеют обратные элементы, а $0$, как мы знаем, не имеет. Обратные элементы нужны/есть там, где мы пишем $-k$, что однозначно подразумевает их существование, если переписать сравнения в соответствующей форме записи. Раздел же 3-это и о модульных уравнениях, т.е.,-сравнениях, и об обыкновенных уравнениях. Соответственно, всегда могут быть выбраны разные простые числа, такие, которые дают или не дают $0$ справа. Это же очевидно? Или нет? Наглядный пример-примитивные Пифагоровы Тройки. Для любой из них можно подобрать простое число так, что справа будет $0$. Но, можно подобрать такие простые числа, когда это невозможно. И третий вариант для степени ($n=2$), если $p=2$. Мы, ведь, знаем, что гипотенуза не делится на $2$. Но, это я уже забегаю вперёд, затрагивая второй вопрос от второго участника, который он задал вчера. Поэтому, вернусь к этому третьему варианту ниже.
Примеров , естественно, неограниченное количество. Мне тяжело это здесь выписывать. И, если хотите, я пришлю Вам ссылку в личку-где это можно посмотреть. Поскоьку, насколько я помню, размещение ссылок на посторонние форумы здесь запрешено. Я надеюсь, я вполне ответил на Ваш вопрос? Или не вполне? В любом случае, спасибо за вопрос.

-- 12.01.2026, 10:00 --

ozheredov,

ozheredov в сообщении #1714490 писал(а):

Два вопроса: 1) у кого - у НАС? и 2) а чего не $2$?

1. У авторов. У автора и авторши.
2. Почему бы и не $2$? Только для $p=2$ при $n=2$, мы имеем $x=$\pm$iy$. Так, вроде, если не ошибаюсь? А при $n>2$ -тривиальные решения. И, как итог, мы говорим о генераторе тривиальных решений. Нет? Ну, или как-то по иному назовём? Пока мне больше нечего добавить.
Спасибо за вопросы.

[waxtep]

transcendent в сообщении #1714499 писал(а):

Нет противоречия. Дело в том, что Разделы 2 и 3 говорят не совсем об одном и том же.

Для ясности: правильно понимаю, что $a,b,c,n,p$ в разделе 3 - это не те же самые величины, что в разделах 1, 2? А тогда можно ли вообще исключить из доказательства этот раздел 3, если его результаты далее не используются? Или, если используются, обозначить другими, незанятыми буквами, и протянуть это различение в последующие разделы.

И вопрос по разделу 4:

transcendent в сообщении #1714482 писал(а):

Пусть ненулевые целые $a\equiv x (\mod p)$, $b\equiv y (\mod p)$, $c\equiv z (\mod p)$ являются корнями (♱) и $p$ не делит $z$-исходная гипотеза. Среди соответствующих условию фильтра $c^{n}=z^{n}+pt$(t$\ne$0, т.к., $p$ не делит $z$) и $c^{n}=-z^{n}+pt$ для колец $\mathbb{Z}_{p}$.

$c^{n}=z^{n}+pt$ я понимаю, но откуда берется $c^{n}=-z^{n}+pt$?

[transcendent]

По первому вопросу:

waxtep в сообщении #1714530 писал(а):

Для ясности: правильно понимаю, что $a,b,c,n,p$ в разделе 3 - это не те же самые величины, что в разделах 1, 2?

Ну, нет же. Где Вы нашли это Ваше утверждение в тексте? Вот, что есть (в разделе 2):

transcendent в сообщении #1714482 писал(а):

Лемма: Пусть $a$, $b$,$ c$, $p$,$k$, $m$, $n\in\mathbb{Z}^{+}$, где нечётное $n>2$,

И это (в разделе 3):

transcendent в сообщении #1714482 писал(а):

корни $u$: $u=-Z$\pm$(A+B)$. Положим $A=a^{n}$, $B=b^{n}$, $C=c^{n}$. Лемма даёт решение $Z\equiv (A+B)(\mod p)$.

waxtep в сообщении #1714530 писал(а):

А тогда можно ли вообще исключить из доказательства этот раздел 3, если его результаты далее не используются? Или, если используются, обозначить другими, незанятыми буквами, и протянуть это различение в последующие разделы.

