Нестационарные состояния атома водорода

[Cos(x-pi/2)]

Что-то мне вообще стала непонятной идея об усреднённом времени жизни разных нестабильных систем. Вот, допустим, мы в момент времени $t=0$ взяли $N_0$ частиц с временем жизни $\tau_1$ и $N_0$ частиц с временем жизни $\tau_2.$ Тогда суммарное число $N(t)$ (без учёта флуктуаций) нераспавшихся частиц к моменту времени $t>0$ будет

$$N(t)=N_0\,e^{-t/\tau_1}+N_0\,e^{-t/\tau_2}$$

С течением времени то слагаемое, у которого время жизни меньше, станет экспоненциально малым по сравнению с другим слагаемым и им можно будет пренебречь. Т.е. на больших временах число $N(t)$ приблизительно равно единственному слагаемому, самому долгоживущему.

Производная в начальный момент времени есть

$$\left(\frac{dN}{dt}\right )_{t=0} =-\left (\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}\right )N_0$$

Выражение, которое справа в скобках, обозначу как $1/\tau.$ Если попытаться ввести в рассмотрение некое якобы "эффективное число нераспавшихся частиц" уравнением

$$\frac{dN}{dt}=-\frac{1}{\tau}\,N$$

(с начальным значением $N(0)=N_0),$ то получим для него ответ $N_0\, e^{-t/\tau},$ вовсе не характеризующий правильные значения и поведение $N(t).$ Так что, насчёт якобы среднего времени жизни $\tau=\frac{\tau_1\tau_2}{\tau_1+\tau_2}$ я был неправ.

Вот и задумался теперь, а известен ли вообще какой-то физически осмысленный способ определить "среднее время жизни" частицы в смеси нестабильных частиц, различающихся временем жизни? (Гуглежом подходящего ответа не нашёл; может быть, плохо искал... или какой-то заскок у меня (увы, такое бывает)).

[lel0lel]

(Оффтоп)

Не получается пробиться на форум, по полчаса приходится обновлять страницу, чтобы ответить.

Cos(x-pi/2)
Спасибо, что указали на то, что я в сообщении про смешанное состояние не вполне ясно объяснил, что там находится. Добраться до той страницы мне не удаётся, поэтому расскажу без цитирования того сообщения. Хотелось понять какое время релаксации смешанного состояния (а не смеси частиц) к основному состоянию. В том сообщение я не совсем верно говорил про время жизни. Можно представить такой эксперимент: выбираем случайную частицу из смеси (смесь свежая, если нужно, то готовим её заново) и следим за её излучением, если слишком долго не излучает (больше ожидаемых времён релаксации на порядок), можно попробовать слабым полем вызвать излучение (чтобы убедиться, если излучения не будет, что она в основном), либо просто пишем, что время релаксации этой частицы ноль. Набрав статистику, усредняем. В некотором смысле, получим среднее время релаксации смешанного к основному, или, с натяжкой, время жизни смешанного (не самой смеси). Не уверен, что это очень осмысленно. Формул не пишу, сейчас тяжело.

[Cos(x-pi/2)]

lel0lel в сообщении #1702213 писал(а):

если слишком долго не излучает (больше ожидаемых времён релаксации на порядок), можно попробовать слабым полем вызвать излучение (чтобы убедиться, что она в основном), либо просто записываем, что время релаксации этой частицы ноль.

Так ведь наверное тогда не ноль, а "бесконечность", раз она не релаксирует в течение времени, большего ожидаемых больших времён релаксации; тогда и среднее наверное будет "бесконечность".

А... дошло. Наверное Вы считаете, что частица мгновенно срелаксировала, раз потом она уже не релаксирует. Хм... но тогда вряд ли можно полагать, что она "слишком долго не излучает"; излучила же. Ладно, интуитивно немного понятно, хотя чёткого смысла такого среднего времени релаксации я пока не уловил (типа, в какую формулу его потом подставлять, какие величины по нему оценивать).

