Пример арифметического доказательства Великой теоремы Ферма

[slava_asf]

SUILVA
Верно подмечено. Из (3.5) получаем банальное $ y = A - b $. Что и требовалось доказать:)
Спасибо всем!

[SUILVA]

Хорошая работа, но немножко усложненная. Я доволен, спасибо Вам. Близко подошли и ушли.

[slava_asf]

Эквивалентность уравнений:
$ Z^n = (A + b)^n + (A - b)^n $
$ Z^n = (2A - y)^n + y^n $
где Z, A - четные; b, y - нечетные.
Действительно выводится попроще заменой $ b = A - y $.
Вопрос: Справедлив вывод, что множество подходов с использованием бинома Ньютона приводят к неопределенности как по четности, так и по делимости на $n$ ?

[Elfhybr]

slava_asf в сообщении #1669709 писал(а):

Эквивалентность уравнений:
$ Z^n = (A + b)^n + (A - b)^n $
$ Z^n = (2A - y)^n + y^n $
где Z, A - четные; b, y - нечетные.
Действительно выводится попроще заменой $ b = A - y $.
Вопрос: Справедлив вывод, что множество подходов с использованием бинома Ньютона приводят к неопределенности как по четности, так и по делимости на $n$ ?

Зачем вы пытаетесь открыть Америку в 21 веке?

[slava_asf]

Шахматы появились раньше, чем открыли Америку.
В настоящее время компьютер играет в шахматы на порядок лучше, чем человек.
Но интерес к шахматам не пропадает и большинство при этом играют не для того, чтобы стать чемпионом.
Наверное, теорема Ферма это просто увлекательная задача. Страницу на сайте для кого-то же создали.
За меня не переживайте. Я не пытаюсь.

[slava_asf]

Для $c^3 = a^3 + b^3$ пусть $c = (a + b) - d$
тогда $c^3 = ((a + b) - d)^3 = (a + b)^3 - 3(a + b)^2d + 3(a + b)d^2 - d^3$.
$a^3 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 3(a + b)^2d + 3(a + b)d^2 - d^3$.
$d^3 - 3(a + b)d^2 + 3(a + b)^2d - 3ab(a + b) = 0$
Решая кубическое уравнение относительно $d$ получим корни:
$d_1 = a + b, d_2 = a, d_3 = b$.
Уважаемые форумчане. Где ошибка?

[nnosipov]

slava_asf в сообщении #1694379 писал(а):

$d^3 - 3(a + b)d^2 + 3(a + b)^2d - 3ab(a + b) = 0$
Решая кубическое уравнение относительно $d$ получим корни:
$d_1 = a + b, d_2 = a, d_3 = b$.
Уважаемые форумчане. Где ошибка?

Сделайте проверку этих корней подстановкой их в уравнение.

[slava_asf]

nnosipov в сообщении #1694381 писал(а):

Сделайте проверку этих корней подстановкой их в уравнение.

При $d_1 = a + b \to a^3 = -b^3$
При $d_2 = a \to a^3 = 0$
При $d_3 = b \to b^3 = 0$

[nnosipov]

slava_asf в сообщении #1694382 писал(а):

При $d_1 = a + b \to a^3 = -b^3$
При $d_2 = a \to a^3 = 0$
При $d_3 = b \to b^3 = 0$

А Вы уже доказали, что, например, $a^3 = -b^3$? Вроде бы, нет.

И вообще, пишите больше слов. Рассуждения нужно проговаривать. Берите пример с deepseek, иногда любо-дорого посмотреть, как он находит ошибки в своих рассуждениях.

[slava_asf]

Исходил из того что корней у кубического уравнения не более трех.
При этом мы добиваемся конечных значений a и b, соответствующие тривиальному решению.
Спасибо за подсказку. DeepSeek пишет что в доказательстве ошибка:)

[slava_asf]

slava_asf в сообщении #1694382 писал(а):

nnosipov в сообщении #1694381 писал(а):

Сделайте проверку этих корней подстановкой их в уравнение.

При $d_1 = a + b \to a^3 = -b^3$
При $d_2 = a \to a^3 = 0$
При $d_3 = b \to b^3 = 0$

Так как $d_2 = d_3 = 0$ должен быть еще один корень,
в общем виде который можно представить как:
$ d = a+b-\sqrt[3]{a^3+b^3} $
И на этом поставить точку.

[mihaild]

slava_asf
Что Вы вообще пытаетесь сделать?
Написали уравнение на $d$. Подстановкой получили, что если $a = 0$, то $d = a$ - корень, иначе - $d = a$ его корнем не является. Ну и что?

[Ende]

Выделена тема «Ошибка transcendent'а»

[slava_asf]

1. Для $a^3 + b^3 = c^3$ в целых числах пусть $a + b = c + d$
2. Возводим в куб: $(a + b)^3 = (c + d)^3$.
3. Получаем: $a^3 + 3ab(a + b) + b^3 = c^3 + 3cd(c + d) + d^3$
4. Подставляем $a^3 + b^3 = c^3$ и $c + d = a + b$
5. Получаем: $c^3 + 3ab(a + b) = c^3 + 3cd(a + b) + d^3$
6. Сокращаем: $d^3 = 3(a + b)(ab - cd)$
7. $d \vdots 3$ . Пусть $d = 3^k f$

8. $3^{3k} f^3 = 3(a + b)(ab - 3^kfc)$

Случай 1: $c \nmid 3$
1.1 Тогда из $(ab - 3^kfc)$ можно выделить не более: $3^k$
1.2 Для делителя 3 приравниваем показатели степеней: $3k = 1 + k$
1.3 Откуда: $k = 0,5$

Случай 2: $abc \nmid 3$
2.1 Тогда из $(ab - 3^kfc)$ 3 не выделяется.
2.2 Для делителя 3 приравниваем показатели степеней: $3k = 1$
2.3 Откуда: $k = 1/3$

Остается $c \vdots 3$

Уважаемые форумчане. Найдите, пожалуйста, ошибку

[slava_asf]

Случай 3: $c \vdots 3$
3.1 Из п.8: $(a + b)\vdots 3^{3k-1}$
3.2 $c^3 = a^3 + b^3 = (a + b)((a + b)^2 - 3ab)$, откуда $c \vdots 3^k$
3.3 Проверим делимость на 3 левой и правой частей уравнения $ a + b = c + d $:
$(a + b)\vdots 3^{3k-1}$, $(c + d)\vdots 3^{k}$
3.4 Получаем $k = 0.5$