Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

Yadryara · 03.08.2025, 06:56

На данный момент у меня имеются 379 центральных 15-к найденных нами с Демисом. И вот их разбивка по группам и сравнение с примерным прогнозом:

Код:

Группа         G19  G20   G21   G22   G23    G24    G25    G26   G27  G28  G29  G30    Всего
Прогноз штук     0    3    29   112   228    288    251    149    57   14    2    0     1133
Факт    штук     0    3    27   108                  23    145    55   16    2    0      379

Если помните, группы с 25-й по 27-ю посчитаны не полностью, а к 23-й и 24-й ещё и не приступали.

Ниже успешные результаты продолжения центральных 15-к до хоть каких-то симметричных 17-к для того же интервала 0-61#.

Место по возрастанию, место в общем списке, начальное число 15-ки, левый гэп, правый гэп, комментарий, автор находки.

Код:

15 --> 17

1    13    1006882292528806742273   6   6    Replay    Jarek
2    32    3954328349097827424403   6   6              Jarek
3    38    4896552110116770789779   6   6    Replay    Jarek
4    46    6751407944109046348069   6   6              Jarek
5    53    7768326730875185894813   6   6    Replay    Jarek
6   108   19252814175273852997763   6   6              Jarek
7   256   71421740092615021993823   6   6    New       Demis

Трижды был повторен ранее найденный кортеж. Если мы сможем проверить весь интервал, то количество таких повторов должно стать ровно 8, иначе программа работает неправильно и мы не можем претендовать на полный обсчёт этого интервала. То есть плюсуем 5 пока не повторенных кортежей и получаем $379+5=384$

Как видим, пока все 7 продолжений именно до центральной 17-ки, то есть до кортежа 17-240-1. 4 наших продолжения $15\to17$ приходятся на 379 наших 15-к, то есть кэф продолжения пока 95.

А какой теоретический кэф? Посмотрим на ёлочку:

Yadryara в сообщении #1679964 писал(а):

для интервала 0 - 71# :

Код:

           0  18  30  60  78  84 108 114 120 144 150 168 198 210 228

                                      160

       0   6  24  36  66  84  90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240

Здесь 160. Но для интервала 0 - 61# кэф поменьше чем для 0 - 71#, вроде примерно 119, посмотрю позже. То есть пока 15-ки продолжаются чаще теоретически ожидаемого, жаль только что никаких симметричных 17-к с другим диаметром пока нет.

waxtep в сообщении #1695960 писал(а):

Посчитаю на досуге разрешённые остатки от деления

Ну как успехи? Может лучше писать здесь, а в ту тему при необходимости вернёмся. Кстати, могу и по новой объяснить, ежели понадобится.

waxtep · 03.08.2025, 12:59

Yadryara в сообщении #1696197 писал(а):

Ну как успехи? Может лучше писать здесь, а в ту тему при необходимости вернёмся. Кстати, могу и по новой объяснить, ежели понадобится

Забросил, но кажется понял, что Вы имеете в виду в той теме о предсказании правой ветви по левой; и результаты вычислений похожи.

Пусть мы на каком-то множестве натуральных чисел ищем кортежи длины $n$ , а фактически наблюдаем кортежи длины $k, 0\leqslant k\leqslant n$ в количестве $q(k,n)$ . В предположении, что каждое из чисел кортежа является простым, либо составным независимо (если не ошибаюсь, это суть первой гипотезы Харди-Литтлвуда, HL1) имеем биномиальное распределение на длинах кортежей $k$ , и $k_2$ действительно симметрично: $k_2(k,n)=10^3\cdot\frac{q(k,n)^2}{q(k-1,n)\cdot q(k+1,n)}=10^3\cdot\left(1+\frac1k\right)\cdot\left(1+\frac1{n-k}\right)$ Посчитал для задачи в той теме $k_2(1,15)\approx2143,k_2(7,15)\approx1286$ - близко к тому, что наблюдается в численном эксперименте

vicvolf · 03.08.2025, 19:36

waxtep в сообщении #1696230 писал(а):

Пусть мы на каком-то множестве натуральных чисел ищем кортежи длины $n$ , а фактически наблюдаем кортежи длины $k, 0\leqslant k\leqslant n$ в количестве $q(k,n)$ . В предположении, что каждое из чисел кортежа является простым, либо составным независимо (если не ошибаюсь, это суть первой гипотезы Харди-Литтлвуда, HL1) имеем биномиальное распределение на длинах кортежей $k$ , и $k_2$ действительно симметрично: $k_2(k,n)=10^3\cdot\frac{q(k,n)^2}{q(k-1,n)\cdot q(k+1,n)}=10^3\cdot\left(1+\frac1k\right)\cdot\left(1+\frac1{n-k}\right)$ Посчитал для задачи в той теме $k_2(1,15)\approx2143,k_2(7,15)\approx1286$ - близко к тому, что наблюдается в численном эксперименте

Это не совсем так. События появления простых в кортеже зависимы (например, для простых близнецов), поэтому не описываются биномиальным распределением.

Yadryara · 05.08.2025, 03:49

Для читателей. Этот разговор ведём в другой теме: «Можно ли прогнозировать правую ветвь "параболы" по левой»

А мы с Демисом продолжаем поиск.

Yadryara в сообщении #1696197 писал(а):

Если мы сможем проверить весь интервал, то количество таких повторов должно стать ровно 8

Ещё один повтор состоялся: повторно найдена минимальная центральная 15-ка, найденная ранее в проекте ТВEG. Ну и конечно найдены новые: ровно 100 штук примерно за 3 последних дня.