[lel0lel]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702214 писал(а):

Так ведь наверное тогда не ноль а "бесконечность", раз она не релаксирует в течение времени, большего ожидаемых больших времён релаксации

Или релаксация уже была пока частицу несли из коробки к спектрометру, то есть, мгновенно. К тому же, знаем матрицу плотности, и в ней "замешано" основное состояние, с нулевым временем релаксации.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702214 писал(а):

Наверное Вы считаете, что частица мгновенно срелаксировала, раз потом она уже не релаксирует. Хм... но тогда вряд ли можно полагать, что она "слишком долго не излучает".

Да, всё так. "Слишком долго не излучает"-- это на случай, если попалась живучая частица в возбуждённом. Хотя, там убывающая экспонента в вероятности оставаться в возбуждённом состоянии -- проверять не обязательно. Достаточно подождать.
Фактически, находим средневзвешенное время релаксации всех входящих чистых состояний на которых замешано смешанное. Причём основному состоянию приписываем нулевое время релаксации. Какого-то серьезного смысла пожалуй нет. Только хотелось показать, что и смешанное, и чистое будут "релаксировать" со сравнимыми скоростями, особых различий нет. Кроме того, смешанное можно построить задав вероятности входящих в него чистых компонент (и создать такую смесь), а сами эти компоненты не обязательно делать стационарными состояниями, можно брать комбинации. Тогда отличий от обсуждаемого состояния в виде суперпозиции вообще почти не остаётся.

[realeugene]

lel0lel в сообщении #1702213 писал(а):

Хотелось понять какое время релаксации смешанного состояния (а не смеси частиц)

А в чём вообще разница? В полностью смешанном состоянии по определению нет никакого взаимодействия между базисными состояниями: внедиагональные члены нулевые. Всё равно, что бросили монетку и выбрали частицу в одном из состояний, которую и наблюдаем дальше.

Вы точно пишете про смешанное состояние, а не про суперпозицию?

-- 18.09.2025, 09:53 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702211 писал(а):

Вот и задумался теперь, а известен ли вообще какой-то физически осмысленный способ определить "среднее время жизни" частицы в смеси нестабильных частиц,

Нет конечно: сумма экспонент не есть экспонента.

Осреднить, конечно, можно всё, что угодно, только в результате это не будет параметром экспоненциального распределения.

-- 18.09.2025, 10:00 --

lel0lel в сообщении #1702209 писал(а):

Предположим, что мы приготовили $|\Phi(0)\rangle=\left(c_1\cdot|\psi_1\rangle + c_2\cdot|\psi_2\rangle \right)\otimes |0\rangle$. Предположим, что можно медленно включить взаимодействие с полем. Нам нужно включать такое взаимодействие, чтобы новый полный гамильтониан имел непрерывный спектр (иначе, как и прежде, эволюция сведётся к осцилляциям), и чтобы для исходно приготовленного состояния новое среднее значение и дисперсия энергии не очень сильно отличались от прежних значений. Но как только это делаем, старые стационарные состояния больше не являются таковыми для нового гамильтониана.

Разве основное состояние атома водорода не остаётся тем же самым и в КЭД? Кулоновское электрическое поле уже учтено в уравнении Шрёдингера. Распад нестабильных состояний - да, требует каких-то поправок в гамильтониан.

[epros]

Ende в сообщении #1702193 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702174 писал(а):

Как-то не хочется всерьёз разбирать физику в ветке, предназначенной для "пофилософствовать в перекурах".

Отделил. Обсуждайте на здоровье. Ваши тщательные разборы очень украшают форум.

Я не возражаю. Однако хочу заметить, что моей целью и было вернуть в физику тему, предназначенную для "пофилософствовать на перекурах". Так что я продолжаю рассматривать вопрос эволюции состояния атома водорода только как подготовку к вопросу о том, когда там начинают ветвиться миры.

