ВТФ(3)-малой теоремой Ферма+варьируемыми основаниями с/с, p.

[transcendent]

Доказываем ВТФ$(3), с помощью малой теоремы Ферма ,МТФ, и варьируемых оснований систем счисления, с/с, p.

transcendent в сообщении #1689804 писал(а):

Это попытка доказать ВТФ почти элементарно для для случая $n=3$.
Лемма: Пусть взаимно простые целые x,y,z удовлетворяют уравнению ВТФ , при нечётном $n>2$, и a,b,c являются остатками (mod p) от x,y,z соответственно. Тогда для каждого нечетного целого числа m в области [3,2n-3] выполнено $a^{m}+b^{m}=c^{m} (\mod p)$.
Предварительные замечания:
1. В доказательстве Леммы ниже обозначения $a,b,c$ соответствуют остаткам по модулю $p$ (первым цифрам в младших порядках справа) для чисел $x$, $y$, $z$. Тогда, можно использовать обыкновенные равенства-без обозначения сравнений по модулю $p$.
2. То же самое-для чисел $х^{n}, у^{n}, z^{n} $.
3. То же самое-для $a^{k}, b^{k}, c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных $p-1$, и которые являются порядками элемента/ов $a$ (и $b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.
4. Доказательство считается выполненным, если получены уравнения: $a^{n}+b^{n}=c^{n}(\mod p)$, (1), $a^{n-k}+b^{n-k}=c^{n-k}(\mod p)$, (2), $a^{n+k}+b^{n+k}=c^{n+k}(\mod p)$, (3).
5. Аббревиатура "с/с" означает "система счисления".
Доказательство:
1. Если $x$ и $y$ являются нечётными числами, тогда $a=b$ в кольце $Z_{2}$;
(Эквивалентная формулировка: В любой с/с $a^{k}=b^{k}$, в соответствии с МТФ. Если использовать эту формулировку, тогда следующий пункт 2 может быть пропущен.)
2. Возведение в степень $k$ обоих чяастей уравнения в п. 1 даёт уравнение $a^{k}=b^{k}$.
3. Вычитание из левой части уравнения в п.2 правой части и возведение во вторую степень даёт уравнение $(a^{k}-b^{k})^{2}=0$.
4. Уравнение из п.3 переписано следующим образом: $a^{2\cdot k}-2\cdot a^{k}\cdot b^{k}+b^{2\cdot k}=0$.
5. Уравнение из п. 4 переписано так: $2\cdot a^{k}\cdot b^{k}=a^{2\cdot k}+b^{2\cdot k}$.
6. Уравнение из п. 5 переписано так: $2=(a^{2\cdot k}+b^{2\cdot k})/(a^{k}\cdot b^{k})$.
7. Уравнение из п. 6 переписано так: $2=(a/b)^{k}+(b/a)^{k^}$.
8. Уравнение из п. 7 переписано так: $2=b^{-k}\cdot a^{k}+a^{-k}\cdot b^{k}$.
9. Умножение обоих частей уравнения в п. 7 на $a^{n}\cdot b^{n}$ позволяет получить уравнение $2\cdot a^{n}\cdot b^{n}=b^{n-k}\cdot a^{n+k}+a^{n-k}\cdot b^{n+k}$.
10. Сумма $a^{2\cdot n}+b^{2\cdot n}$ прибавлена слева и справа уравнения из п. 9 и получено следующее уравнение: $a^{2\cdot n}+2\cdot a^{n}\cdot b^{n}+b^{2\cdot n}=a^{2\cdot n}+b^{n-k}\cdot a^{n+k}+a^{n-k}\cdot b^{n+k}+b^{2\cdot n}$.
11. Упрощение уравнения из п. 10 даёт следующее уравнение: $(a^{n}+b^{n})^{2}=(a^{n-k}+b^{n-k})(a^{n+k}+b^{n+k})$.
12. Левая часть уравнения п. 11 есть уравнение (1) в квадрате, правая часть уравнения g/ 11 есть произведение уравнений (2) и (3), что доказывает Лемму.
Q.E.D.
Полученное доказательство Леммы означает, что существует бесконечное количество гипотетических "Троек Ферма", которые имеют остатки $a$, $b$, $c$ по модулю $p$ (цифры в младшей позиции).

