Грубые нарушения элементарной логики

[waxtep]

Возможно, такое соображение внесёт немного ясности: между множествами натуральных и чётных (например) можно строить разные отношения, не все они будут биекциями. Но, раз существует биекция - множества равномощны. Такой подход переносится один в один с конечного случая на счетный

[BorisK]

waxtep в сообщении #1701775 писал(а):

Возможно, такое соображение внесёт немного ясности: между множествами натуральных и чётных (например) можно строить разные отношения, не все они будут биекциями. Но, раз существует биекция - множества равномощны. Такой подход переносится один в один с конечного случая на счетный

А раз не существует биекция, то они не равномощны. Вы частный случай превратили в общий.

[epros]

BorisK в сообщении #1701770 писал(а):

Честно сказать, не приходит в голову, как, не нарушая правил, превратить "потенциально бесконечные ряды" в "потенциально бесконечные множества".

Что не устраивает-то? То, что потенциальное (что это вообще значит)? Или то, что не множество? Последовательность - это всего лишь отображение номера в элемент последовательности. Если номер может быть любым, то последовательность - бесконечная, вот и всё. А что "не множество", так что нам мешает совокупность всех элементов последовательности назвать "множеством"?

[waxtep]

BorisK в сообщении #1701776 писал(а):

А раз не существует биекция, то они не равномощны

Да, но это же определение равномощности: в нем "существует биекция", а не "все отношения должны быть биекциями".
Конкретно в этом примере ни для каких конечных подмножеств биекции не существует. А для бесконечных - раз! и существует. Бесконечность издевается над интуицией

[epros]

BorisK в сообщении #1701773 писал(а):

Для равномощных множеств соотношение мощностей 0,5 несовместимо.

А для бесконечных нет никакого соотношения 0,5

[BorisK]

waxtep в сообщении #1701779 писал(а):

Бесконечность издевается над интуицией

Мне представляется, что и над логикой тоже

-- 14.09.2025, 11:21 --

epros в сообщении #1701780 писал(а):

А для бесконечных нет никакого соотношения 0,5

Но ведь можно же доказать, что при стремлении $N$ к бесконечности получим 0,5. Для этого надо рассматривать не два бесконечных ряда, а один.

[epros]

BorisK в сообщении #1701781 писал(а):

Но ведь можно же доказать, что при стремлении $N$ к бесконечности получим 0,5. Для этого надо рассматривать не два бесконечных ряда, а один.

При стремлении $N$ к бесконечности получим предел чего?

[waxtep]

BorisK в сообщении #1701781 писал(а):

Мне представляется, что и над логикой тоже

Оно не просто "очень большое", оно иное. С новыми свойствами, типа равномощности собственному подмножеству. Его не пощупать никакой рукой, с даже очень большим количеством пальцев. С ним можно работать только придерживаясь определений, - как Одиссей придерживался мачты, слушая пение сирен, а ирландский Монган - злостных испарений чудесного копья, чтобы не быть побежденным музыкой эльфийца Айлиля... А то зачарует же!

[BorisK]

epros в сообщении #1701783 писал(а):

При стремлении $N$ к бесконечности получим предел чего?

Предел отношения количества четных чисел в ряде к количеству всех чисел ряда. Подробнее об этом в статье стр. 13.

[epros]

BorisK в сообщении #1701785 писал(а):

Предел отношения количества четных чисел в ряде к количеству всех чисел ряда.

Невозможно посчитать количество чисел в бесконечном ряде, ибо оно бесконечно. Можно посчитать количество чисел в конечном множестве, но Вы не сказали, как определяете это конечное множество.

-- Вс сен 14, 2025 13:30:55 --

В Вашей статье на стр. 13 этого тоже нет. Я вижу там только произвольно определённое понятие "конечной фиксации ряда". Но с какое стати Вы определяете "конечную фиксацию ряда" именно так?

Вот я определю последовательность конечных подмножеств $\mathbb N$ иначе. Добавляем в множество числа в таком порядке: два раза минимальные нечётные, потом один раз минимальное чётное, потом опять два раза минимальное нечётное, потом опять один раз минимальное чётное и т.д.:
$\{1\}$
$\{1,3\}$
$\{1,2,3\}$
$\{1,2,3,5\}$
$\{1,2,3,5,7\}$
$\{1,2,3,4,5,7\}$
$\{1,2,3,4,5,7,9\}$
$\{1,2,3,4,5,7,9,11\}$
$\{1,2,3,4,5,6,7,9,11\}$
...