Поясню ещё раз: Я не вижу разницы между эволюцией атома из суперпозиции (стационарных состояний) в стационарное состояние и тем, что в квантовой механике называется "измерением". Поэтому мне кажутся странными рассуждения о том, что для ветвления миров якобы нужен какой-то "классический прибор" (что это вообще такое?).

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702174 писал(а):

Так что, похоже, мой текст уже не нужен; если Вы всё основное знаете. Но теперь мне жалко его выбрасывать .

Спасибо. Я всё же кое-что прокомментирую, чтобы было понятно, о чём я хотел сказать и спросить.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702174 писал(а):

"Кванты", если говорить только о проверенной опытом теории, являющейся "рабочей лошадкой" у физиков, занятых задачами практики, а не философией, это теория про вероятности и средние значения разнообразных физических величин, характеризующих системы.

Волновые функции $\psi$ в этой теории служат одним из средств вычислений вероятностей и средних значений физ. величин, наряду с ещё одним важным средством вычислений - с операторами. Объектами вычислений операторы и волновые функции в теории являются, а объектами наблюдения в опыте - нет. Наблюдать $\psi$ для одного экземпляра системы невозможно. В терминах "вероятность" и "среднее значение" в рабочей квантовой теории всегда подразумевается статистический ансамбль, даже если это не говорится явно.

Да, я всё это понимаю. Но на первом этапе меня интересует чисто теоретическое решение "задачи одного атома", т.е. в терминах самой теории: волновых функциях и их эволюции со временем. Что это может означать с точки зрения "вероятностей" и "статистических ансамблей" - это уже другой вопрос. Для нас сейчас важно отличить стационарное состояние от суперпозиции таковых.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1702174 писал(а):

Если в задаче решено учитывать взаимодействие электрона с электромагнитным полем, как с квантовой системой, то это надо делать сразу, а не так, что сначала пишем $|\psi\rangle$ для электрона без поля, а потом вдруг с какого-то момента добавляем в описание ещё и состояния поля $|\text{фотоны}\rangle.$

Я не предлагаю брать $|\psi\rangle$ для электрона без поля. Я предлагаю брать ту самую эвереттовскую "функцию состояния всего универсума" $|\psi\rangle$, которую он потом расщепил на "разные миры". Вот только наш мир содержит единственный атом водорода, ну и связанное с ним электромагнитное поле, разумеется. Так что электромагнитное поле мы не добавляем к электрону без поля, а наоборот вычленяем (при необходимости) состояние электрона из этого общего состояния всего мира.

realeugene в сообщении #1702195 писал(а):

Вы всё очень подробно и правильно пишете, вот только у epros начальное состояние

$$|\Phi(0)\rangle=\left(c_1\cdot|\psi_1\rangle + c_2\cdot|\psi_2\rangle \right)\otimes |0\rangle$$

Нет, это неправильная формализация. Как я понимаю, $|0\rangle$ здесь обозначает нулевое состояние поля, а этого не может быть, потому что уравнениям Максвелла не соответствует. Если в случае стационарного состояния поле можно считать статическим (внутри атома - центральным кулоновским, а снаружи - фактически нулевым в силу экранирования электронной оболочкой), то в случае суперпозиции наблюдаются осцилляции плотности заряда, а значит даже снаружи атома полем пренебречь нельзя, причём статическим оно не будет.

Но и однозначно начальное состояние поля мы определить не можем, в отличие от состояния самого электрона, которое можно по определению считать, например, суперпозицией между орбиталями $1s$ и $2s$. Похоже, что именно в этой неоднозначной определённости начального состояния поля и зарыта собака: из-за этого мы не знаем, в какое из состояний в будущем эволюционирует электрон - $1s$, $2s$ или что-то третье.

[realeugene]

epros в сообщении #1702226 писал(а):

Поясню ещё раз: Я не вижу разницы между эволюцией атома из суперпозиции (стационарных состояний) в стационарное состояние и тем, что в квантовой механике называется "измерением".