Доказательство невозможности иметь одинаковые/повторяющиеся a, b, c в разных с/с для гипотететических "Троек Ферма" для случая $n=3$.
1. Пусть $x=p\cdot t_{1}+a$, $y=p\cdot t_{2}+b$, $ z=p\cdot t_{3}+c$ являются гипотетическими "Тройками Ферма", где $p$-основание с/с, $t_{i}$-часть числа, которая получается при делении на $p$ соответствующего числа, у которого вычтен соответствцующий остаток по модулю $p$.
2. $x^{3}=(p\cdot t_{1}+a)^{3}=p^{3}\cdot t_{1}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{1}^{2}\cdot a+ 3\cdot p\cdot t_{1}\cdot a^{2}+a^{3}$; $y^{3}=(p\cdot t_{2}+b)^{3}=p^{3}\cdot t_{2}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{2}^{2}\cdot b+ 3\cdot p\cdot t_{2}\cdot b^{2}+b^{3}$; $z^{3}=(p\cdot t_{3}+c)^{3}=p^{3}\cdot t_{3}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{3}^{2}\cdot c+ 3\cdot p\cdot t_{3}\cdot c^{2}+c^{3}$.
3. Сложение и вычитание соответствующиих уравнений из п.2 в соответствии с уравнением ВТФ и упрощение путём вынесения $p^{3}$, $p^{2}$ и $p$ за скобки в необходимых местах даёт следующее уравнение: $p^{3}\cdot (t_{1}^{3}+t_{2}^{3}-t_{3}^{3})+3\cdot p^{2}\cdot (t_{1}^{2}\cdot a+t_{2}^{2}\cdot b-t_{3}^{2}\cdot c)+3\cdot p\cdot (t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}-t_{3}\cdot c^{2})=0$.
4. Сокращение на $p$ обоих частей уравнения из п.2 позволяет получить следующее уравнение: $p^{2}\cdot (t_{1}^{3}+t_{2}^{3}-t_{3}^{3})+3\cdot p\cdot (t_{1}^{2}\cdot a+t_{2}^{2}\cdot b-t_{3}^{2}\cdot c)+3\cdot (t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}-t_{3}\cdot c^{2})=0$.
5. Уравнение из п. 4 может быть упрощённо записано так: $A\cdot p^{2}+B\cdot p+C=0$, где A, B, C определена в уравнение п. 4.
6. Чтобы иметь хотя бы один положительный корень, $p$, необходимо иметь дискриминант , $D$, для уравнений в п.п. 4 и 5, который соответствует неравенству $>0$, т.е. $D=B^{2}-4\cdot A\cdot C>0$.
7. Чтобы иметь дискриминант больше 0, $D >0$, необходимо иметь $B^{2}>4\cdot A\cdot C$.
8. Поскольку случаи $C>0$ и $C=0$ неприемлемы, чтобы иметь целые корни, p, рассмотрим сразу возможность существования случая $C<0$. Тогда $ t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}<t_{3}\cdot c^{2}$, откуда следует, что $p\cdot t_{1}\cdot a^{2}+p\cdot t_{2}\cdot b^{2}<p\cdot t_{3}\cdot c^{2}$, откуда следует, что $(x-a)\cdot a^{2}+(y-b)\cdot b^{2}<(z-c)\cdot c^{2}$.
9. Раскрыв скобки в последнем неравенстве п. 8, и сократив $a^{3}$, $b^{3}$, $c^{3}$ согласно условию Леммы $a^{3}+ b^{3}=c^{3}(\mod p)$, получено неравенство $ x\cdot a^{2}+y\cdot b^{2}<z\cdot c^{2}$, которое безальтернативно влечёт вывод , что $x=t_{1}=p\cdot t_{1}$, $y=t_{2}=p\cdot t_{2}$, $z=t_{3}=p\cdot t_{3}$, если сравнить с первым уравнением в п. 8 выше.
10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9: $t_{3}$ не может быть больше суммы$ t_{1}+t_{2}$, что сразу обеспечит аргументацией данное доказательство. И, тогда сразу от п. 7 переходим к данному п. 10 и далее-до конца доказательства.
11. Вывод в п.9 противоречит условиям Леммы и начальным условиям в п. 1 настоящего доказательства, что говорит в пользу того, что не существует каких-то значений $p$, которые позволяли бы повторяться гипотетическим "Тройкам Ферма" с одними и теми же остатками $\mod p$/цифрами в младшей позиции при значении степени $n=3$, как это характерно для Пифагоровых Троек.
12. Из пунктов 8-11 следует, что не существует гипотетических "Троек Ферма" при степени $n=3$.
Q.E.D.