Понятно, Вы хотите сказать "выбрасывайте всё лишнее-то, что не имеет (согласно Вам) отношения к последовательности доводов в проекте доказательства"? Да... Думали. Тоже думали об этом. Но, пока не ясно, что-"курица", а что-"яйцо". В смысле, что есть "первое" (по важности): сравнение (♱♱) в разделе 2 или уравнение в разделе 3? Сравнение в разделе 2 это выражение при сравнении по модулю, уравнение в разделе 3 это основа доказательства в следующем разделе. Как можно раздел 3 удалять? Не ясно пока. (Впрочем, если кто-то попытается сделать обсуждаемые изменения-выбросить раздел 3-можно ли препятствовать этому? И нужно ли? Не ясно...)
Учитывая всё вышесказанное, с этим Вашим тезисом невозможно согласиться:

waxtep в сообщении #1714530 писал(а):

Или, если используются, обозначить другими, незанятыми буквами, и протянуть это различение в последующие разделы.

По второму вопросу:

waxtep в сообщении #1714530 писал(а):

$c^{n}=z^{n}+pt$ я понимаю, но откуда берется $c^{n}=-z^{n}+pt$?

Потому что, квадратное уравнение (в разделе 3). Поэтому, автоматически получаются два корня (если предположите существование одного решения ВТФ). Например, $\sqrt{625_{10}}$=$\sqrt{519_{11}}$ $имеет следующие значения корней $...(0)23_{11}$ и $...(A)88_{11}$ (или $\pm25$ в десятичной системе счисления). Оба числа, $c=3$ и $c=8$, при возведении в квадрат и по модулю $11$ дают $9$, как это и должно быть. Что здесь непонятного? Да...И "автоматически получаются два корня"-почему? Хотя бы, потому, что переменные можно переносить вправо-влево с изменением знака. А знаков-то-всего два. Для колец $\mathbb{Z}_p$ это влечёт изменение значения, как $p-c$. Было значение $c=3$, при переносе (вправо-влево) имеем такое изменение $p-c=11-3=8$. Или, если было $c=8$, то получаем $p-c=11-8=3$. То же, будет и для любых $z$, $z^{n}$ и т.д. Пока не ясна цель Ваших вопросов. Не затруднит ли Вас сообщить её? Возможно, взаимодействие было бы более эффективным.

[waxtep]

transcendent в сообщении #1714581 писал(а):

Пока не ясна цель Ваших вопросов. Не затруднит ли Вас сообщить её? Возможно, взаимодействие было бы более эффективным.

Да просто пытаюсь понять, что Вы делаете. Разделы 1, 2 мне, кажется, ясны, но 3, 4 - загадка, покрытая мраком. Откуда и зачем появляется раздел 3, что именно в нем делается, и как это (видимо, в связи с предыдущими разделами 1,2) дает результаты раздела 4, - у меня непонимание Вашего текста такого уровня.

Давайте для определенности сосредоточимся на чем-то одном, на разделе 4, вот это:

transcendent в сообщении #1714482 писал(а):

Пусть ненулевые целые $a\equiv x (\mod p)$, $b\equiv y (\mod p)$, $c\equiv z (\mod p)$ являются корнями (♱) и $p$ не делит $z$-исходная гипотеза. Среди соответствующих условию фильтра $c^{n}=z^{n}+pt$(t$\ne$0, т.к., $p$ не делит $z$) и $c^{n}=-z^{n}+pt$ для колец $\mathbb{Z}_{p}$.

Возьмем для примера $c=5,p=3,n=3$, тогда:
$5^3=2^3+3\cdot39$ - окей;
$5^3=-2^3+3\cdot\frac{133}3$ - упс, $t$ - не целое! Как понять и что дальше делать?

[transcendent]

waxtep в сообщении #1714590 писал(а):

Да просто пытаюсь понять, что Вы делаете.

Понятно. Спасибо. Значит, появляется возможность стараться разъяснять.

waxtep в сообщении #1714590 писал(а):

Возьмем для примера

Сразу давайте договоримся, что искать контрпример бесполезно. Это, во-первых.
И во-вторых, если мы говорим о кольце $\mathbb{Z}_{p}$, мы понимаем, прежде всего, что мы говорим о $p$-адических целых.