Вы словом "эволюция" называете и коллапс, т. е. не только унитарную эволюцию? Если так, то мне кажется, что это вносит путаницу.

-- 18.09.2025, 10:27 --

epros в сообщении #1702226 писал(а):

Поэтому мне кажутся странными рассуждения о том, что для ветвления миров якобы нужен какой-то "классический прибор" (что это вообще такое?).

Зависит от интерпретации. В копенгагенской он постулируется. Классический прибор, при взаимодействии с которым квантовая система коллапсирует. Согласно ЛЛ3. Без взаимодействия с классическим прибором состояние квантовой системы эволюционирует унитарно.

-- 18.09.2025, 10:32 --

epros в сообщении #1702226 писал(а):

Нет, это неправильная формализация.

Закономерен вопрос: какая формализация правильная? Именно формализация, а не рассуждение на пальцах про переменное электрическое поле снаружи.

-- 18.09.2025, 10:34 --

epros в сообщении #1702226 писал(а):

Но и однозначно начальное состояние поля мы определить не можем, в отличие от состояния самого электрона, которое можно по определению считать, например, суперпозицией между орбиталями $1s$ и $2s$. Похоже, что именно в этой неоднозначной определённости начального состояния поля и зарыта собака: из-за этого мы не знаем, в какое из состояний в будущем эволюционирует электрон - $1s$, $2s$ или что-то третье.

Вы всё ещё про КЭД? Надеюсь, вы с формализмом КТП хорошо знакомы, в отличие от меня?

Но ваше предсказание понято правильно: вы предсказываете, что атом водорода в суперпозиции излучит фотоны и перейдёт в основное состояние сильно быстрее, чем из чистого возбуждённого почти стационарного состояния. Если это так - должны быть древние работы об этом с формальными расчётами. Их просто не может не быть.

[epros]

realeugene в сообщении #1702227 писал(а):

Вы словом "эволюция" называете и коллапс, т. е. не только унитарную эволюцию? Если так, то мне кажется, что это вносит путаницу.

Нет, коллапс - это такая фигня, которая происходит неизвестно почему, поэтому мы просто (независимо от формализма всей остальной теории) полагаем, что он есть, и все дела.

А я говорю сейчас о решении задачи эволюции функции состояния Вселенной: берём лагранжиан КЭД и считаем.

realeugene в сообщении #1702227 писал(а):

Зависит от интерпретации. В копенгагенской он постулируется. Классический прибор, при взаимодействии с которым квантовая система коллапсирует.

Это какое-то раздвоение сознания: в квантовом мире вдруг откуда-то взялся не квантовый прибор. И никто не знает откуда. В задаче про кота Шредингера он где: уже в куске радиоактивного материала, в счётчике Гейгера, в самом коте или может быть в экспериментаторе, который откроет дверку ящика?

[realeugene]

epros в сообщении #1702230 писал(а):

Это какое-то раздвоение сознания: в квантовом мире вдруг откуда-то взялся не квантовый прибор. И никто не знает откуда.

Ага. В ЛЛ3 он просто появляется из ниоткуда. Он есть. И прекрасно наблюдаем людьми вокруг себя. Полностью квантовый мир без классических приборов - это ММИ. Как появляется классический мир в ММИ требует отдельного обсуждения.

-- 18.09.2025, 10:46 --

epros в сообщении #1702230 писал(а):

В задаче про кота Шредингера он где: уже в куске радиоактивного материала, в счётчике Гейгера, в самом коте или может быть в экспериментаторе, который откроет дверку ящика?

Задача про кота Шрёдингера некорректна в рамках копенгагенской интерпретации. Классический наблюдатель единственен. Иначе вылазят многочисленные "парадоксы".

В ММИ есть скорее классические истории памяти наблюдателя, чем классические миры. Которые крайне многочисленны и постоянно расщепляются. И коллапсирует только относительная волновая функция при унитарной эволюции универсальной волновой функции.

