Элементарная алгебра для отстающих

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1712377 писал(а):

Полностью задание выглядит так: "Найти значение этой функции, если $x=-\frac{\pi}{2}$".

Ну да, для этого задания график вообще не нужен. Просто подставляете нужный х и делаете вычисления.

[horda2501]

Здравствуйте! Тема: "Периодичность функций". Как решать уравнения, вроде следующих?
1) $\sin(x+2\pi)+\sin(x-4\pi)=1$
2) $\cos(x+2\pi)+cos(x-8\pi)=\sqrt{2}$

[serg_yy]

horda2501 в сообщении #1712760 писал(а):

Здравствуйте! Тема: "Периодичность функций". Как решать уравнения, вроде следующих?
1) $\sin(x+2\pi)+\sin(x-4\pi)=1$
2) $\cos(x+2\pi)+cos(x-8\pi)=\sqrt{2}$

Очевидно, воспользоваться периодичностью функций)))
Какой период у синуса и косинуса, и что этот период вообще означает?

[horda2501]

Период $2\pi$ и означает он, что через это число через которое график функции продублируется. Также в примере к параграфу объяснялось почему верно тождество $\sin kx=\frac{2\pi}{k}$, если необходимо найти период для функции с нестандартным показателем частоты колебания волны на графике. Вот так я для себя на данный момент поняла объяснение в учебнике.

[serg_yy]

horda2501 в сообщении #1712768 писал(а):

Период $2\pi$ и означает он, что через это число через которое график функции продублируется.

А если без графика, чисто алгебраически? Упростите выражения:
$\sin (x+2\pi)=?$
$\sin (x-4\pi)=?$

-- 18.12.2025, 17:26 --

horda2501 в сообщении #1712768 писал(а):

верно тождество $\sin kx=\frac{2\pi}{k}$

А, и это ерунда написана. Периодом функции $\sin kx$ действительно является $\frac{2\pi}{k}$, но равенство ставить нельзя.

[horda2501]

Хм, вот с $\sin(x-4\pi)$ мне как раз и не понятно ничего. Плюс или минус $2\pi k$ значит обращение $k$ раз и возвращение в исходную точку. То есть, можно поставить знак равенства в $\sin(x+2\pi)=\sin x$, правильно? Тогда в $\sin(x-4\pi)=\sin (x-2)$? (Очевидно, что эта запись смысла не имеет, но это всё что я сейчас могу ).

[serg_yy]

horda2501 в сообщении #1712772 писал(а):

То есть, можно поставить знак равенства в $\sin(x+2\pi)=\sin x$, правильно?

Это верно.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1712772 писал(а):

Очевидно, что эта запись смысла не имеет, но это всё что я сейчас могу

У вас есть калькулятор? Возьмите какой-нибудь конкретный $x$ и посчитайте на калькуляторе чему равен $\sin (x)$ и чему $\sin (x-4\pi)$

[serg_yy]

horda2501 в сообщении #1712772 писал(а):

Тогда в $\sin(x-4\pi)=\sin (x-2)$?

Это неверно. Любой сдвиг на $2\pi k$ возвращает значение функции в исходное. В частности, сдвиг на $-4\pi$ возвращает значение в исходное (это как раз $2\pi k$ при $k=-2$). Отсюда $\sin(x-4\pi)=\sin x$.

[horda2501]

Но как же тогда понимать выражения, данные в примерах? Где в них вычисления? Ведь получается всегда возвращение в одну точку, просто через разное количество раз. Однако, почему в одном примере результат $1$, а в другом $\sqrt{3}$?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1712777 писал(а):

Однако, почему в одном примере результат $1$, а в другом $\sqrt{3}$?

Решите примеры
1) $2x=1$
2) $2x=5$
Потом спросите "ну как же так, $2x$ же не может быть то равен 1, а то целых 5, как это вообще понимать?"

[horda2501]

Если так рассуждать, то в примере 1) получается выражение $\sin 2x=1$, а в 2) $cos 2x=\sqrt{3}$. Кажется, поняла. Дальше нужно найти для какому $x$ как числу на окружности соответствуют синус 1 и косинус $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Верно?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1712780 писал(а):

Если так рассуждать, то в примере 1) получается выражение $\sin 2x=1$, а в 2) $cos 2x=\sqrt{3}$.

Нет, не получается. Вы же не думаете, на самом деле, (хотя... кто вас знает), что $\sin x + \sin x=\sin 2x$ ?
Если думаете, то предлагаю взять $x=1$ и проверить на калькуляторе.

[horda2501]

Иногда я думаю, но не всегда как в учебнике Да, именно так я и подумала. Более того, ответ оказался правильным. Но не факт, что я правильно понимаю, естественно. То есть, для синуса $\frac{1}{2}$ действительно $x=\frac{\pi}{4}$, либо $x=\frac{5\pi}{6}$.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1712786 писал(а):

То есть, для синуса $\frac{1}{2}$ действительно $x=\frac{\pi}{4}$, либо $x=\frac{5\pi}{6}$.

Вот серьезно, возьмите калькулятор и посчитайте чему равен $\sin \frac{\pi}{4}$ и чему равен $\sin \frac{5\pi}{6}$ - это же вам доступно сделать? Или нет?
Зачем вы гадаете на кофейной гуще, если можно элементарно проверить ваши измышления на калькуляторе?