[mihaild]

У вас же все рассуждения в лемме по модулю $2$, а обещали результат по модулю $p$ (кстати, не сказав, что это вообще за число).

Вообще не ленитесь писать, где какие равенства по какому модулю - станет сильно легче искать ошибки. И никакие системы исчисления нужны, если уж мы говорим о модульной арифметике, то "младшие разряды" совершенно избыточны.

[transcendent]

mihaild в сообщении #1694596 писал(а):

а обещали результат по модулю $p$ (кстати, не сказав, что это вообще за число).

Число $p-$простое число.

transcendent в сообщении #1694591 писал(а):

(Эквивалентная формулировка: В любой с/с $a^{k}=b^{k}$, в соответствии с МТФ.

Поэтому, заголовок такой, какой есть.

mihaild в сообщении #1694596 писал(а):

"младшие разряды" совершенно избыточны

Да. Осталось от "старого" варианта.

[mihaild]

transcendent в сообщении #1694591 писал(а):

В любой с/с $a^{k}=b^{k}$, в соответствии с МТФ

Это непонятно что значит. Равенство чисел не зависит от системы счисления.

В общем в формулировке не хватает квантора по $p$. В доказательстве не хватает доказательства.

-- 17.07.2025, 13:55 --

transcendent в сообщении #1694597 писал(а):

Осталось от "старого" варианта

Так перепишите нормально, почему за вас работу должен делать читатель?

[transcendent]

1. Дополнил формулировку Леммы, введя $p$, 2. сделал корректировки/дополнения в "Предварительные замечания" касательно "убрать цифры в младшей позиции", а также дал здесь больше информации по МТФ (Малая Теорема Ферма), 3. В "Доказательстве Леммы" отредактированы первые два пункта, чтобы доказательство было приемлемым при любом $p$.

transcendent в сообщении #1694591 писал(а):

Доказываем ВТФ$(3), с помощью малой теоремы Ферма ,МТФ, и варьируемых оснований систем счисления, с/с, p.

transcendent в сообщении #1689804 писал(а):