Также, я предлагал Вам возможные примеры (из мира примитивных Пифагоровых троек). Но, Вы, почему-то не ответили на это предложение.
Постараюсь переслать Вам ссылку через личную почту сейчас.
Остальные вопросы, которые вы сейчас только что обозначили, предлагаю на попозже. На завтра, например. Сегодня уже поздно. [Скажу только, что еще и ещё раз: посмотрите на выражение (в пункте 8) в разделе 2 и уравнение в разделе 3 и Вы увидите, что оба выражения написаны для чисел $c$ и $z$, которые сравнимы по модулю p... Подумайте-почему? Ответ? (писал его уже) Потому что, мы говорим об одних и тех же числах, но в разделе 2 представленных в сравнениях по модулю, а в разделе 3-в обыкновенных уравнениях с раскрытым модулем.]
П.С. Не знаю-ушло ли сообщение. Что-то за какое-то время тупить стал...

[waxtep]

transcendent в сообщении #1714594 писал(а):

Также, я предлагал Вам возможные примеры (из мира примитивных Пифагоровых троек). Но, Вы, почему-то не ответили на это предложение.
Постараюсь переслать Вам ссылку через личную почту сейчас.

Да, хорошо, благодарю. А не ответил по очень простой причине, - не понял. Я вовсе не настаиваю на математическом уровне строгости изложения, но хочется улавливать, как одно цепляется за другое и перетекает в третье и т.п. Да, я совершенно не читал предысторию, пытаюсь реагировать исключительно на Ваше сообщение, что комментирую, воспринимая его как цельное доказательство , от и до (или его набросок)

[waxtep]

transcendent, я попытался почитать материалы по ссылке, что Вы направили мне в личку, но там вообще непросто: в теме помимо Вас ещё как минимум двое участников излагают свои построения, и кто кому на что отвечает вычленять очень трудно. Давайте попробуем здесь, локально. На время оставив раздел 3, я хочу конкретно вцепиться в озадачивающее меня построение раздела 4. Я приведу пример, а Вы укажите, где именно он не проходит в разделах 1-4 Вашего доказательства, ок? Стартуем с безусловно верного равенства

$$2^3+5^3\equiv7^3\pmod3$$

Вы говорите, что существует целое $t$, такое, что $7^3=1^3+3t$, - и я Вам верю. Но теперь Вы говорите, что существует и иное целое $t$, такое, что $7^3=-1^3+3t$; такого целого $t$ я не нахожу. Если набор чисел $a=2,b=5,c=7,n=3,p=3$ не годится для опровержения построения раздела 4, покажите, пожалуйста, где именно; я с ходу не вижу

[transcendent]

Начнём с окончания Вашего вчерашнего комментария:

waxtep в сообщении #1714601 писал(а):

Если набор чисел $a=2,b=5,c=7,n=3,p=3$ не годится для опровержения построения раздела 4, покажите, пожалуйста, где именно; я с ходу не вижу

Ошибка здесь. Если Вы выбрали $p=3$, то таких остатков, как $5$ и $7$ не существует.
Все остатки, которые Вам нужны в общем случае, Вы берёте из диапазона от $0$ до $p-1$. Т.к., 0 исключён, тогда "Ваш" диапазон -от $1$ до $p-1$. Т.е., это $1 $и $2$. И это всё, для $p=3$. Первое.
Второе: обычно рекомендуется брать "большенькие" $p$-там больше возможностей. Для $p=5$ их больше, чем для $p=3$. И т.д. Говоря совсем уж простым языком, остатки, которые используются Вами для анализа, это цифры соотвествующей системы счисления.
Третье: Лучше писать (и работать) не с записью $p=3$, подразумевая, что это $p=3_{10}$ (в десятичной системе счисления), а с такой записью: $p=10_{3}$. Соответственно, и для других систем счисления. Это было бы понятнее Вам самому, я думаю, когда Вы будете находить остатки от деления и Вы быстрее будете получать результат.
Идём дальше вверх по Вашему второму ответу.

waxtep в сообщении #1714601 писал(а):

