Пример арифметического доказательства Великой теоремы Ферма

[slava_asf]

slava_asf в сообщении #1696342 писал(а):

Так как если с не делится на 3, то $(a + b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$ взаимно простые числа.

Вот если бы можно было доказать, что $(a^2 + ab + b^2)$ при $(a + b)=k c_1^3$ становится полным кубом только при тривиальных решениях...
Если кто найдет контрпример, значит про тройку забыли. Но это будет тоже результат.
Мысли вслух, может кому то идея понравится.

[slava_asf]

1. Для уравнения $c^3 = a^3 + b^3$ в целых или рациональных числах.
2. Представим уравнение п.1 как:

$$\left\{\begin{array}{lcl} c^3 + a^3 - b^3 = 2a^3 \\ c^3 - a^3 + b^3 = 2b^3 \\ c^3 + a^3 + b^3 = 2c^3 \\ c^3 - a^3 - b^3 = 0 \\ \end{array}\right.$$

3. Разложим на множители исходное уравнение: $c^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)$,
4. Выразим первый множитель уравнения п.3: $ c_1 = (a + b), a_1 = (c - b), b_1 = (c - a)$
5. Запишем систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl} c_1 + a_1 - b_1 = 2a \\ c_1 - a_1 + b_1 = 2b \\ c_1 + a_1 + b_1 = 2c \\ c_1 - a_1 - b_1 = 2(a + b - c) \\ \end{array}\right.$$

6. Получаем эквивалентные уравнения пп.2, 5, откуда условие существования равенства п.1 запишется в виде:
$a + b - c = 0$, т.е. при $n = 1$
Уточнение. Доказательство применимо для случая 1, когда $abc$ не делится на 3, а $a_1, b_1, c_1$ однозначно являются полными кубами.
Но может представлять интерес для читателя.

[slava_asf]

Случай 2. Пусть $c$ делится на 3.
7. Разложим на множители: $c^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)=(a + b)((a+b)^2 - 3ab)=3(a + b)(\frac{(a+b)^2}{3} - ab)$
8. Из п.7 получаем, что $c_1=3a+3b$ - полный куб, т.к. множители в скобках - взаимно простые.
9. Запишем систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl} c_1 + a_1 - b_1 = 2(2a+b) \\ c_1 - a_1 + b_1 = 2(a+2b) \\ c_1 + a_1 + b_1 = 2(a+b+c) \\ c_1 - a_1 - b_1 = 2(2a + 2b - c) \\ \end{array}\right.$$

Продолжение следует...

[slava_asf]

Есть такое предположение, что если уравнения п.2 и система уравнений п.5 эквивалентны даже в области иррациональных чисел, то это решение допустимо распространить также и в область целых чисел. Исходя из этого случай 2 невозможен. Но это только догадки... Если мысль можно обрубить сразу, пишите.

[slava_asf]

Наверное требуется небольшое пояснение:
Пусть a, b, с - вещественные числа, но могут быть и целыми.
Тогда справедливы пп.2, 3, 4, 5.
п.10. Получаем эквивалентные уравнения пп.2, 5 и бесконечный спуск, что определяет невозможность решения в целых числах.
п.11. Функция $c=\sqrt[3]{a^3+b^3} $ непрерывна, поэтому случай 2 исключается.

[slava_asf]

Имеем следующее доказательство ВТФ.
1. Для уравнения $c^n = a^n + b^n$, где $a, b, c$ вещественные числа, $n > 2$ - целое нечетное число.
2. Представим уравнение п.1 как:

$$\left\{\begin{array}{lcl} c^n + a^n - b^n = 2a^n \\ c^n - a^n + b^n = 2b^n \\ c^n + a^n + b^n = 2c^n \\ \end{array}\right.$$

3. Разложим на множители исходное уравнение: $c^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... )$,
4. Выразим первый множитель уравнения п.3: $ c_1 = (a + b), a_1 = (c - b), b_1 = (c - a)$
5. Запишем систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lcl} c_1 + a_1 - b_1 = 2a \\ c_1 - a_1 + b_1 = 2b \\ c_1 + a_1 + b_1 = 2c \\ \end{array}\right.$$

6. Уравнения пп.2, 5 эквивалентны, если переменные $a_1, b_1, c_1$ в n-ой степени, $a, b, c$ являются числами в n-ой степени.
7. Из п.6 получаем бесконечный спуск. Это определяет, что уравнение п.1 в целых числах неразрешимо.
8. Так как эквивалентность уравнений определена для вещественных чисел, функция $c=\sqrt[n]{a^n+b^n} $ непрерывна, другие представления системы уравнений п.5 являются производными.
Ч.Т.Д.
Вот такая задачка на сегодня, уважаемые формучане.