Это попытка доказать ВТФ почти элементарно для для случая $n=3$.
Лемма: Пусть взаимно простые целые x,y,z удовлетворяют уравнению ВТФ , при нечётном $n>2$, и a,b,c для каждого простого числа $p$ являются остатками (mod p) от x,y,z соответственно. Тогда для каждого нечетного целого числа m в области [3,2n-3] выполнено $a^{m}+b^{m}=c^{m} (\mod p)$.
Предварительные замечания:
1. В доказательстве Леммы ниже обозначения $a,b,c$ соответствуют остаткам по модулю $p$ для чисел $x$, $y$, $z$. Тогда, можно использовать обыкновенные равенства без явного обозначения сравнений по модулю $p$.
2. То же самое-для чисел $x^{n}$, $y^{n}$, $z^{n}$.
3. То же самое-для $a^{k}$, $b^{k}$, $c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, $p>2$, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem , для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных $p-1$, и которые являются порядками элемента/ов $a$ (и $b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.
4. Доказательство считается выполненным, если получены уравнения: $a^{n}+b^{n}=c^{n}(\mod p)$, (1), $a^{n-k}+b^{n-k}=c^{n-k}(\mod p)$, (2), $a^{n+k}+b^{n+k}=c^{n+k}(\mod p)$, (3), где $m_{0}=n$, $m_{-1}=n-k$, $m_{+1}=n+k$.
5. Аббревиатура "с/с" означает "система счисления".
Доказательство:
1. Если $x$ и $y$ являются нечётными числами, тогда коэффициенты $a=b$, (1), для чисел в кольце $Z_{2}$, либо, при любом $p>2$ $a^{k}=b^{k}$, (2), в соответствии с МТФ.
2. Возведение в степень $k$ обоих частей уравнения (1) в п. 1 даёт уравнение такое же $a^{k}=b^{k}$, что используется при старте: $a^{k}=b^{k}$,согласно МТФ, если $p>2$.
3. Вычитание из левой части уравнения в п.2 правой части и возведение во вторую степень даёт уравнение $(a^{k}-b^{k})^{2}=0$.
4. Уравнение из п.3 переписано следующим образом: $a^{2\cdot k}-2\cdot a^{k}\cdot b^{k}+b^{2\cdot k}=0$.
5. Уравнение из п. 4 переписано так: $2\cdot a^{k}\cdot b^{k}=a^{2\cdot k}+b^{2\cdot k}$.
6. Уравнение из п. 5 переписано так: $2=(a^{2\cdot k}+b^{2\cdot k})/(a^{k}\cdot b^{k})$.
7. Уравнение из п. 6 переписано так: $2=(a/b)^{k}+(b/a)^{k^}$.
8. Уравнение из п. 7 переписано так: $2=b^{-k}\cdot a^{k}+a^{-k}\cdot b^{k}$.
9. Умножение обоих частей уравнения в п. 7 на $a^{n}\cdot b^{n}$ позволяет получить уравнение $2\cdot a^{n}\cdot b^{n}=b^{n-k}\cdot a^{n+k}+a^{n-k}\cdot b^{n+k}$.
10. Сумма $a^{2\cdot n}+b^{2\cdot n}$ прибавлена слева и справа уравнения из п. 9 и получено следующее уравнение: $a^{2\cdot n}+2\cdot a^{n}\cdot b^{n}+b^{2\cdot n}=a^{2\cdot n}+b^{n-k}\cdot a^{n+k}+a^{n-k}\cdot b^{n+k}+b^{2\cdot n}$.
11. Упрощение уравнения из п. 10 даёт следующее уравнение: $(a^{n}+b^{n})^{2}=(a^{n-k}+b^{n-k})(a^{n+k}+b^{n+k})$.
12. Левая часть уравнения п. 11 есть уравнение (1) в квадрате, правая часть уравнения g/ 11 есть произведение уравнений (2) и (3), что доказывает Лемму.
Q.E.D.
Полученное доказательство Леммы означает, что существует бесконечное количество гипотетических "Троек Ферма", которые имеют остатки $a$, $b$, $c$ по модулю $p$ (цифры в младшей позиции).