Я приведу пример, а Вы укажите, где именно он не проходит

Я мог бы тоже приводить пример(ы)(если захотите-напишите), а по Вашему Примеру, считаю, что мы разобрались. Эта уверенность , я думаю, появится и у Вас после моих Примеров. Но, прежде, чем писать мои Примеры, я ещё раз хотел бы Вас вернуть к примитивным Пифагоровым Тройкам. [Что Вы сразу хватаетесь за степени $n>2$? Я предлагал и предлагаю разобраться Вам сначала с тем, что лежит перед Вашими глазами-с Пифагоровыми Тройками и понять, что такое $t$. Ниже дам определение для $t$.] Посмотрите на представленный там Пример. Зачем Вы пишете мне эти фразы:" в теме помимо Вас ещё как минимум двое участников излагают свои построения, и кто кому на что отвечает вычленять очень трудно."? Я в моём личном послании Вам указал на конкретный мой комментарий с датой и временем. При каких делах здесь другие участники и их "построения"? Я это не понимаю. Пример мой с Пифагоровыми Тройками разбрали бы сначала, а не "построения" или общение кого-то ещё и с кем-то ещё...
Итак, $t $это число, которое умножается на $p$, и при прибавлении остатка самого числа даёт само исходное число. Если у Вас есть два числа $25$ и $-25$, то, соответстветственно, для Вы имеете $t$, как $2$ и -$2$ в десятичной системе счисления и в $\mathbb{Z}$. Представим эти исходные числа в $11$-ричной системе счисления и это запишется так: $23_{11}$ и $-23_{11}$. Мы будем иметь $t=2_{11}$ для первого и -2_{11}-для второго числа. Умножение на $11$ для первого числа и прибавление остатка $3$ даст исходное число. При этом, имейте в виду, что p-адическая запись для отрицательных чисел будет совершенно иной, чем представленная обычная запись. Я дам соответствующую ссылку в личке, чтоб Вы разобрались...
Я понимаю, что Вы всё это знаете и, скорее всего, лучше меня. Я намеренно вернулся к этим элементарным вещам, если уж возникло такое недопонимание по $t$. Поэтому, я сегодня пошлю Вам в личке ещё один пример-для разных степеней-это квадраты, кубы и 6-ые степени. Вы это могли бы разобрать самостоятельно более детально. Там всё указано-что есть что... Здесь же, если скажете, я готов выложить часть тех Примеров в виде выражений для уравнения ВТФ по модулю 31.

Далее.

waxtep в сообщении #1714601 писал(а):

я хочу конкретно вцепиться в озадачивающее меня построение раздела 4.

-Звучит , как-то угрожающе?..:)) Что значит "вцепиться"? Тем более, это:

waxtep в сообщении #1714601 писал(а):

для опровержения построения раздела 4

-Вы вчера говорили о желании получить понимание. Я, конечно, заинтересован и в "опровержении", как факте, но совершенно не заинтересован в собственном участии в этом процессе! :)) Надеюсь, это понятно? Если Вы так ставите вопрос, то я мог бы сказать: разбирайтесь сами, а потом выложите Review...с опровержением или ещё с чем-то. Поясните Ваши слова, вызвавшие у меня недопонимание.
Общаться?-готов. Разъяснять что-то? Да, тоже готов. Но, не помогать в "опровержении".:)

Сейчас пришлю дополнительные материалы в личку.

[transcendent]

Корректировка значения $t $ для числа $-23_{11}$:

transcendent в сообщении #1714619 писал(а):

Представим эти исходные числа в $11$-ричной системе счисления и это запишется так: $23_{11}$ и $-23_{11}$. Мы будем иметь $t=2_{11}$ для первого и -2_{11}-для второго числа.

Извинения но нужна корректировка значения $t$, вовремя не сделанная в связи с тем, что нажал на "Отправить", а потом не смог подредактировать, потому что исчез доступ на сайт. Исправляюсь: для $-23_{11} $значение $t$ будет $-3$ (а не $-2$) и, соответственно, остаток будет $8$.
П.С. Материалы, вроде, не ушли на момент моего отключения от доступа. Сейчас проверю ещё.

[waxtep]

transcendent в сообщении #1714619 писал(а):

Ошибка здесь. Если Вы выбрали $p=3$, то таких остатков, как $5$ и $7$ не существует.