[mihaild]

slava_asf в сообщении #1698184 писал(а):

6. Уравнения пп.2, 5 эквивалентны, если переменные $a_1, b_1, c_1$ в n-ой степени, $a, b, c$ являются числами в n-ой степени

Что это вообще значит?

slava_asf в сообщении #1698184 писал(а):

7. Из п.6 получаем бесконечный спуск

Какой еще спуск?
Спуск - это способ получения из одного решения другого, в каком-то смысле меньшего. Какое другое решение получается?

Ну серьезно, откройте уже Постникова, посмотрите, как должны выглядеть нормальные рассуждения.

[slava_asf]

slava_asf в сообщении #1698184 писал(а):

Что это вообще значит?

Пусть $a_1 = a_{10}^n, b_1 = b_{10}^n, c_1 = c_{10}^n, a = a_0^n, b = b_0^n, a = b_0^n$
п.9. Тогда уравнения п.5 можно переписать в виде:

$$\left\{\begin{array}{lcl} c_{10}^n + a_{10}^n - b_{10}^n = 2a_0^n \\ c_{10}^n - a_{10}^n + b_{10}^n = 2b_0^n \\ c_{10}^n + a_{10}^n + b_{10}^n = 2c_0^n \end{array}\right.$$

п.10. Получаем эквивалентные уравнения пп.2 и 9.

mihaild в сообщении #1698244 писал(а):

Какой еще спуск?

п.11. Все переменные с добавочным индексом 0 меньше переменных уравнения п.2. Начинаем цикл.

slava_asf в сообщении #1697594 писал(а):

Доказательство применимо для случая 1, когда $abc$ не делится на 3, а $a_1, b_1, c_1$ однозначно являются полными кубами.

Спасибо за комментарии. Вопрос остался. Насколько здесь применим изложенный подход?

-- 15.08.2025, 17:06 --

mihaild в сообщении #1698244 писал(а):

Ну серьезно, откройте уже Постникова, посмотрите, как должны выглядеть нормальные рассуждения.

Приношу извинения за нелепые рассуждения, не математик я, а ферматист:) Просто мне нравится в этом лабиринте чисел копаться в свободное от работы время вместо того, чтобы водку пить. Взбредет какая-то идея, сам ошибку не пойму, DeepSeek не помогает, вот и приходится обращаться к Вам. Постникова я начал читать. Видимо книга была написана для того, чтобы вылечить ферматистов:) Но, к сожалению, человек так устроен, что пока сам шишки не набьет, не успокаивается.

[slava_asf]

Предполагаю, что доказательство, если оно верное, слишком очевидное, чтобы оставаться незамеченным.
Гипотеза Ферма всю жизнь называлась теоремой, и это было признано математиками. Тому должно было быть основание.
Формулировка теоремы Ферма не допускает использование вещественных чисел, т.е. непрерывных функций в доказательстве.
Использование вещественных чисел - критическая ошибка в доказательстве.
А это означает, что я удовлетворил свое любопытство. Точка. Спасибо Всем!
Надеюсь, кому-то пост будет полезен.

[slava_asf]

Постников. стр.9. "Элементарное же доказательство теоремы Ферма ... ЗАКРОЕТ ПРОБЛЕМУ, но большого значения для математики иметь заведомо не будет".
Внимательней надо читать умные книги...
Поэтому Ферма никого не обманывал.
Может он, а может его последователи сформулировали постановку задачи таким образом, чтобы получить значимые для математики результаты.
Следующее доказательство ВТФ должно быть не менее оригинальным, чем доказательство Уайлса.
Поэтому, всем ферматистам советую сначала изучить доказательство Уайлса:)
Кстати, есть перевод доказательства Уайлса на русский? В оригинале читать сложновато.

-- 16.08.2025, 14:55 --

slava_asf в сообщении #1698184 писал(а):

Имеем следующее доказательство ВТФ.

Если такое доказательство имеет место быть, то его можно изложить в 3 строчки без всяких систем уравнений.

