Пример арифметического доказательства Великой теоремы Ферма

[slava_asf]

Рассмотрим случай: x – четное число; z, y, n – нечетные числа.
Представим уравнение Ферма в виде:

(1) $ x^n = z^n - y^n = (u + y)^n - y^n,$
где z = u + y; u – четное число.

Используя разложение по биному Ньютона получим:

(2) $x^n = [u^n + C_1 u^{n-1} y + C_2 u^{n-2} y^2 + … + C_{n-2} u^2 y^{n-2} + C_{n-1} u y^{n-1} + y^n] - y^n = $
$ = u^n + C_1 u^{n-1} y + C_2 u^{n-2} y^2 + … + C_{n-2} u^2 y^{n-2} + C_{n-1} u y^{n-1} $

Из правой части уравнения выделяется общий множитель u:

(3) $x^n = u [u^{n-1} + C_1 u^{n-2} y + C_2 u^{n-3} y^2 + … + C_{n-2} u y^{n-2} + C_{n-1} y^{n-1}]$

Значит x также содержит множитель u, а левая часть уравнения содержит множитель $u^n$. Таким образом можно сократить обе части уравнения на $u^n$:

(4) $(x / u)^n = [u^{n-1} + C_1 u^{n-2} y + C_2 u^{n-3} y^2 + … + C_{n-2} u y^{n-2} + C_{n-1} y^{n-1}] / u^{n-1}.$

Левая часть уравнения $(x / u)^n$ – всегда целое число.
Числитель правой части уравнения – нечетное число, так как только одно слагаемое $C_{n-1} y^{n-1} = n y^{n-1}$ – нечетное, а знаменатель правой части уравнения – четное число.
Результатом деления нечетного числа на четное является нецелое число. Таким образом в правой части уравнения – всегда нецелое число.

Получаем противоречие.
Аналогично для случая z - четное.

Уважаемые формучане. В чем несостоятельность данного доказательства?

[Null]

slava_asf в сообщении #1648242 писал(а):

Значит x также содержит множитель u, а левая часть уравнения содержит множитель $u^n$.

Неправильный вывод $6^2\vdots 4$, но $6$ на $4$ не делится.

[slava_asf]

Принято! Спасибо!

[slava_asf]

(1) Рассмотрим $ Z^3 = x^3 + y^3 $, где Z - четное (четные выделены заглавной буквой); x, y - нечетные.


(1.1) Замена 1: $ Z^3 = (A + b)^3 + (A - b)^3 = 2A(A^2 + 3b^2) $, A - четное.

(1.2) Пусть $ Z = (2^pz), A = (2^pa)^3/2 = 2^{3p-1}a^3 $

(1.3) Подставим и сократим на $ 2^{3p}: z^3 = a^3(2^{6p-2}a^6 + 3b^2) $


(2.1) Замена 2: $ Z^3 = (C - y)^3 + y^3 = C(C^2 - 3Cy + 3y^2) = Cd^3 $, C – четное.

(2.2) Пусть $ Z = (2^pz), C = (2^pc)^3 = 2^{3p}c^3 $

(2.3) Подставим и сократим на $ 2^{3p}: z^3 = c^3(2^{6p-2}c^6 - 3(2^pc)^3y + 3y^2) $

(2.4) Получаем квадратное уравнение $ 3y^2 - 3(2^pc)^3y + [(2^pc)^6 - (z/c)^3] = 0 $

(2.5) Найдем дискриминант: $ D = 9(2^pc)^6 - 12((2^pc)^6 - (z/c)^3) = 12(z/c)^3 - 3(2^pc)^6 = 36d^2 $

(2.6) Сократим и получим $ z^3 = c^3(2^{6p-2}c^6 + 3d^2) $


(3.1) Приравняем (1.3) и (2.6): $ a^3(2^{6p-2}a^6 + 3b^2) = c^3(2^{6p-2}c^6 + 3d^2) $

(3.2) Значит, с учетом (1.2) и (2.2) имеем: $ c = a, C = 2A $

(3.3) Приравняем (1.1) и (2.1): $ (A + b)^3 + (A - b)^3 = (2A - y)^3 + y^3 $

(3.4) Раскроем: $ 2A^3 + 6Ab^2 = 8A^3 - 12A^2y + 6Ay^2 $ . Сократим на 6A.

(3.5) Перегруппируем: $ b^2 - y^2 = A^2 - 2Ay $

(3.6) Подставим $ A = 2^{3p-1}a^3 $, получим $ b^2 - y^2 = 2^{6p-2}a^6 - 2^{3p}a^3y $

(3.7) Четность сохраняется при $ 6p - 2 = 3p $, отсюда $ p = 2/3 $ - нецелое.

Уважаемые формучане! Просим найти ошибку.

[venco]

slava_asf в сообщении #1669512 писал(а):

(1) Рассмотрим $ Z^3 = x^3 + y^3 $, где Z - четное (четные выделены заглавной буквой); x, y - нечетные.

Почему Z чётное, а не x или y?

slava_asf в сообщении #1669512 писал(а):

(1.2) Пусть $ Z = (2^pz), A = (2^pa)^3/2 = 2^{3p-1}a^3 $

Почему $A/2^{3p-1}$ - куб?

[slava_asf]

Почему Z чётное, а не x или y? - До X четное добраться еще надо.

Почему $A/2^{3p-1}$ - куб? - Потому что 2A - куб.