О, это моя невнимательность, простите. Конечно, имею в виду $x=2,y=5,z=7,n=3,p=3$ и тогда $a=2,b=2,c=1$. Имеем в записи раздела 4: $1^3=7^3+3t$, - да, хорошо, такое целое $t$ существует, но и $1^3=-7^3+3t$ - это (существование целого $t$, удовлетворяющего данному равенству) мне совершенно непонятно, можете разъяснить?

[transcendent]

waxtep в сообщении #1714626 писал(а):

О, это моя невнимательность, простите. Конечно, имею в виду $x=2,y=5,z=7,n=3,p=3$ и тогда $a=2,b=2,c=1$. Имеем в записи раздела 4: $1^3=7^3+3t$, - да, хорошо, такое целое $t$ существует, но и $1^3=-7^3+3t$ - это (существование целого $t$, удовлетворяющего данному равенству) мне совершенно непонятно, можете разъяснить?

Прошу Вас поменьше делать из меня мистера калькулятора-причину объясню ниже. Тем более, ответы мои даны выше-вчерашние и сегодняшние-с примерами, ссылки на которые я отправлял в личку... Привожу ответ на Ваш вопрос и прошу больше не ждать от меня расчётов по простой причине, что любые (наверное...)примеры уже есть по ссылкам которые отосланы Вам.
Ещё раз напоминаю, что мы говорим в данном Вашем примере о 3-адическом числе $t$.
Вы взяли отрицательное значение $z=-7_{10}=-21_{3}$. Возведя в куб, Вы имеете $z^{3}=-343_{10}=-110201_{3}$. Для этого случая Вы переписываете этот куб, следующей 3-адической записью так: $z^{3}=...(2)112022_{3}$. Таким образом, Ваше уравнение с отрицательным $z$ примет следующий вид:
$(...(0)1_{3})^{3}=...(2)112022_{3}+10_{3}t$, (1), где $10_{3}$ это Ваше $ p$, выбранное Вами, как тройка, $3_{10}$.
Вычитаем из левой части известное число $z^{3}$ , чтоб выразить $10_{3}t$, получая:
$10_{3}t=...(0)110202_{3}=344_{10}$, (2).
Делим на $10_{3}$, чтобы записать искомое значение $t$:
$t=...(0)11020.2_{3}$, (3). Как видно, данное число рациональное, имеющее конечное разложение, и, естественно, может быть выражено, как $344/3$.
Проверка-операции в обратном направлении от показанного-показывает, что расчёты сделаны правильно:
$...(0)11020.2_{3} \cdot 10_{3}=...(0)110202_{3}$.
$...(0)110202_{3}+...(2)112022_{3}=...(0)1_{3}$.
[Как писал ранее, анализируйте $p$, которые побольше, чем $3$. Потому что, для малых p не очень наглядно...]
К тому же почти 0 реакции на часть моих текстов тоже мне как-то не очень. Считать и сидеть долго за компьютером мне не комильфо...по здоровью (глаза) и в связи с недостатоком времени. Если мелкие вопросы есть, постараюсь отвечать, а лучше, пишите review, если уж так хочется.
На этом завершаю. Надеюсь, разъяснил.

-- 13.01.2026, 14:29 --

П.С. waxtep, для ясности: я сейчас дал расчёт по Вашему примеру для отрицательного (скажем)$-z$. Но, сначала бы надо было разобраться с $z$, который имеет разные $t$. Чтоб путаницы не было. А, уж, потом переходить к $-z$, у которого будут свои $t$, скажем $t_{3}$ и $t_{4}$.

[transcendent]

waxtep
Ваши $x$, $y$, $z$ никуда не годятся по причине, что Вы пытаетесь мне дать (якобы) корни уравнения ВТФ (а они не корни) и сравнивате сумму остатков (для суммы кубов икса и игрека) по модулю $p$ с остатком от куба зет по модулю $p$, а не какие-то реальные суммы. Ну, и что, что у них остатки по модулю $p$ совпадают (а именно 1)? Это всё равно, что сравнивать бульдога с носорогом. Для реальной суммы мы можем определить корни (почти любой степени) в $\mathbb{Z}_{p}$ и обсуждать то, что обсуждалось. (Собственно, такие примеры я Вам и отправлял...) А то, что сделано было за эти пару дней, я думаю, ни на дюйм не приблизило Вас к пониманию. (И чо это я сразу не обратил внимания на такое несоответствие?...Хммм... Но, хотя, и писал Вам-не пытатйтесь придумать "контрпример" с целыми числами! Об Уайлсе, хотя бы, помните.)