Все примерно 1133 ожидаемых центральных 15-ки не поместятся в одном посте, так что планирую разбить публикацию примерно на две части по 500-600 штук.

Уже приблизились к 500 — пока 485.

ТС сообщает о находке в отдельном, так называемом ручном поиске новой центральной 15-ки — 2132317615544562075463. И при этом неоднократно сообщалось что поиск ведётся в так называемом нулевом периоде, в интервале $0 - 59\#$ . Я называю его традиционно по-русски — первым, а не нулевым.

Но как ни называй, найденная 15-ка не попадает в этот интервал. Она больше чем $1922760350154212639070 = 59\#$ . Как этого можно было не заметить.

А у нас 4 новых попадания в этот интервал. Таким образом найдено всего 22 штуки из ожидаемых примерно 49:

Код:

2079914861571286679
3665619319531504883
14261113584839996099
192163635622777532393
214946236533755076289
255322373039027810609
271541128585758431779
319704324614333528963
329512940040252288413
356824342193987437163
391362485189091190153
679156995120492529019
742386519654690591059
904503624710036655683
944273532072632171243
1006882292528806742273
1238032979525485036573
1300418837044598106383
1362050429065723771753
1473520540378581214199
1498899418863149653183
1539430297953065589619

DemISdx · 05.08.2025, 15:43

Yadryara в сообщении #1696377 писал(а):

ТС сообщает о находке в отдельном, так называемом ручном поиске новой центральной 15-ки — 2132317615544562075463. И при этом неоднократно сообщалось что поиск ведётся в так называемом нулевом периоде, в интервале $0 - 59\#$ .

Yadryara в сообщении #1696377 писал(а):

Как этого можно было не заметить.

Эмоции перекрыли Великий математический ум, вот и не посмотрела,
хотя скорее всего видела и это произошло от радости, что вообще нашла.
Бывает...
С другой стороны здесь уже давно прогнозировалось, что найдет.
И вот нашла. Молодец!

Ну а теперь:

(Оффтоп)

Еще десять тысяч вёдер воды, синьор, - и золотой ключик у нас в кармане!
Мне всё равно, что обо мне думают люди.
Лишь бы у меня денежки в кармане звенели!
(c) Золотой ключик

$1133 - 1 = 1132$
Осталось 1132 ведра...
Надеюсь через неделю еще десятком порадует...

Yadryara · 05.08.2025, 16:32

DemISdx в сообщении #1696433 писал(а):

Эмоции перекрыли Великий математический ум, вот и не посмотрела,

Только это плохой знак, ведь это означает, что где-то в программе у неё ошибка.

Вот у нас заявлен поиск в первом периоде $61\#$ , он там и идёт. Ни одна центральная 15-ка за него не вылезла. $61\# = 117288381359406970983270$

И вот три наших самых больших:

Код:

116980545753429433155019
117024858387465420946933
117117991421930536025213

Видите, что они все меньше, тоже около 117 очей, но меньше. $10^{21}$ я очком называю :-)

DemISdx · 05.08.2025, 16:58

Да.
Вижу.
Все три меньше чем $117288$ ...
Согласен

Yadryara в сообщении #1696435 писал(а):

что где-то в программе у неё ошибка.

и если есть такие выплески в бОльшую сторону,
то не факт, что и в меньшей все правильно.
Ну и также где гарантия, что выплеск не улетит вообще в космос?
Проблемка(и) однако...

Yadryara · 05.08.2025, 22:32

DemISdx в сообщении #1696433 писал(а):

$1133 - 1 = 1132$
Осталось 1132 ведра...

Демис, на всякий случай. Прогноз по HL1 это именно прогноз. Как понимаю, гипотеза никак не учитывает дзета-нули. Так что на абсолютную точность он не претендует. Можно грубо накинуть по полтосику и ожидать $1133\pm50$ . Очень вряд ли, что итоговый результат будет не в этом интервале.

Насчёт нумерации уже говорил. ТС рассказывала на форуме про первый класс, а не про нулевой. Человек отучился 0 лет и 0 дней, но не идёт нулевой раз в нулевой класс, а идёт первый раз в первый класс. Хотя множитель при количестве лет и дней тоже равен нулю, как и множитель при периоде.

Если очень хочется говорить "нулевой", то кто ж запретит. Но именно это коверканье традиции. Рассчитываются традиционно на "первый-второй", а не на "нулевой-первый".

Насчёт 13-к и 11-к. Конечно я их не рассматриваю внимательно, тем более чужие. Ценность весьма неполных баз 11-к и 13-к весьма сомнительна. После окончания обсчёта того или иного периода $61\#$ , да и $59\#$ , по существующим программам, эти базы так и останутся сильно неполными. Так как уже неоднократно подчёркивалось, что при поиске кортежей определённой длины весьма многие более короткие кортежи пропускаются.

А вот когда мы закончим обсчёт 15-к в первом периоде $61\#$ , полной будет не только База центральных 15-к в этом периоде, но и во всех меньших, ранее не обсчитанных полностью: в $0-53\#$ и $0-59\#$ .

Эта разница существенная. Именно по этой причине досчитывали проект SPT — чтобы База была полной, без пропусков.

Предлагаю дождаться, когда в Боинк-проекте найдут 1-ю центральную 15-ку и тогда уж поздравлять, ибо в этом случае хотя бы 4-е приложение оправдает своё название.

DemISdx · 06.08.2025, 09:05