[slava_asf]

slava_asf в сообщении #1698435 писал(а):

его можно изложить в 3 строчки

1. Можно заметить, что уравнения вида $c^n = a^n + b^n$, где a, b, c - вещественные числа, $n$ - нечетное число.
2. Разделяются на множители как $c^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... )$
3. Откуда в следующей итерации мы имеем уравнение вида: $c_1^n = (a_1^n + b_1^n)$ и получаем бесконечный спуск.
4. Существование целых чисел при этом невозможно.
5. Уравнение можно представить в виде $(c^{1/n})^n = (a^{1/n})^n + (b^{1/n})^n$.
6. При любом нечетном значении n, и даже $n = 1/k$, где k - нечетное число, получаем решение $c = a + b$
Ч.Т.Д.
Тут, конечно, все требует строго математического обоснования. Наверняка найдутся контрпримеры и т.п. А может и доказательство ошибочно...
Но не суть, значит найдется другое элементарное доказательство, которое также не будет иметь никакой математической ценности.
По крайней мере можно ответить на следующие вопросы:
1. Каким образом гипотеза стала теоремой еще задолго до своего доказательства?
2. Была ли надпись Ферма на полях книги оригинальной или кто-то ее дописал?
3. Почему ВТФ так притягивает ферматистов?
Допускаю, что во времена Ферма донести до аудитории суть вещественных чисел было настолько сложно, чем Ферма был вынужден заняться поиском решений в целых числах. А сама формулировка теоремы имеет двойной смысл - не имеет целочисленного решения и доказательства. Теорема состояла из теоремы и гипотезы. А Эндрю Уайлз, фактически, теорему Ферма не доказал, а опроверг гипотезу Ферма.
Формулировка из Википедии, на мой взгляд, не в полном объеме передает постановку задачи:
Теорема утверждает, что для любого натурального числа n > 2 уравнение вида
$a^n + b^n = c^n$
не имеет решений в целых ненулевых числах $a, b, c$


Я понял, что ничего не знаю, но многие не знают и этого...
Я те кто знает - молчит и смеется.

-- 16.08.2025, 17:55 --

dick в сообщении #1696293 писал(а):

А в целом, если вас действительно интересует ВТФ, стоит почитать материалы форума. Узнаете много полезного.

Читал материалы форума. Ответа на свои вопросы не получил. Может читатели форума получат ответы на свои вопросы из моих постов.

mihaild в сообщении #1696302 писал(а):

Лучше что-то более разумное. Например Постников, "Великая теорема Ферма".

Полезный совет всем ферматистам. Только читайте внимательно, особенно стр.9.

[slava_asf]

Подождем, когда кто-нибудь напишет "Что за бред Вы тут несете" и отправит меня прямиком в Пургаторию:)

[slava_asf]

slava_asf в сообщении #1698449 писал(а):

4. Существование целых чисел при этом невозможно.

Написал 6 пунктов доказательства, и тут Остапа понесло:)
Сейчас только заметил смысловую ошибку. Следует читать:
п.4 Существование решения в целых числах при этом невозможно.

[slava_asf]

slava_asf в сообщении #1698435 писал(а):

Постников. стр.9. "Элементарное же доказательство теоремы Ферма ... ЗАКРОЕТ ПРОБЛЕМУ

Постников вообще-то пишет в единственном числе. А может примерно так и выглядит это элементарное доказательство?
Но почему про это нигде не написано? Это секрет математиков чтобы держать ферматистов за дураков?
Ведь любой ферматист ищет то доказательство, о котором Ферма упоминает на полях книги Диофанта.
Если это доказательство верно, то пазл складывается.
Подробно о деталях пазла можно узнать в замечательном обзоре.

shwedka писал(а):

Материалы и ссылки к биографии Пьера Ферма и истории ВТФ

[slava_asf]

Уважаемые ферматисты!
Надеюсь, многим я приоткрыл завесу над тайной записи Ферма на полях книги Диофанта "Я открыл этому поистине чудесное доказательство".
Понять это мне помогли материалы данного форума и добрые советы форумчан. Спасибо большое!
Для этого надо было еще узнать предысторию, а не только искаженную формулировку теоремы из википедии.
Если будете искать ошибку в представленном доказательстве, то начинайте свои рассуждения со слов:
"Допустим, что решение в целых числах не существует". Многие вещи понять будет легче.
По своему предыдущему опыту допускаю, что доказательство может быть и ошибочным.
Отвечать на сложные вопросы не буду, потому что все ответы Вы найдете в полном тексте элементарного доказательства.
Ищите его у знакомых математиков в папке под грифом "Совершенно секретно".
Если кто найдет, пожалуйста, поделитесь.