-- 11.01.2025, 21:48 --

Видимо надо добавить A не делится на 3, тогда док-во урезается. Понял.

Опечатка (2.3) Подставим и сократим на $ 2^{3p}: z^3 = c^3(2^{6p}c^6 - 3(2^pc)^3y + 3y^2) $

[slava_asf]

При Z делится на 3 док-во аналогичное получается. Замена $ A = (2^p 3^q a)^3/6 $ Но пока здесь не разобрались, выкладывать рано.

[venco]

slava_asf в сообщении #1669524 писал(а):

Потому что 2A - куб.

Почему?

slava_asf в сообщении #1669524 писал(а):

Видимо надо добавить A не делится на 3

Почему?

[slava_asf]

2A куб потому что A и b взаимно простые, их сумма тоже взаимно простое к A и b, значит не имеет общих множителей с A. Слева от = куб.
Если A делится на 3, 3ка выделяется из скобки и надо уже рассматривать 6A. Аналогично 6A будет куб.

[venco]

slava_asf в сообщении #1669562 писал(а):

Если A делится на 3, 3ка выделяется из скобки и надо уже рассматривать 6A.

Надо.

[slava_asf]

Случай 2. Z делится на 3.

(1) Рассмотрим $ Z^3 = x^3 + y^3 $, где Z - четное (четные выделены заглавной буквой); x, y - нечетные.


(1.1) Замена 1: $ Z^3 = (A + b)^3 + (A - b)^3 = 6A(A^2/3 + b^2) $, A - четное.

(1.2) Пусть $ Z = (2^p3^qz), A = (2^p3^qa)^3/6 = 2^{3p-1}3^{3q-1}a^3 $

(1.3) Подставим и сократим на $ 2^{3p}3^{3q} $, получим $ z^3 = a^3(2^{6p-2}3^{6q-3}a^6 + b^2) $


(2.1) Замена 2: $ Z^3 = (C - y)^3 + y^3 = C(C^2 - 3Cy + 3y^2) = 3C(C^2/3 - Cy + y^2) = 3Cd^3 $, C - четное.

(2.2) Пусть $ Z = (2^p3^qz), C = (2^p3^qc)^3/3 = 2^{3p}3^{3q-1}c^3 $

(2.3) Подставим и сократим на $ 2^{3p}3^{3q} $, получим $ z^3 = c^3(2^{6p}3^{6q-3}c^6 - 2^{3p}3^{3q-1}c^3y + y^2) $

(2.4) Получаем квадратное уравнение $ y^2 - (2^{3p}3^{3q-1}c^3)y + (2^{6p}3^{6q-3}c^6 - (z/c)^3) = 0 $

(2.5) Найдем дискриминант: $ D = 3\cdot2^{6p}3^{6q-3}c^6 - 4\cdot2^{6p}3^{6q-3}c^6 + 4(z/c)^3 = 4(z/c)^3 - 2^{6p}3^{6q-3}c^6 = 4d^2 $

(2.6) Сократим и получим $ z^3 = c^3(2^{6p-2}3^{6q-3}c^6 + d^2) $


(3.1) Приравняем (1.3) и (2.6): $ a^3(2^{6p-2}3^{6q-3}a^6 + b^2) = c^3(2^{6p-2}3^{6q-3}c^6 + d^2) $

(3.2) Значит, с учетом (1.2) и (2.2) имеем: $ c = a, C = 2A $

(3.3) Приравняем (1.1) и (2.1): $ (A + b)^3 + (A - b)^3 = (2A - y)^3 + y^3 $

(3.4) Раскроем: $ 2A^3 + 6Ab^2 = 8A^3 - 12A^2y + 6Ay^2 $ Сократим на $ 6A $.

(3.5) Перегруппируем: $ b^2 - y^2 = A^2 - 2Ay $

(3.6) Подставим $ A = 2^{3p-1}3^{3q-1}a^3 $, получим $ b^2 - y^2 = 2^{6p-2}3^{6q-2}a^6 - 2^{3p}3^{3q-1}a^3y $

(3.7) Четность сохраняется при $ 6p - 2 = 3p $, отсюда $ p = 2/3 $ - нецелое.

(3.8) Делимость на 3 сохраняется при $ 6q - 2 = 3q - 1 $, отсюда $ q = 1/3 $ - нецелое.

[slava_asf]

Рассмотрим: $z^3 = X^3 + y^3 $, X – четное.

Выделим X: $ X^3 = z^3 - y^3 $

Пусть $ y = -v $, тогда $ X^3 = z^3 + v^3 $
Далее доказательство аналогичное

[SUILVA]

slava_asf в сообщении #1669608 писал(а):

(3.7) Четность сохраняется при $ 6p - 2 = 3p $, отсюда $ p = 2/3 $ - нецелое.

(3.8) Делимость на 3 сохраняется при $ 6q - 2 = 3q - 1 $, отсюда $ q = 1/3 $ - нецелое.

Как?

[slava_asf]

В уравнении (3.6) все переменные не делятся на 2 и 3, эти множители выделены.
Разность левой части всегда будет четной и будет делиться на 3 (из предположения что решение существует).
Из условия равенства слагаемые правой части должны содержать одинаковое количество множителей 2 и 3.
Откуда условия (3.7) и (3.8), которые не выполняются при целых значениях, значит число Z нецелое, получаем противоречие.

[SUILVA]

slava_asf в сообщении #1669672 писал(а):

... должны содержать одинаковое количество множителей 2 и 3. ...

Зачем?