-- 18.09.2025, 10:48 --

epros в сообщении #1702230 писал(а):

А я говорю сейчас о решении задачи эволюции функции состояния Вселенной: берём лагранжиан КЭД и считаем.

Универсальная волновая функция существует только в ММИ.

[epros]

realeugene в сообщении #1702227 писал(а):

Закономерен вопрос: какая формализация правильная? Именно формализация, а не рассуждение на пальцах про переменное электрическое поле снаружи.

У меня нет готовых ответов на все вопросы. То, что я мог сказать, я сказал: поставим в рамках КЭД задачу эволюции состояния Вселенной, состоящей из одного атома водорода. Начальное условие: электрон в суперпозиции между $1s$ и $2s$ орбиталями, остальное - вариативно.

realeugene в сообщении #1702227 писал(а):

Но ваше предсказание понято правильно: вы предсказываете, что атом водорода в суперпозиции излучит фотоны и перейдёт в основное состояние сильно быстрее, чем из чистого возбуждённого почти стационарного состояния.

Нет, я "предсказываю", что электрон быстро перейдёт в одно из стационарных состояний. В какое именно - сильно зависит от начального состояния поля (которое нам неизвестно). Но я могу ошибаться, ибо моё "предсказание" основано не на точном расчёте, а на достаточно общих соображениях.

realeugene в сообщении #1702227 писал(а):

Если это так - должны быть древние работы об этом с формальными расчётами. Их просто не может не быть.

Кто там кому что должен в этом плане - я не могу сказать. Может быть они и есть, но мы не знаем.

-- Чт сен 18, 2025 12:15:16 --

realeugene, с каждым абзацем Вашего последнего письма я совершенно не согласен. Но комментировать не буду, ибо это уход в далёкий офтоп от того, что здесь предлагалось обсуждать.

[realeugene]

epros в сообщении #1702234 писал(а):

У меня нет готовых ответов на все вопросы.

Какой смысл спорить на пальцах о том, что ни я, ни вы не можем и близко посчитать? Остаётся только ждать возможного появления в теме специалиста по КТП.

-- 18.09.2025, 11:42 --

epros в сообщении #1702234 писал(а):

realeugene, с каждым абзацем Вашего последнего письма я совершенно не согласен. Но комментировать не буду, ибо это уход в далёкий офтоп от того, что здесь предлагалось обсуждать.

Опровергнуть мои утверждения вы могли бы очень просто: указав параграф ЛЛ3, где классическая система определяется. Используется известно где - при описании коллапса при измерении.

-- 18.09.2025, 11:46 --

epros в сообщении #1702234 писал(а):

Нет, я "предсказываю", что электрон быстро перейдёт в одно из стационарных состояний. В какое именно - сильно зависит от начального состояния поля (которое нам неизвестно).

При унитарной эволюции это невозможно в силу базового постулата квантов: линейности состояний. Единственное, что возможно - что состояние атома спутается с неизмеряемым состоянием окружающего электромагнитного поля, и суперпозиция превратится в смесь. Достаточно ли для такого спутывания только виртуальных фотонов - а вот не знаю. Насколько я слышал, с подсчётом состояний свободного электромагнитного поля всё очень не просто. Если нет - есть сомнения, что такое вообще возможно.

[epros]

realeugene в сообщении #1702241 писал(а):

Какой смысл спорить на пальцах о том, что ни я, ни вы не можем и близко посчитать? Остаётся только ждать возможного появления в теме специалиста по КТП.

Я не против ждать специалиста. Но это ведь Вы писали о том, что статья Эверетта - строгая математика. Значит Вы, наверное, её понимаете. А вот мне кажется, что если эта математика основана на понятии "классического прибора", то это не строгая математика, а чушь какая-то. Может быть я и ошибаюсь, но хотелось бы понять. Для начала на простом примере, в котором я вижу такое же "измерение", как в случае с котом Шредингера, только в отличие от последнего есть реальный шанс всё аккуратно посчитать, не упираясь в необходимость точно описывать волновые функции кота и экспериментатора.