Доказательство невозможности иметь одинаковые/повторяющиеся a, b, c в разных с/с для гипотететических "Троек Ферма" для случая $n=3$.
1. Пусть $x=p\cdot t_{1}+a$, $y=p\cdot t_{2}+b$, $ z=p\cdot t_{3}+c$ являются гипотетическими "Тройками Ферма", где $p$-основание с/с, $t_{i}$-часть числа, которая получается при делении на $p$ соответствующего числа, у которого вычтен соответствцующий остаток по модулю $p$.
2. $x^{3}=(p\cdot t_{1}+a)^{3}=p^{3}\cdot t_{1}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{1}^{2}\cdot a+ 3\cdot p\cdot t_{1}\cdot a^{2}+a^{3}$; $y^{3}=(p\cdot t_{2}+b)^{3}=p^{3}\cdot t_{2}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{2}^{2}\cdot b+ 3\cdot p\cdot t_{2}\cdot b^{2}+b^{3}$; $z^{3}=(p\cdot t_{3}+c)^{3}=p^{3}\cdot t_{3}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{3}^{2}\cdot c+ 3\cdot p\cdot t_{3}\cdot c^{2}+c^{3}$.
3. Сложение и вычитание соответствующиих уравнений из п.2 в соответствии с уравнением ВТФ и упрощение путём вынесения $p^{3}$, $p^{2}$ и $p$ за скобки в необходимых местах даёт следующее уравнение: $p^{3}\cdot (t_{1}^{3}+t_{2}^{3}-t_{3}^{3})+3\cdot p^{2}\cdot (t_{1}^{2}\cdot a+t_{2}^{2}\cdot b-t_{3}^{2}\cdot c)+3\cdot p\cdot (t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}-t_{3}\cdot c^{2})=0$.
4. Сокращение на $p$ обоих частей уравнения из п.2 позволяет получить следующее уравнение: $p^{2}\cdot (t_{1}^{3}+t_{2}^{3}-t_{3}^{3})+3\cdot p\cdot (t_{1}^{2}\cdot a+t_{2}^{2}\cdot b-t_{3}^{2}\cdot c)+3\cdot (t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}-t_{3}\cdot c^{2})=0$.
5. Уравнение из п. 4 может быть упрощённо записано так: $A\cdot p^{2}+B\cdot p+C=0$, где A, B, C определена в уравнение п. 4.
6. Чтобы иметь хотя бы один положительный корень, $p$, необходимо иметь дискриминант , $D$, для уравнений в п.п. 4 и 5, который соответствует неравенству $>0$, т.е. $D=B^{2}-4\cdot A\cdot C>0$.
7. Чтобы иметь дискриминант больше 0, $D >0$, необходимо иметь $B^{2}>4\cdot A\cdot C$.
8. Поскольку случаи $C>0$ и $C=0$ неприемлемы, чтобы иметь целые корни, p, рассмотрим сразу возможность существования случая $C<0$. Тогда $ t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}<t_{3}\cdot c^{2}$, откуда следует, что $p\cdot t_{1}\cdot a^{2}+p\cdot t_{2}\cdot b^{2}<p\cdot t_{3}\cdot c^{2}$, откуда следует, что $(x-a)\cdot a^{2}+(y-b)\cdot b^{2}<(z-c)\cdot c^{2}$.
9. Раскрыв скобки в последнем неравенстве п. 8, и сократив $a^{3}$, $b^{3}$, $c^{3}$ согласно условию Леммы $a^{3}+ b^{3}=c^{3}(\mod p)$, получено неравенство $ x\cdot a^{2}+y\cdot b^{2}<z\cdot c^{2}$, которое безальтернативно влечёт вывод , что $x=t_{1}=p\cdot t_{1}$, $y=t_{2}=p\cdot t_{2}$, $z=t_{3}=p\cdot t_{3}$, если сравнить с первым уравнением в п. 8 выше.
10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9: $t_{3}$ не может быть больше суммы$ t_{1}+t_{2}$, что сразу обеспечит аргументацией данное доказательство. И, тогда сразу от п. 7 переходим к данному п. 10 и далее-до конца доказательства.
11. Вывод в п.9 противоречит условиям Леммы и начальным условиям в п. 1 настоящего доказательства, что говорит в пользу того, что не существует каких-то значений $p$, которые позволяли бы повторяться гипотетическим "Тройкам Ферма" с одними и теми же остатками $\mod p$/цифрами в младшей позиции при значении степени $n=3$, как это характерно для Пифагоровых Троек.
12. Из пунктов 8-11 следует, что не существует гипотетических "Троек Ферма" при степени $n=3$.
Q.E.D.

