Какое число показать?

[wrest]

SergeyGubanov в сообщении #1693813 писал(а):

Боб откажется.

Считайте, что при отказе он насильно проигрывает единицу. Ну или ему отрубают палец.

[EUgeneUS]

SergeyGubanov

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #1693813 писал(а):

В единичных невоспроизводимых "играх" всё что может сделать "игрок" - это либо вообще не "играть", либо постараться как можно сильнее минимизировать свой личный потенциальный убыток.

Это неверно.
Предположим игру, где Боб с вероятностью $1/2$ проигрывает Алисе 1 копейку (или любую другую незначимую для него сумму), а с вероятностью опять же $1/2$ выигрывает 100500 тысяч миллионов рублей.
Минимизируя убыток, он должен отказаться от игры.

-- 10.07.2025, 19:45 --

Дополню немного, что под катом.

Можно ввести понятие "недопустимые" потери.
На примерах.

1. Бобу предлагают игру, в которой он может выиграть 100500 денег с вероятностью 2/3, и проиграть 100500 денег с вероятностью 1/3. Но у Боба нет 100500 денег. И в случае проигрыша в счёт долга его усыпят и разберут на органы. Бобу, видимо, нужно отказаться от игры.

2. Бобу предлагают игру, в которой он может выиграть 100500 денег с вероятностью 2/3, и проиграть 100500 денег с вероятностью 1/3. У Боба есть 100500 денег, но это все деньги Боба. В случае проигрыша ему придется перейти в дауншифтеры на Белорусском вокзале, и он потеряет доступ к таким играм.
Видимо, Бобу тоже нужно отказаться от игры.

(многие, кстати, на таком погорели).

Это отражается в критерии Келли, который говорит, что если Вам предлагают заведомо выигрышную игру, то нельзя ставить все свои деньги на одну игру.

[mihaild]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1693815 писал(а):

Это отражается в критерии Келли, который говорит, что если Вам предлагают заведомо выигрышную игру, то нельзя ставить все свои деньги на одну игру

В Ваших примерах это отражается даже в банальной нелинейной полезности денег. Проигрыш в них обоих очевидно стоит больше утилонов чем выигрыш.

[EUgeneUS]

mihaild

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1693822 писал(а):

В Ваших примерах это отражается даже в банальной нелинейной полезности денег. Проигрыш в них обоих очевидно стоит больше утилонов чем выигрыш.

Да, конечно. Хотел это (про нелинейность полезности денег) отметить, но опустил для краткости.

-- 10.07.2025, 20:05 --

(Оффтоп)

Кстати, из нелинейной полезности денег следует забавный факт:
если благосостояние, выраженное в полезности денег, всех слоев населения растёт одинаково (в одинаковое количество раз), то имущественное расслоение (которое выражается уже в распределение денег) увеличивается.

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1693815 писал(а):

Это неверно.
Предположим игру, где Боб с вероятностью $1/2$ проигрывает Алисе 1 копейку (или любую другую незначимую для него сумму), а с вероятностью опять же $1/2$ выигрывает 100500 тысяч миллионов рублей.
Минимизируя убыток, он должен отказаться от игры.

В эту игру Боб конечно согласится играть, а вот Алиса нет.

Я ж говорю про то, что правила игры должны быть спроектированы такими, что если вдруг оба игрока начинают использовать стратегию минимизации убытков, то их шансы должны быть равны.

Для уравнивания шансов просто дайте Бобу тоже две карты на тех же условиях, что и у Алисы.

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1693829 писал(а):

правила игры должны быть спроектированы такими

Очень просто - чередование ролей....

[Утундрий]

Geen в сообщении #1693832 писал(а):

Очень просто - чередование ролей....

Сегодня он Боб, а завтра Алиса?

[BobVsAlice]

Упростим задачу. Пусть Алиса произвольно выбирает два различных числа $x, y$ из $[0, 1]$ и прячет одно из них в конверт. И сумма выигрыша постоянна.
Боб все еще выигрывает. Обратим внимание, что случайное число из любого распределения с носителем $[0, 1]$ с ненулевой вероятностью попадает между $x$ и $y$, поэтому Боб, выбрав такое число вместо спрятанного, выиграет с вероятностью больше половины.
У Алисы нет наилучшей стратегии, она просто должна выбирать как можно более близкие числа.
А Боб должен выбирать из равномерного распределения.

[EUgeneUS]

BobVsAlice в сообщении #1693851 писал(а):

Упростим задачу.

Это будет другая задача.

BobVsAlice в сообщении #1693851 писал(а):

Пусть Алиса произвольно выбирает два различных числа $x, y$ из $[0, 1]$ и прячет одно из них в конверт. И сумма выигрыша постоянна.
Боб все еще выигрывает.

С чего бы Бобу выигрывать? Или Вы как-то неясно описали условия.

-- 11.07.2025, 06:30 --

SergeyGubanov

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #1693829 писал(а):

Я ж говорю про то, что правила игры должны быть спроектированы такими, что если вдруг оба игрока начинают использовать стратегию минимизации убытков, то их шансы должны быть равны.

Теория игр изучает любые игры, а не только спроектированные.
Конечно, если Вы проектируете настольную или видео игру, то она должна быть "сбалансированной". Но жизнь сложнее спроектированных игр.

[BobVsAlice]

EUgeneUS в сообщении #1693862 писал(а):

Это будет другая задача.