[realeugene]

epros в сообщении #1702244 писал(а):

Но это ведь Вы писали о том, что статья Эверетта - строгая математика. Значит Вы, наверное, её понимаете. А вот мне кажется, что если эта математика основана на понятии "классического прибора", то это не строгая математика, а чушь какая-то.

Статья Эверетта - не основана. Копенгагенская интерпретация, изложенная в ЛЛ3 - основана. Многие оспаривают осмысленность ММИ как раз в силу слишком большой ненаблюдаемости: проще постулировать классический прибор и явно наблюдаемый коллапс при измерении, чем рассуждать о мириадах ненаблюдаемых миров и коллапсе относительной волновой функции при изменении состояния сознания наблюдателя.

В институте учат именно копенгагенской интерпретации. "Заткнись и считай". Говорить, что она чепуха - это уже попахивает агрессивным невежеством. В ней есть коллапс при измерении квантовой системы классическим наблюдателем. Этому тоже учат, как я помню.

-- 18.09.2025, 13:08 --

realeugene в сообщении #1702241 писал(а):

Достаточно ли для такого спутывания только виртуальных фотонов - а вот не знаю.

В принципе понятно, что если бы было достаточно, то никакой квантовой механики бы не было: любая заряженная частица мгновенно бы декогерировала сама собой. Так что нужно только излучение реальных фотонов в бесконечность. А это и есть сам уже распад возбуждёного состояния, а не возникновение смеси возбуждённого состояния с невозбуждённым.

[realeugene]

А, кстати, соотношение неопределённости связывает ширину спектральной линии с временем жизни возбуждённого состояния. Это возможно только в том случае, если фотон как волна вылетает из возбуждённого состояния всё время пока возбуждённое состояние живёт. Иначе спектр фотона будет размазан по более широкой полосе. Как это согласуется с мгновенной отдачей импульса атому при излучении фотона как частицы? Кажется, ещё одно контринтуитивное свойство квантов, которое можно понять только анализируя математику расчёта излучения фотона.

UPD: А эффект Мёссбауэра показывает, что минимальная ширина линии, определяемая временем жизни возбуждённого состояния, достижима только тогда, когда импульс передаётся не мгновенно, а неизвестно вообще когда. Иначе ширина линии ограничена снизу временем взаимодействия.

UPD2: Как в этой квантовой каше, в которой происходит всё сразу и никогда конкретно, присутствуют очень глубокие фундаментальные симметрии, рождающие в результате наблюдаемые законы классического мира и гарантирующие ненаблюдаемость нарушений симметрий - это, конечно, невероятные чудеса.

UPD3: Мы сыграли в (классическую) рулетку и проиграли все деньги. Какой нам толк после этого, что в каком-то альтернативном классическом мире наша копия радуется баснословному выигрышу, пусть у нас были в прошлом и общие родители и друзья?

[epros]

realeugene в сообщении #1702241 писал(а):

epros в сообщении #1702234 писал(а):

Нет, я "предсказываю", что электрон быстро перейдёт в одно из стационарных состояний. В какое именно - сильно зависит от начального состояния поля (которое нам неизвестно).

При унитарной эволюции это невозможно в силу базового постулата квантов: линейности состояний.

А может ли мне кто-нибудь объяснить, каким образом с этим "принципом линейности состояний" уживается тот факт, что когда мы берём атом водорода в состоянии $1s$ (поле статическое и за пределами атома - нулевое), а потом мы берём атом водорода в состоянии $2s$ (поле тоже статическое и за пределами атома - нулевое) и делаем из этих двух состояний мира суперпозицию, то в итоге получаем осциллирующий электрический диполь и нестационарное поле за пределами атома?

По моим понятиям такая суперпозиция - это пример состояния поля с неопределённым количеством фотонов. То бишь, это либо суперпозиция состояний поля с испущенным и не испущенным фотоном, либо суперпозиция состояний поля с поглощённым и не поглощённым фотоном.