[mihaild]

transcendent в сообщении #1694612 писал(а):

$a=b$ в кольце $Z_{2}$

Это называется $a \equiv b \pmod 2$. $a$ не может быть "в $\mathbb Z_2$", это натуральное число. Выразить нужное утверждение через $\mathbb Z_2$ можно, но это будет сложнее.

transcendent в сообщении #1694612 писал(а):

либо, при любом $p>2$ $a^{k}=b^{k}$, в соответствии с МТФ

Не доказано.

transcendent в сообщении #1694612 писал(а):

Возведение в степень $k$ обоих частей уравнения в п. 1

Там несколько уравнений, непонятно, о каком речь.

transcendent в сообщении #1694612 писал(а):

Полученное доказательство Леммы означает

Доказательство (если бы оно было корректным) означало бы только верность утверждения леммы. Если нужно что-то еще - это нужно явно сформулировать и доказать.

И не заворачивайте текст в quote, он не для этого предназначен.

[transcendent]

mihaild в сообщении #1694616 писал(а):

transcendent в сообщении #1694612

писал(а):
$a=b$ в кольце $Z_{2}$ Это называется $a \equiv b \pmod 2$. $a$ не может быть "в $\mathbb Z_2$", это натуральное число. Выразить нужное утверждение через $\mathbb Z_2$ можно, но это будет сложнее.

Исправил.

mihaild в сообщении #1694616 писал(а):

transcendent в сообщении #1694612
писал(а):
либо, при любом $p>2$ $a^{k}=b^{k}$, в соответствии с МТФ Не доказано.

МТФ, дана ссылка. Я прямым текстом откровенно "передрал" отттуда.

mihaild в сообщении #1694616 писал(а):

transcendent в сообщении #1694612
писал(а):
Возведение в степень $k$ обоих частей уравнения в п. 1 Там несколько уравнений, непонятно, о каком речь.

Ввёл номера уравнений. Да, я обозначил и для $2$, и для $p$ остатки одинаковыми буквами, чтобы не плодить лишних крючков.
Всё равно, работа идёт так, как там написано и путаницы нет. У меня раньше были номера уравнений. "Западники" порвали и обсмеяли. Я-убрал...Теперь, право, и не знаю-что делать.

mihaild в сообщении #1694616 писал(а):

там несколько уравнений, непонятно, о каком речь.
transcendent в сообщении #1694612
писал(а):
Полученное доказательство Леммы означает Доказательство (если бы оно было корректным) означало бы только верность утверждения леммы. Если нужно что-то еще - это нужно явно сформулировать и доказать.

Вы пишете "если нужно что-то ещё"-не понял что это означает? Если мне, то, вроде как, не нужно. Если я не прав, проясните, пожалуйста.

mihaild в сообщении #1694616 писал(а):

И не заворачивайте текст в quote, он не для этого предназначен.

Здесь-да. Моя вина и извинения. Забыл, что можно было просто скопировать и потом править.:) Извините, пожалуйста. Редко пишу здесь. И, поэтому, забыл.

[mihaild]

transcendent в сообщении #1694617 писал(а):

МТФ, дана ссылка. Я прямым текстом откровенно "передрал" отттуда

Малая теорема Ферма явно утверждает другое. Как минимум там две переменных, и сравенние по модулю, а не три, и равенство натуральных чисел. Если вы как-то её применяете - надо явно написать, как.