[waxtep]

transcendent, да, извините, реагирую не на всё, пытаюсь сконцентрироваться на одной непонятной мне детали. А приведение конкретного примера в этих целях, - просто один из удобных способов разобраться. В одной из квазиавтобиографических книжек Фейнмана описано, как он пытался воспринять сложные математические построения таким образом; не грех и нам попробовать повторить прием великого ученого.

Теперь к лошадям:

transcendent в сообщении #1714637 писал(а):

Делим на $10_{3}$, чтобы записать искомое значение $t$:
$t=...(0)11020.2_{3}$, (3). Как видно, данное число рациональное, имеющее конечное разложение, и, естественно, может быть выражено, как $344/3$.

Получается, один из корней не целый, а лишь рациональный. Но разве это не разрушает логику раздела 4? Вынесу его сюда для удобства:

transcendent в сообщении #1714482 писал(а):

4. Гипотеза и подъём тождества в $\mathbb{Z}$.
Пусть ненулевые целые $a\equiv x (\mod p)$, $b\equiv y (\mod p)$, $c\equiv z (\mod p)$ являются корнями (♱) и $p$ не делит $z$-исходная гипотеза. Среди соответствующих условию фильтра $c^{n}=z^{n}+pt$(t$\ne$0, т.к., $p$ не делит $z$) и $c^{n}=-z^{n}+pt$ для колец $\mathbb{Z}_{p}$. Следовательно, должны существовать два целых корня, $t_{1}$ и $t_{2}$. Подставим в (♱♱), раскрывая затем модуль: $(a^{n+k}+b^{n+k})(a^{n-k}+b^{n-k})\equiv (z^{n}+pt)^{2}(\mod p)$. Раскрывая, получаем: $p^{2}t^{2}+2ptz^{n}+z^{2n}-(a^{n}+b^{n})^{2}=0$. Это квадратное уравнение относительно $t$: $p^{2}t^{2}+2ptz^{n}+[z^{2n}-(a^{n}+b^{n})^{2}]=0$.
Дискриминант-полный квадрат: $\Delta$=4p^{2}(a^{n}+b^{n})^{2}$.
Целочисленные корни: $t_{1}=-z^{n}/p-(a^{n}+b^{n})/p$, $t_{2}=-z^{n}/p+(a^{n}+b^{n})/p$.

Вот это "Следовательно, должны существовать два целых корня, $t_{1}$ и $t_{2}$" - не выходит; что же делать дальше?

-- 13.01.2026, 15:15 --

transcendent в сообщении #1714639 писал(а):

Ваши $x$, $y$, $z$ никуда не годятся по причине, что Вы пытаетесь мне дать (якобы) корни уравнения ВТФ (а они не корни)

Ну, тут вы ссылаетесь на верность теоремы Ферма, которую беретесь доказать, - так не годится. Конечно, я не смогу предъявить Вам "истинных" корней уравнения Ферма, - ведь их не существует. Лишь следую Вашему изложению, направленному (если я правильно понимаю) на доказательство теоремы Ферма исходя из сравнений по модулю и иных дополнительных соображений разделов 3, 4. Приведённый мной пример требованиям разделов 1, 2 удовлетворяет, если я правильно понимаю Ваше изложение

[transcendent]

waxtep в сообщении #1714640 писал(а):

transcendent, да, извините, реагирую не на всё, пытаюсь сконцентрироваться на одной непонятной мне детали.

Ок, принято. Но,я на Ваше последнее письмо уже ответил. Посмотрите на него.

waxtep в сообщении #1714640 писал(а):

Вот это "Следовательно, должны существовать два целых корня, $t_{1}$ и $t_{2}$" - не выходит; что же делать дальше?

Ответил выше уже. Про "бульдога с носорогом". Но-на возможное будущее-напоминаю ещё , ибо, уже не раз писал: не просто целые, а p-адические целые". Следовательно, если хотите чего-то "делать дальше" , придумайте нормальный реальный пример. Можете взять, тот, который я вам отсылал вчера (или сегодня?). И прошу помнить, что я не имею возможности выписывать здесь чего-то долго и сложно. Старайтесь обходится собственными силами.