Как видите, в конце концов все натуральные числа войдут в множество. Но если мы посчитаем отношение количества чётных к количеству всех чисел для каждого конечного множества - элемента последовательности, то предел такого отношения будет равен $\frac{1}{3}$.

[Mikhail_K]

BorisK в сообщении #1701773 писал(а):

Для равномощных множеств соотношение мощностей 0,5 несовместимо.

Дело в том, что мощности вообще нельзя делить друг на друга. У мощностей нет понятия "соотношения".
Ну и в любом случае, соотношение $0.5$ Вы получаете не для самих бесконечных множеств, а для их конечных подмножеств. Отсутствие равномощности самих бесконечных множеств отсюда не выводится.

BorisK в сообщении #1701773 писал(а):

А разве нельзя предложить вариант теории множеств, в которой есть потенциальная бесконечность, но нет актуальной? Тогда равномощности всех чисел и всех четных чисел не будет. Предложил же Булос GST, в которой вообще нет бесконечности!

Ну, консенсус в том, что в этом нет ничего хорошего. Математика с бесконечностями ("актуальными", как Вы говорите), конечно, в чём-то парадоксальнее, зато гораздо удобнее, чем математика без бесконечностей. Удаётся больше всего доказать и затем использовать для решения различных задач. Например методы решения интегральных уравнений основаны на функциональном анализе, а это теория ("актуально") бесконечномерных пространств функций. Бесконечность - это инструмент, и им надо учиться пользоваться, а не отбрасывать его из псевдоэстетических соображений.

[Geen]

BorisK в сообщении #1701770 писал(а):

Впрочем, один пример приведу.

Ну, спасибо.

BorisK в сообщении #1701770 писал(а):

Надо определить, выполнима ли она, при следующей интерпретации.

Не знаю, что Вы хотели этим примером показать, но "задача" решается в уме за два перекура.

Но главный вопрос остаётся: где здесь какие-то "ранее неизвестные свойства" декартового произведения?

BorisK в сообщении #1701770 писал(а):

Задачи можно найти

Если они все такие, то неинтересно... потому что бессмыслено. И не имеет отношения к пресловутым свойствам.

[EminentVictorians]

BorisK, я еще раз посмотрел вашу статью (пока только до второго абзаца первого пункта). Цитирую:

Цитата:

Применительно к логике с помощью алгебры кортежей исследуется один из вариантов [10] интерпретации языка первого порядка. В качестве области интерпретации всех переменных используется множество $D$, а для n-местных предикатов и формул со свободными переменными областью интерпретации является n-местное отношение, т.е. подмножество n-местных кортежей элементов из $D^n$. Эта модель интерпретации принята за основу в АК, но с учѐтом прикладной направленности АК в данную модель интерпретации внесены следующие изменения.

Меня здесь интересует вот эта фраза:

Цитата:

...является n-местное отношение, т.е. подмножество n-местных кортежей элементов из $D^n$.

n-местное отношение, о котором идет речь - это отношение на каком множестве? Было бы совсем замечательно, если бы вы написали это формулой. Допустим $R$ - то самое n-местное отношение. Тогда $R \subset ...$? Продолжите эту запись, чтобы было понятно, на каком множестве задано это отношение.

[BorisK]

epros в сообщении #1701786 писал(а):

В Вашей статье на стр. 13 этого тоже нет. Я вижу там только произвольно определённое понятие "конечной фиксации ряда". Но с какое стати Вы определяете "конечную фиксацию ряда" именно так?

Не настаиваю на том, что в статье дано точное определение. Но разве нельзя бесконечный ряд
$1,2, \dots, N, N+1, \dots$
определить по индукции? И определить количество $M$ четных чисел в этом ряде как функцию от $N$, принимающую 2 возможных значения в зависимости от того, четное $N$ или нечетное, и доказать, что при стремлении $N$ к бесконечности отношение $\frac {M}{N}$ при обоих значениях функции стремится к 0,5?

epros в сообщении #1701786 писал(а):

Но если мы посчитаем отношение количества чётных к количеству всех чисел для каждого конечного множества - элемента последовательности, то предел такого отношения будет равен $\frac{1}{3}$.