[transcendent]

mihaild в сообщении #1694618 писал(а):

transcendent в сообщении #1694617 писал(а):

МТФ, дана ссылка. Я прямым текстом откровенно "передрал" отттуда

Малая теорема Ферма явно утверждает другое. Как минимум там две переменных, и сравенние по модулю, а не три, и равенство натуральных чисел. Если вы как-то её применяете - надо явно написать, как.

Прошу прощения, но я этого не понимаю. Что там может быть другого? Я имею два числа. Это $x$. Это $y$. Предполагаемые корни уравнения ВТФ. И что? В любой системе счисления всё есть так, как я написал. Я имею собственную примитивную програмку для расчётов в кольцах. Всё проверено. Поэтому, пока я затрудняюсь что мне на это ответить. Либо, "расшифруйте" вопрос, пожалуйста.

[mihaild]

transcendent в сообщении #1694620 писал(а):

Что там может быть другого? Я имею два числа. Это $x$. Это $y$.

А пишете при этом

transcendent в сообщении #1694612 писал(а):

$a^{k}=b^{k}$, (2), в соответствии с МТФ

Малая теорема Ферма утверждает $\forall \alpha \forall \beta: \beta\text{ - простое} \rightarrow \alpha^\beta \equiv \alpha \pmod \beta$ (записал с греческими буквами чтобы точно не было конфликта с уже использовавшимися обозначениями). Как это вообще связано с вашим равенством $a^k = b^k$ - загадка.

[transcendent]

mihaild в сообщении #1694621 писал(а):

transcendent в сообщении #1694620 писал(а):

Что там может быть другого? Я имею два числа. Это $x$. Это $y$.

А пишете при этом

transcendent в сообщении #1694612 писал(а):

$a^{k}=b^{k}$, (2), в соответствии с МТФ

Малая теорема Ферма утверждает $\forall \alpha \forall \beta: \beta\text{ - простое} \rightarrow \alpha^\beta \equiv \alpha \pmod \beta$ (записал с греческими буквами чтобы точно не было конфликта с уже использовавшимися обозначениями). Как это вообще связано с вашим равенством $a^k = b^k$ - загадка.

Альтернативная формулировка: $\alpha^{\beta-1}\equiv 1 \pmod \beta$. Но, лучше оставить обозначения, как у меня, чтоб не запутаться: $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\ $ и $b^{p-1}\equiv 1 \pmod p\ $

mihaild в сообщении #1694621 писал(а):

Как это вообще связано с вашим равенством $a^k = b^k$ - загадка.

Ответ дан в тексте, копирую:

transcendent в сообщении #1694612 писал(а):

3. То же самое-для $a^{k}$, $b^{k}$, $c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, $p>2$, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem
, для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных $p-1$, и которые являются порядками элемента/ов $a$ (и $b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.

То же и для $ b^{k}$.
Примеры в кольце $ \mathbb{Z}_{11}$:
4^{5}\equiv 1(\mod 11),
4^{6}\equiv 4(\mod 11),
4^{7}\equiv 5(\mod 11),
4^{17}\equiv 5(\mod 11),
4^{27}\equiv 5(\mod 11),
4^{37}\equiv 5(\mod 11),
и т.д.
5^{5}\equiv 1(\mod 11),
5^{6}\equiv 5(\mod 11),
5^{7}\equiv 3(\mod 11),
5^{17}\equiv 3(\mod 11),
5^{27}\equiv 3(\mod 11),
5^{37}\equiv 3(\mod 11),
и т.д.
В этом примере $k=p-1=10$.
Конечно, $k$ может быть меньше $p-1$, но , в этом случае, оно кратно $p-1$. Нет проблем для совпадения k у двух чисел. Об этом идёт речь.

[mihaild]

transcendent в сообщении #1694623 писал(а):

Ответ дан в тексте

В каких-то "предварительных замечаниях". Которые, естественно, я читать не стал. Доказательство должно быть изложено по порядку. Если нужно промежуточное утверждение - его надо явно сформулировать, и явно на него ссылаться.

