Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

horda2501 в сообщении #1703738 писал(а):

Каким образом получается такое завершение?

Ну это называется "вынести за скобки общий множитель". Например, если вынести $\dfrac{1}{x^2}$ за скобки из $2\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+3\left({\dfrac{1}{x}\right)-4$ то получится $\dfrac{1}{x^2}(2+3x-4x^2)$ - проверьте раскрытием скобок.

[horda2501]

Здравствуйте! У меня возникла трудность, которая знакома всем кто догоняет. Промчалась довольно быстро курс 9 класса и теперь смутно помню подробности Нужна помощь.
Вот такое вот задание. "Найдите область определения функции $y=\sqrt{10x-3x^2-3}+\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{1}{25-4x^2}$".
Вопрос: как систематически решать такие задачи (алгоритм, если он есть, то есть)? Я попробовала просто грубо решить каждую из "частей", но логику выведения общего ответа не поняла. Например, корни квадратного уравнения это $\frac{1}{3}$ и $3$. Второй член имеет смысл когда переменная не принадлежит отрезку $(-2;2)$, а третий когда переменная не равна $2,5$, так как на 0 делить нельзя. Ответ же и вовсе: $2<x<2,5$ и $2,5<x\leqslant 3$. Как понимать?

[Booker48]

Алгоритм простой - все слагаемые должны иметь смысл. Т.е. корень чётной степени извлекается только из неотрицательного числа, знаменатель дроби не должен равняться нулю, логарифмируемое выражение ... и т.д.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1704339 писал(а):

Вопрос: как систематически решать такие задачи (алгоритм, если он есть, то есть)?

В данном случае система такая: нельзя делить на ноль и извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Соответственно, проверить все корни на неотрицательность, проверить все и знаменатели на неравенство нулю.

-- 03.10.2025, 14:32 --

horda2501 в сообщении #1704339 писал(а):

Я попробовала просто грубо решить каждую из "частей", но логику выведения общего ответа не поняла.

Общий ответ это пересечение ответов всех частей. Пересечение - это значит что подходят только значения, одновременно удовлетворяющие всем частичным ответам.

[EUgeneUS]

horda2501 в сообщении #1704339 писал(а):

третий когда переменная не равна $2,5$,

Не равна $2.5$ и не равна $-2.5$
Потеря второго корня, $-2.5$ не приведет к ошибке в данной задаче.
Но когда-то приведёт.

[provincialka]

horda2501 в сообщении #1704339 писал(а):

Например, корни квадратного уравнения это $\frac{1}{3}$ и $3$.

Вот тут немного недоделали.
Сравните с

horda2501 в сообщении #1704339 писал(а):

Второй член имеет смысл когда переменная не принадлежит отрезку $(-2;2)$

Про первый надо аналогичное условие записать.

[horda2501]

Самое первое что вызывает непонимание это отсутствие отрицательных чисел в ответе. Ведь $-2$ для второго члена даст $0$ под корнем на который нельзя делить. В чем причина того, что это не зафиксировано в ответе учебника?

[Booker48]

horda2501 в сообщении #1704358 писал(а):

Ведь $-2$ для второго члена даст $0$ под корнем на который нельзя делить.

Ну так его ($-2$) и нет в ответе учебника. Что не так?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1704358 писал(а):

В чем причина того, что это не зафиксировано в ответе учебника?

В ответе в учебнике написан собственно ответ: какие числа подходят. И $-2$ среди них нет, т.к. $-2$ не в ходит в область определения.

[horda2501]

Вспомнила, да. Была здесь такая тема в сообщениях. Я уже спрашивала почему на ноль можно поделить, хотя вроде бы нельзя в целом. С интервалами, кажется, было связано. Видимо, это то же явление.

[horda2501]

Здравствуйте! Тема: "Обратная функция". (Довольно запутанная и кажущаяся несвоевременной.) Задание: "Для заданной функции найдите обратную". Данная функция: $y=\frac{x+1}{2x-3}$. Ответ: $y=\frac{3x+1}{2x-1}$.

Я не поняла совершенно ничего В тексте параграфа говорится, что обратная функция просто выражается через $x$ вместо $y$. Здесь же и ответ выражен через $y$ и как он получен я тоже не поняла.

[serg_yy]

horda2501 в сообщении #1704823 писал(а):

Здравствуйте! Тема: "Обратная функция". (Довольно запутанная и кажущаяся несвоевременной.) Задание: "Для заданной функции найдите обратную". Данная функция: $y=\frac{x+1}{2x-3}$. Ответ: $y=\frac{3x+1}{2x-1}$.

Я не поняла совершенно ничего В тексте параграфа говорится, что обратная функция просто выражается через $x$ вместо $y$. Здесь же и ответ выражен через $y$ и как он получен я тоже не поняла.

Заменяете в исходной функции y на x и наоборот. Получаете уравнение $x=\frac{y+1}{2y-3}$. Из него выражаете $y=...$ Если всё верно сделаете, ответ совпадёт с учебником.

[Dedekind]

horda2501
Нужно вот отсюда

horda2501 в сообщении #1704823 писал(а):

$y=\frac{x+1}{2x-3}$

выразить $x$ через $y$. А потом в конечном ответе просто заменить все иксы на игреки и наоборот, поскольку не имеет значения, как обозначать переменные.

[horda2501]

Довольно запутанно. Возможно, стоит пропустить эту тему. Старт учебника не из лучших, голова кругом идёт от него, хотя темы в целом вроде как повтор или не далеко от него. Если кого-либо не затруднит, скажите, а в каких случаях используется на практике нечто подобное?

[Dedekind]

horda2501
Да не слишком запутано, просто линейное уравнение нужно решить. Это уже Вы должны бы уметь. А без понимания обратной функции Вы не поймете ни корни, ни логарифмы, ни тригонометрию.