В Вашей последовательности не соблюдается естественное правило: в ней должны присутствовать все целые положительные числа, не превосходящие числа $N$. А иначе можно строить последовательности с любыми мерами отношений в пределах от 0 до 1 для четных чисел .

Mikhail_K в сообщении #1701790 писал(а):

Математика с бесконечностями ("актуальными", как Вы говорите), конечно, в чём-то парадоксальнее, зато гораздо удобнее, чем математика без бесконечностей.

Удобство понятие растяжимое. А парадоксальность, насколько мне известно, не всех авторитетных математиков удовлетворяла. Я не отрицаю бесконечности. Но разве не возможна (хотя бы в некоторой своей части) математика с потенциальной бесконечностью? И разве методами обычной математической (потенциальной) индукции не доказаны многие основополагающие результаты функционального анализа?

Geen в сообщении #1701805 писал(а):

Не знаю, что Вы хотели этим примером показать, но "задача" решается в уме за два перекура.

Вот здорово! Не опишете ли, хотя бы схематично, как Вы ее решили, и какие методы использовали?

Geen в сообщении #1701805 писал(а):

Но главный вопрос остаётся: где здесь какие-то "ранее неизвестные свойства" декартового произведения?

Я уже устал перечислять. Может быть, слово «свойство» здесь не подходит? Речь идет о неизвестных ранее операциях, проверках включения и интерпретации объединений декартовых произведений. И потом это всего лишь Ваше мнение об отсутствии новизны, которое было бы более убедительным, если бы Вы его обосновали. И все равно оно, скорее всего, так и останется мнением, поскольку существуют в некоторых случаях документально подтвержденные альтернативные мнения.

EminentVictorians в сообщении #1701813 писал(а):

Меня здесь интересует вот эта фраза:

Цитата:

...является n-местное отношение, т.е. подмножество n-местных кортежей элементов из $D^n$.

n-местное отношение, о котором идет речь - это отношение на каком множестве? Было бы совсем замечательно, если бы вы написали это формулой. Допустим $R$ - то самое n-местное отношение. Тогда $R \subset ...$? Продолжите эту запись, чтобы было понятно, на каком множестве задано это отношение.

$D^n$ в данном случае это декартово произведение, т.е. множество $n$-местных кортежей, содержащих элементы из $D$. Чтобы продолжить запись $R \subset ...$ требуются некоторые пояснения. Отношения в АК определены вместе со схемой отношения, например, $R[X_1X_2X_5]$, где $X_i$ - идентификаторы некоторых множеств. Тогда $R \subseteq X_1 \times X_2 \times X_5$. В статье моя небрежность в том, что я не сказал, что $D^n$ это декартово произведение. Но в цитируемом источнике это есть. И еще в моей статье сказано, что $D$ это множество. Тогда запись $D^n$ вряд ли может быть чем-то иным, чем декартово произведение.

Ой, у меня неотложных дел накопилась куча. Так что я беру отгул на недельку и прошу извинить меня тех участников дискуссии, на замечания и вопросы которых я в ближайшее время не смогу ответить.

[EminentVictorians]

BorisK, у вас $R$ - это отношение. Отношение - это множество. Я вас всего лишь попросил явно формулой написать, подмножеством какого множества является ваше $R$. Делов на одну минуту. Вместо этого вы начали про какие-то схемы отношений, идентификаторы множеств, цитируемые источники и тд. Но формулу так и не написали.

Смотрите в чем дело. Я бы просто мимо прошел и слово поперек не сказал, если бы не одно но: вы со своей псевдонаукой полезли в статьи на википедии: Прямое произведение и Cartesian product. И сами на себя еще ссылаетесь. Ваше ведь творчество про C-системы и D-кортежи.

У меня в голове не укладывается, как можно лезть редактировать википедию в части статей о теории множеств и быть не в состоянии написать простейшую формулу про отношение, подмножеством какого множества оно является.