Итак, у нас есть $a, b$, являющиеся остатками от деления $x, y$ на $p$. Малая теорема Ферма не гарантирует, что $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p$, для такой формулировки нужно, чтобы $a$ было взаимно просто с $p$.

[transcendent]

mihaild в сообщении #1694625 писал(а):

transcendent в сообщении #1694623 писал(а):

Ответ дан в тексте

В каких-то "предварительных замечаниях". Которые, естественно, я читать не стал. Доказательство должно быть изложено по порядку. Если нужно промежуточное утверждение - его надо явно сформулировать, и явно на него ссылаться.
Итак, у нас есть $a, b$, являющиеся остатками от деления $x, y$ на $p$. Малая теорема Ферма не гарантирует, что $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p$, для такой формулировки нужно, чтобы $a$ было взаимно просто с $p$.

Разумеется. Это всё есть в тексте МТФ. Но, в то же время, помним , что в нашем контексте $p$ это основание с/с. Следовательно, $a$ и $ b$ не могут делиться на $p $ ни при каких условиях.

mihaild в сообщении #1694625 писал(а):

В каких-то "предварительных замечаниях". Которые, естественно, я читать не стал. Доказательство должно быть изложено по порядку.

Прошу иметь в виду, что такой текст, в общем виде, сформировался в результате обсуждений, которые тоже были причиной различных пожеланий. Если те-более ранние-пожелания не совпали с Вашими, моей вины нет.

[mihaild]

transcendent в сообщении #1694626 писал(а):

Но, в то же время, помним , что в нашем контексте $p$ это основание с/с. Следовательно, $a$ и $ b$ не могут делиться на $p $ ни при каких условиях

Мне неизвестны теоремы, утверждающие, что никакие числа не могут делиться на основание никакой системы счисления . Поэтому сформулируйте точно используемое утверждение, и докажите его.

transcendent в сообщении #1694626 писал(а):

Прошу иметь в виду, что такой текст, в общем виде, сформировался в результате обсуждений, которые тоже были причиной различных пожеланий

Я не несу ответственности за высказанные вам другими людьми пожелания, а так же за вашу интерпретацию этих пожеланий. Я могу только ответственно заявить, что высказываемые мной требования к оформлению рассуждений - общеприняты в математике.

[transcendent]

mihaild в сообщении #1694630 писал(а):

Мне неизвестны теоремы, утверждающие, что никакие числа не могут делиться на основание никакой системы счисления . Поэтому сформулируйте точно используемое утверждение, и докажите его.

Оно только сегодня сформулировано уже второй раз. В чём вопрос, на который я не смог ответить? Что $a$ и/или $b$ делятся на $p$ ? Покажите, пожалуйста, как это $p$ может делить $a $ или $b$. (Конечно, если я правильно понял Ваш вопрос.) Покажите, пожалуйста. Я отвечу , что в тексте "одной канвой" идёт ещё и бинарная числовая система. Там гарантированно ничего из $a$ и $b$ не делится на $2$.Если Вы покажете деление явно, я смог бы сформировать мой ответ.

mihaild в сообщении #1694630 писал(а):

Я не несу ответственности за высказанные вам другими людьми пожелания, а так же за вашу интерпретацию этих пожеланий. Я могу только ответственно заявить, что высказываемые мной требования к оформлению рассуждений - общеприняты в математике.

А я ни в чём и не смел Вас обвинять, как мне думается. Я дал Вам мои пояснения. Больше мне добавить нечего. Ну, кроме, если, сконкретизировать, что я имел в виду-причину, почему всё есть так, как есть. Мне было сказано буквально: вынеси определения, какие-то условия не входящие в "тело" доказательства. Как я это понял, так я и с делал. Не могу ж я прыгнуть выше головы...Следовательно, хотел бы попросить принимать текст as is.