Да. Просто я встречал задачу, которую привел я, и мне казалось, что я знал правильное решение, которое привел. Просмотрев тему, я не заметил попыток рассмотреть стратегию Боба, которую я описал. Попытаюсь подробней, простите формулы сейчас неудобно набирать.

Чтоб точно ответить, больше число, которое ты видишь, чем спрятанное число, достаточно знать любое число, лежащее между ними. В постановке задачи, где числа действительные из непрерывного распределения, множество таких чисел имеет положительную меру.
Боб генерирует случайное действительное число между нулем и единицей и говорит «больше», если число, которое ему дали, больше, чем случайное, которое выбрал он, иначе говорит «меньше».
Если случайное число попало в интервал, Боб выиграл с вероятностью один, иначе — с вероятностью половина. Поскольку мера интервала всегда положительна, Боб выигрывает с вероятностью больше половины независимо от стратегии Алисы.
Эта стратегия даст Бобу еще большую вероятность выигрыша в исходной задаче топика.

Если я чего не так понял, извините, что влез.

[EUgeneUS]

BobVsAlice в сообщении #1693870 писал(а):

Если я чего не так понял, извините, что влез.

Какой-то вариант похожей игры. Почему бы и не обсудить.
Проблема в том, что условия игры приходится собирать по кусочкам из Ваших сообщений.

Правильно понимаю, что это игра отличается от игры в стартовом посте:

mihaild в сообщении #1693259 писал(а):

Алиса и Боб играют в игру. Алиса получает два независимых равномерно распределенных на $[0, 1]$ числа $x$ и $y$. Одно (по своему выбору) она прячет, другое показывает Бобу. Боб должен угадать, больше показанное число спрятанного, или меньше. Если Боб угадывает правильно - Алиса платит ему сумму, равную спрятанному числу, если неправильно - Боб платит Алисе сумму, равную спрятанному числу.
Чему равен средний выигрыш при оптимальных стратегиях, и какие это стратегии?

только тем, что: если Боб угадывает правильно - Алиса платит ему $1$, если неправильно - Боб платит Алисе $1$.
?

Если так, то это очень простая для анализа игра, сводится к игре "сено-солома", которую описывал в недрах темы.
Равновесие Нэша достигается при таких стратегиях:
1. Алиса равновероятно показывает большее или меньшее число.
2. Боб равноверятно говорит "показано большее" или "показано меньшее".
Выигрыш - по нулям.

[wrest]

BobVsAlice в сообщении #1693870 писал(а):

Боб выигрывает с вероятностью больше половины независимо от стратегии Алисы.
Эта стратегия даст Бобу еще большую вероятность выигрыша в исходной задаче топика.

Нет. При стратегии Алисы "всегда показывать большую" Боб угадает в 1/3 случаев и приограет 1/6 денег.
Стратегия за Боба:

bob_strat_thomas_cover(S)=my(g=random(1.0));if(S>g,return(1),return(-1));

Стратегия за Алису:

alice_strat_show_max(x,y)=return([max(x,y),min(x,y)]);

Запускаем:

? simulate_game(10^5,alice_strat_show_max,bob_strat_thomas_cover);
Bob told max = 67 percent; max was guessed 0 percent of all games
Bob told min = 33 percent; min was guessed 33 percent of all games
Bob total guess rate = 33 percent of all games
Bob average prize = -0.16742419181466102600097656250000000000
Best approximation = -1/6

[EUgeneUS]

wrest
Обратите внимание, что обсуждается несколько другая игра.
Основную функцию нужно модифицировать.

[BobVsAlice]

Простите еще раз. Моя игра отличается тем, что Алиса выбирает числа как часть стратегии, а не получает их из известных распределений.
Поскольку среднее расстояние между равномерно распределенными числами аж 1/3, то мне показалось, что стратегия Боба из моей задачи будет выигрывать с вероятностью аж 5/6 против стратегически ограниченной Алисы из задачи топика.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1693883 писал(а):

Обратите внимание, что обсуждается несколько другая игра.

Я опирался на (выделено жирным)

BobVsAlice в сообщении #1693870 писал(а):

Эта стратегия даст Бобу еще большую вероятность выигрыша в исходной задаче топика.

В исходной задаче речь конечно идёт не о вероятности выигрыша а о его величине, но и вероятность не повышается.

EUgeneUS в сообщении #1693883 писал(а):

Основную функцию нужно модифицировать.

Можно, но мне кажется лучше тогда для этого (если кто-то захочет BobVsAlice или вы например) завести другую тему...

-- 11.07.2025, 10:19 --

BobVsAlice в сообщении #1693884 писал(а):

Моя игра отличается тем, что Алиса выбирает числа как часть стратегии,

Это малореализуемо без дополнительного ограничения на минимальное расстояние между числами. Иначе Алиса будет выбирать их равными (чтобы Боб никогда не смог сунуть в зазор своё случайное число) и всё сломается.

-- 11.07.2025, 10:34 --

BobVsAlice в сообщении #1693884 писал(а):

Поскольку среднее расстояние между равномерно распределенными числами аж 1/3, то мне показалось, что стратегия Боба из моей задачи будет выигрывать с вероятностью аж 5/6 против стратегически ограниченной Алисы из задачи топика.

Если Алиса выбирает случайно какое из двух данных ей свыше чисел показать, то при вашей стратегии Боба он угадывает в 2/3 случаев. Но у Боба на такую стратегию Алисы есть стратегия получше, где он угадывает в 3/4 случаев.